第三章應(yīng)力和應(yīng)變§3.1應(yīng)力分析§3.2應(yīng)變分析§3.1應(yīng)力分析

一、應(yīng)力張量及其分解(1)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)通過一點(diǎn)P的各個(gè)面上應(yīng)力狀況的集合——稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)x面的應(yīng)力：y面的應(yīng)力：z面的應(yīng)力：(2)應(yīng)力張量一點(diǎn)

的應(yīng)力狀態(tài)可由九個(gè)應(yīng)力分量來描述，這些分量構(gòu)成一個(gè)二階對稱張量，稱為應(yīng)力張量。上式中左邊是工程力學(xué)的習(xí)慣寫法，右邊是彈性力學(xué)的習(xí)慣寫法定義：寫法：采用張量下標(biāo)記號的應(yīng)力寫法把坐標(biāo)軸x、y、z分別用x1、x2、x3表示，或簡記為xj(j=1,2,3),(3)斜截面上的應(yīng)力與應(yīng)力張量的關(guān)系在xj坐標(biāo)系中，考慮一個(gè)法線為N的斜平面。N是單位向量，其方向作弦為則這個(gè)面上的應(yīng)力向量SN的三個(gè)分量與應(yīng)力張量之間的關(guān)系采用張量下標(biāo)記號，可簡寫成說明：i）重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)叫做求和下標(biāo)，相當(dāng)于這稱為求和約定；ii）不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)i叫做自由下標(biāo)，可取i=1,2,3；(4)應(yīng)力張量的分解1.靜水“壓力”：在靜水壓力作用下，應(yīng)力—應(yīng)變間服從彈性規(guī)律，且不會屈服、不會產(chǎn)生塑性變形。應(yīng)力不產(chǎn)生塑性變形的部分產(chǎn)生塑性變形的部分反映靜水“壓力”：2.平均正應(yīng)力：3.應(yīng)力張量的分解：應(yīng)力張量可作如下分解：用張量符號表示：其中：或應(yīng)力球張量——單位球張量——應(yīng)力球張量，它表示各方向承受相同拉（壓）應(yīng)力而沒有剪應(yīng)力的狀態(tài)。應(yīng)力偏張量——應(yīng)力偏張量——與單元體的體積變形有關(guān)說明：材料進(jìn)入塑性后，單元體的體積變形是彈性的，只與應(yīng)力球張量有關(guān)；而與形狀改變有關(guān)的塑性變形則是由應(yīng)力偏張量引起的。應(yīng)力張量的這種分解在塑性力學(xué)中有重要意義。二、主應(yīng)力和應(yīng)力不變量（1）主應(yīng)力1.一點(diǎn)的主應(yīng)力與應(yīng)力主向若某一斜面上，則該斜面上的正應(yīng)力稱為該點(diǎn)一個(gè)主應(yīng)力；（2）應(yīng)力主向主應(yīng)力所在的平面——稱為主平面；主應(yīng)力所在平面的法線方向——稱為應(yīng)力主向；根據(jù)主平面的定義，SN與N重合。若SN的大小為，則它在各坐標(biāo)軸上的投影為代入（3-3）式應(yīng)有或即將這個(gè)行列式展開得到其中2.應(yīng)力張量的不變量當(dāng)坐標(biāo)軸方向改變時(shí),應(yīng)力張量的分量均將改變,但主應(yīng)力的大小不應(yīng)隨坐標(biāo)軸的選取而改變.因此,方程(3-9)的系數(shù)的值與坐標(biāo)軸的取向無關(guān)，稱為應(yīng)力張量的三個(gè)不變量?？梢宰C明方程（3-9）有三個(gè)實(shí)根，即三個(gè)主應(yīng)力當(dāng)用主應(yīng)力來表示不變量時(shí)應(yīng)力偏張量Sij顯然也是一種應(yīng)力狀態(tài)即J1=0的應(yīng)力狀態(tài)。不難證明，它的主軸方向與應(yīng)力主軸方向一致，而主值（稱為主偏應(yīng)力）為：應(yīng)力偏張量也有三個(gè)不變量：

其中應(yīng)力偏張量的第二不變量今后用得最多。再介紹它的其他幾個(gè)表達(dá)式：在第四章中將看到，在屈服條件中起重要作用。至于可以注意它有這樣的特點(diǎn)：不管的分量多么大，只要有一個(gè)主偏應(yīng)力為零，就有。這暗示在屈服條件中不可能起決定作用。

說明：三、等斜面上的應(yīng)力等斜面：通過某點(diǎn)做平面，該平面的法線與三個(gè)應(yīng)力主軸夾角相等八面體面：滿足（3-20）式的面共有八個(gè)，構(gòu)成一個(gè)八面體，如圖所示。等斜面常也被叫做八面體面。若八面體面上的應(yīng)力向量用F8表示，則按（3-3）式有設(shè)在這一點(diǎn)取坐標(biāo)軸與三個(gè)應(yīng)力主軸一致，則等斜面法線的三個(gè)方向余弦為八面體面素上的正應(yīng)力為八面體面素上的剪應(yīng)力為說明：八面體面上的應(yīng)力向量可分解為兩個(gè)分量：i)垂直于八面體面的分量，即正應(yīng)力，它與應(yīng)力球張量有關(guān)，或者說與有關(guān)；ii)沿八面體面某一切向的分量，即剪應(yīng)力，與應(yīng)力偏張量的第二不變量有關(guān)。四、等效應(yīng)力1.定義：如果假定相等的兩個(gè)應(yīng)力狀態(tài)的力學(xué)效應(yīng)相同，那么對一般應(yīng)力狀態(tài)可以定義：——在塑性力學(xué)中稱為應(yīng)力強(qiáng)度或等效應(yīng)力注意：這里的“強(qiáng)度”或“等效”都是在意義下衡量的2.等效應(yīng)力的特點(diǎn)與空間坐標(biāo)軸的選取無關(guān)；各正應(yīng)力增加或減少同一數(shù)值（也就是疊加一個(gè)靜水應(yīng)力狀態(tài)）時(shí)數(shù)值不變，即與應(yīng)力球張量無關(guān)；

全反號時(shí)的數(shù)值不變。3.空間空間指的是以的九個(gè)分量為坐標(biāo)軸的九維偏應(yīng)力空間；標(biāo)志著所考察的偏應(yīng)力狀態(tài)與材料未受力（或只受靜水應(yīng)力）狀態(tài)的距離或差別的大小。聯(lián)系正到（輛3-租17稼）式，不難遍看出計(jì)代表寸空間煎的中百的廣踐義距飼離4.等效元剪應(yīng)嫌力聯(lián)系色到（增3-府19）式，可知或也可延以定聽義揪,剪應(yīng)巧力強(qiáng)棉度或等效杏剪應(yīng)治力:5.八面盆體剪科應(yīng)力香、等祖效應(yīng)舒力夢和等毫效剪同應(yīng)力姑之間漆的換秋算關(guān)并系為仗：說明連：這些量的引入，使我們有可能把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)化作“等效”（在意義下等效）的單向應(yīng)力狀態(tài)，從而有可能對不同應(yīng)力狀態(tài)的“強(qiáng)度”作出定量的描述和比較。五、三向Mo督hr圓和Lo補(bǔ)de應(yīng)力毯參數(shù)在平面上三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)為直徑端點(diǎn)，可作出三個(gè)Mohr圓，如圖3-3.其半徑為：——稱為難主剪敵應(yīng)力——最大晴剪應(yīng)寬力1.三向Mo低hr圓2.璃Lo承de應(yīng)力吵參數(shù)[分析]由圖字3-告4可塌見，丟若在朋已知奇應(yīng)力賊狀態(tài)悄上疊加嶺一個(gè)撫靜水庸壓力診，其糖效果畜僅使毒三個(gè)Mo帆hr圓一夸起沿霧軸平帖移一刻個(gè)距借離，該脖距離語等于序所疊慨加的養(yǎng)靜水付應(yīng)力晌，并不劇改變Mo腿hr圓的車大小。[結(jié)論]軸的薪位置槍與屈樂服及數(shù)塑性吹變形相無關(guān)出，決定紫屈服嘴與塑借性變沫形的腦只是Mo秘hr圓本身哨的大左小。若將彼軸平鏟移到電，并毫使則：移軸激后的梯三向Mo乓hr圓正聚是描攝述應(yīng)仇力偏張枯量的閣三向Mo纏hr圓，礦如圖恩所示勉。M點(diǎn)是P1P2線段膝的中酒點(diǎn)Lo攀de在1號92州5年贏引進(jìn)犁的參另數(shù)Lo釘de應(yīng)力洪參數(shù)當(dāng)P2點(diǎn)由P3移向P1時(shí)，的變化范圍是：下面心三個(gè)桃特殊疑情況姨是常哥用到米的：i)單向蝴拉伸得：ii鳳)純剪嘴切：ii諷i)單向判壓縮叉：只由P1、P2、P3三點(diǎn)的相對位置決定而與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇無關(guān)，故是描述應(yīng)力偏張量的一個(gè)特征值。綜上所述，OO’表示了一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的球張量部分；而以O(shè)’為坐標(biāo)原點(diǎn)的三向Mohr圓（由和所確定）則表示了應(yīng)力的偏張量部分。六、應(yīng)力幼空間甘和主渾應(yīng)力沖空間1.應(yīng)力侍空間一點(diǎn)矮的應(yīng)邪力張憐量有濟(jì)九個(gè)枝應(yīng)力腔分量訪，以熄它們辮為九戀個(gè)坐魄標(biāo)軸就得蜘到假拉想的缺九維暈應(yīng)力宋空間目?？紤]開到九趁個(gè)應(yīng)嘴力分礎(chǔ)量中堆只有笛六個(gè)粥是獨(dú)并立的償，所瘋以又患可構(gòu)成一猶個(gè)六課維應(yīng)剃力空粱間來賀描述衰應(yīng)力久狀態(tài)錢。一點(diǎn)桌的應(yīng)典力狀則態(tài)可估以用威九維詢或六憂維應(yīng)品力空旁間中項(xiàng)的一扁個(gè)點(diǎn)栗來表立示。2.主沿應(yīng)力吉空間（Ha粗ig涼h-穗We重st硬er幸ga銜ar嗽d空間孫）它是以為坐標(biāo)軸的假想的三維空間，這個(gè)空間中的一個(gè)點(diǎn)，就確定了用主應(yīng)力所表示的一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)。2.主摘應(yīng)力英空間勒的性勝質(zhì)L直線構(gòu)：主鮮應(yīng)力前空間專中過匪原點(diǎn)誦并坐鄙標(biāo)軸彼成等演角的難直線盟。其方程為顯然，L直線上的點(diǎn)代表物體中承受靜水應(yīng)力的點(diǎn)的狀態(tài)，這樣的應(yīng)力狀態(tài)將不產(chǎn)生塑性變形。平面需：主調(diào)應(yīng)力槽空間緩中過箱原點(diǎn)胖而與L直線哥垂直形的平業(yè)面。其方程為由于平面上任一點(diǎn)的平均正應(yīng)力為零，所以平面上的點(diǎn)對應(yīng)于只有應(yīng)力偏張量、不引起體積變形的應(yīng)力狀態(tài)。主應(yīng)毯力空輝間中妙任意此一點(diǎn)P所確沿定的號向量渠總可摟以分非解為康：這樣威任意只應(yīng)力親狀態(tài)垃就被葉分解篩為兩瞎部分覆，分別沿與應(yīng)殿力球蔽張量黑和應(yīng)茫力偏戲張量勤部分對應(yīng)是。小結(jié)物體章內(nèi)一登點(diǎn)的潛應(yīng)力樣狀態(tài)爭用應(yīng)煩力張飼量描爐述，萄它又信可分厭解為佩應(yīng)力球張慶量和胸應(yīng)力倦偏張沃量兩里個(gè)部綿分。塑性偶變形齡只與向應(yīng)力游偏張春量有熱關(guān)。三向Mo可hr應(yīng)力截圓和柏主應(yīng)隨力空柏間為巷應(yīng)力鍋張量忙的分姻解提咽供了物幾何形象辛和數(shù)逃學(xué)工驢具。這樣狹取州的目哪的是屠使梯構(gòu)成食一個(gè)擺二階懲對稱立張量巖，全即應(yīng)變竟張量姿?！?如.2牙應(yīng)額變分貍析一、睛位移姓與應(yīng)蓋變的轎關(guān)系1.Ca廉uc芬hy公式其中叮與工撞程剪靠應(yīng)變冊相差開一半齊，即張量顏記法贈:以記,以記。

記號修約定竹：以下歸標(biāo)之愉間的幣逗號降表示辟微商如Ca危uc爸hy公式駐的張餐量形拍式：（3別-2狐9）（3史-2晶9）盈式是兇在小濟(jì)變形鴿條件兔建立啄的。二、應(yīng)變社張量黃的分抖解應(yīng)變霞張量管也可渴以分泰解為礎(chǔ)應(yīng)變戴球張悠量和芳應(yīng)變寫偏張?jiān)┝?，諷即（3婆-3康1）應(yīng)變潮球張濱量——它與潑彈性功的體強(qiáng)積改指變部素分有鐮關(guān)；其中浴稱奏為省平均怪正應(yīng)北變應(yīng)變收偏張斤量——只反牙映變怎形中去形狀頂改變孩的那素部分桃。二、應(yīng)變暴張量復(fù)的不強(qiáng)變量應(yīng)變偏張量的三個(gè)不變量用表示：其中影分別束是主里應(yīng)變盾和應(yīng)華變偏腎張量住的主猶值。應(yīng)變蘭偏張患量的謀分解熱：三、腰等效遷應(yīng)變您和Lo遇de應(yīng)變涼參數(shù)等斜拍面（黑八面酷體面波）上撇的正賊應(yīng)變磚和剪摩應(yīng)變催：等效應(yīng)變和等效剪應(yīng)變Lo謹(jǐn)de應(yīng)變低參數(shù)三個(gè)攻特殊嚴(yán)情況響為：i)單向天拉伸墓：島則汗=泛-1板.ii暗)純剪保切：擾則鴨=辜0.ii棕i)單向約