-1-1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)-1-一般地，對(duì)于nN*有二項(xiàng)定理:一、新課引入二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是那些？共有多少個(gè)？

下面我們來(lái)研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過(guò)楊輝三角觀察n為特殊值時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？-1-楊輝三角《九章算術(shù)》楊輝-1-楊輝三角《詳解九章算法》中記載的表1．“楊輝三角”的來(lái)歷及規(guī)律

-1-楊輝三角展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)時(shí)，如下表所示：

11

121133114641151010511615201561-1-楊輝三角點(diǎn)擊圖片可以演示“楊輝三角”課件-1-第5行

1551第0行

1楊輝三角第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

141第6行

161561第n-1行

11第n行11………………………………

1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34-1-

125第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行 11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

14641……138132134如圖，寫(xiě)出斜線(xiàn)上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？第8行18285670562881

從第三個(gè)數(shù)起，任一數(shù)都等于前兩個(gè)數(shù)的和;這就是著名的斐波那契數(shù)列。-1-

類(lèi)似上面的表,早在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里就已經(jīng)出現(xiàn)了，這個(gè)表稱(chēng)為楊輝三角。在書(shū)中，還說(shuō)明了表里“一”以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和，楊輝指出這個(gè)方法出于《釋鎖》算書(shū)，且我國(guó)北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元11世紀(jì)）已經(jīng)用過(guò)它。這表明我國(guó)發(fā)現(xiàn)這個(gè)表不晚于11世紀(jì)。在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623-1662）首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個(gè)表叫做帕斯卡三角。這就是說(shuō)，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.-1-二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是：

從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù),其定義域是：

當(dāng)時(shí)，其圖象是右圖中的7個(gè)孤立點(diǎn)．2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

-1-二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（1）對(duì)稱(chēng)性

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．

這一性質(zhì)可直接由公式得到．圖象的對(duì)稱(chēng)軸：-1-二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

由于：所以相對(duì)于的增減情況由決定．

-1-二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

由：

二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱(chēng)性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。

可知，當(dāng)時(shí)，-1-二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（2）增減性與最大值

因此，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

取得最大值；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、相等，且同時(shí)取得最大值。（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和

-1-二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)式定理中，令，則：

這就是說(shuō)，的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于：同時(shí)由于，上式還可以寫(xiě)成：這是組合總數(shù)公式．

一般地，展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)有如下性質(zhì)：

（1）

（2）

（3）當(dāng)時(shí)，

（4）

當(dāng)時(shí)，-1-例題分析:

例1．證明：（1）(a+b)n的展開(kāi)式中,各二項(xiàng)式系數(shù)的和

啟示：在二項(xiàng)式定理中a,b可以取任意實(shí)數(shù)，因此我們可以通過(guò)對(duì)a,b賦予一些特定的值，是解決二項(xiàng)式有關(guān)問(wèn)題的一種重要方法——賦值法。令a=b=1，則-1-1答案2答案繼續(xù)思考1:（2）試證明在(a+b)n的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.即證：證明：在展開(kāi)式中令a=1，b=－1得

小結(jié)：賦值法在二項(xiàng)式定理中，常對(duì)a,b賦予一些特定的值1，-1等來(lái)整體得到所求。-1-賦值法-1-例2-1-小結(jié)：求奇次項(xiàng)系數(shù)之和與偶次項(xiàng)系數(shù)的和可以先賦值，然后解方程組整體求解思考：-1-1.當(dāng)n10時(shí)常用楊輝三角處理二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題;2.利用楊輝三角和函數(shù)圖象可得二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、增減性和最大值;3.常用賦值法解決二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題.課外思考:1.求證：2.(1﹣x

)13

的展開(kāi)式中系數(shù)最小的項(xiàng)是()(A)第六項(xiàng)(B)第七項(xiàng)（C）第八項(xiàng)(D)第九項(xiàng)C-1-思考32答案思考2求證:略證：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，兩邊展開(kāi)后比較xn的系數(shù)得：再由得-1-思考:求證：證明：∵倒序相加法-1-思考3.在(3x-2y)20的展開(kāi)式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng);(3)系數(shù)最大的項(xiàng);解:(2)設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第r+1項(xiàng).則

即3(r+1)>2(20-r)得

2(21-r)>3r所以當(dāng)r=8時(shí)，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為-1-（3）因?yàn)橄禂?shù)為正的項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng)，故可設(shè)第2r-1項(xiàng)系數(shù)最大。（以下同2）

r=5.

即3(r+1)>2(20-r)得

2(21-r)>3r所以當(dāng)r=8時(shí)，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為-1-課堂練習(xí)：1）已知，那么=

；2）的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是

；3）若的展開(kāi)式中的第十項(xiàng)和第十一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n=

；-1-

例1

證明在的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和．4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的7倍，求展開(kāi)式中x的一次項(xiàng)．例2

已知的展開(kāi)式中，第-1-

例3：的展開(kāi)式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)。變式引申：1、的展開(kāi)式中，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是（）A.第4項(xiàng)B.第4、5項(xiàng)C.第5項(xiàng)D.第3、4項(xiàng)2、若展開(kāi)式中的第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則不含x的項(xiàng)等于()A.210B.120C.461D.416-1-例4、若展開(kāi)式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差

數(shù)列，求（1）展開(kāi)式中含x的一次冪的項(xiàng)；（2）展開(kāi)式中所有x的有理項(xiàng)；（3）展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)。-1-1、已知的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為，則常數(shù)a的值是_______

2、在(1-x3)(1+x)10的展開(kāi)式中x5的系數(shù)是（）

A.-297B.-252C.297D.2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的項(xiàng)的系數(shù)是__________課堂練習(xí)4.已知