PAGEPAGE4數(shù)列的單調性一【問題背景】數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，它是定義在自然數(shù)集或它的子集上的函數(shù)，其圖象是坐標系內一群孤立的點．單調性是研究函數(shù)的重要抓手，同樣的，通過研究數(shù)列的單調性也是我們解決數(shù)列問題的重要工具，其作用主要體現(xiàn)在求數(shù)列最值、恒成立等問題上．二、【數(shù)列的單調性】數(shù)列是一種離散型的函數(shù)，它的單調性定義與函數(shù)的單調性定義既有聯(lián)系又有區(qū)別．在數(shù)列中，若對任意的，都有，則數(shù)列為單調遞增數(shù)列；若對任意的，都有，則數(shù)列為單調遞減數(shù)列．特別的，若等差數(shù)列為遞增數(shù)列，則公差；若等差數(shù)列為遞減數(shù)列，則公差．若正項等比數(shù)列為遞增數(shù)列，則公比；若正項等比數(shù)列為遞減數(shù)列，則公比．三、【范例】例1數(shù)列的通項公式=，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則的取值范圍是．解：數(shù)列為遞增數(shù)列恒成立，即化簡得恒成立，即，因為為單調遞減數(shù)列，當時，取得最大值-3所以．變式通項公式為的數(shù)列，若滿足，且對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．解：，當時，恒成立，所以當時，恒有，，．又當時，恒成立，，．所以．例2設等比數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列的通項公式為．設，若數(shù)列是單調遞減數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍．解：，所以，要使數(shù)列是單調遞減數(shù)列，則對恒成立，即恒成立，所以，令，則，所以，因此當或2時，所以．例3已知，，都是各項不為零的數(shù)列，且滿足（為常數(shù)，），（），其中是數(shù)列的前項和，是公差為的等差數(shù)列．若，求證：對任意的，數(shù)列單調遞減．解：因為，當時，，兩式相減得，即，，即，因為，所以，即，所以，即，解：當時,,所以①若,即,則,所以當時,是遞增數(shù)列,故由題意得,即,解得；②若,即,則當時,是遞增數(shù)列,,故由題意得,即,解得③若,即,則當時,是遞減數(shù)列,當時,是遞增數(shù)列,則由題意,得,即,解得綜上所述取值范圍是或3．數(shù)列滿足設，，，求使的所有的值，并說明理由解：當時，，∴是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，當時，，∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，∴的通項