1、本征值，本征函數(shù)，本征態(tài)2、本征態(tài)的測量？3、如何判斷某函數(shù)是否為一物理量的本征函數(shù)？4、自共軛算符的本征值特點.5、自共軛算符的不同本征值本征函數(shù)特點.6、自軛算符給出的本征函數(shù)組7、定態(tài)薛定諤方程、寫出某體系定態(tài)薛定諤方程的方法1.2.3本征態(tài)、本征值和Schr?dinger方程1公設(shè)3：若某一物理量A的算符作用于某一狀態(tài)函數(shù)，等于某一常數(shù)a乘以

，即：那么所描述的這個微觀體系的狀態(tài)，物理量A具有確定的數(shù)值a，a稱為物理量算符的本征值，稱為的本征態(tài)或本征波函數(shù)。上式稱為的本征方程。第一章量子力學基礎(chǔ)知識1.2.3本征態(tài)、本征值和Schr?dinger方程2如果微觀體系處于力學量算符的本征態(tài)

，那么當對該力學量進行測量時，只能測得唯一的數(shù)值，即本征函數(shù)所屬的本征值。計算結(jié)果(本征值)實驗結(jié)果(物理量)3例題1、cosx是否是的本征函數(shù)？2、

和對算符是否為本征函數(shù)？若是，求出其本征值。4第一章量子力學基礎(chǔ)知識例2-7：cosx是否是的本征函數(shù)？cosx是的本征函數(shù)，本征值為-1。5

和對算符是否為本征函數(shù)？若是，求出其本征值。第一章量子力學基礎(chǔ)知識

是算符的本征函數(shù)，本征值為-m。

不是算符的本征函數(shù)。6第一章量子力學基礎(chǔ)知識<說明1>自軛算符的本征值一定為實數(shù)。證明：自軛算符：對于有a＝a*由可得即7第一章量子力學基礎(chǔ)知識<說明2>自軛算符對應(yīng)不同本征值的本征函數(shù)相互正交。證明：這里：證明：8第一章量子力學基礎(chǔ)知識<說明3>對于一個微觀體系，自軛算符給出的本征函數(shù)組形成一個正交、歸一的函數(shù)基集（完備集）。即：或：自軛算符對應(yīng)不同本征值的本征函數(shù)相互正交說明每個本征態(tài)是一個純態(tài)，不包含其他狀態(tài)的成分。9第一章量子力學基礎(chǔ)知識定態(tài)Schr?dinger方程（能量的本征方程）：<說明4>Schr?dinger方程一個保守體系的總能量E在經(jīng)典力學中用Hamilton函數(shù)H表示。Hamilton算符：10第一章量子力學基礎(chǔ)知識Schr?dinger方程是量子力學的最基本方程，是量子力學的基本假設(shè)。它的更基本形式是含時Schr?dinger方程:其中：稱為Laplace算符。11第一章量子力學基礎(chǔ)知識例2-8：H原子的Schr?dinger方程(不考慮核的運動)：12第一章量子力學基礎(chǔ)知識例2-9：He原子的Schr?dinger方程（不考慮核的運動）13第一章量子力學基礎(chǔ)知識我們從什么地方得到的那個（Schr?dinger）公式？沒有什么地方。他不可能從你知道的任何公式推導(dǎo)出來。它是Erwin.Schr?dinger腦子里想出來的?！聿榈沦M曼14第一章量子力學基礎(chǔ)知識Erwin.Schr?dinger,1887-1961奧地利著名的理論物理學家，量子力學的重要奠基人之一。同時在固體的比熱、統(tǒng)計熱力學、原子光譜及鐳的放射性等方面的研究都有很大成就。

Schr?dinger對原子理論的發(fā)展貢獻卓著，因而于1933年同英國物理學家狄拉克共獲諾貝爾物理學獎。15第一章量子力學基礎(chǔ)知識Schr?dinger的波動力學，是在德布羅意提出的物質(zhì)波的基礎(chǔ)上建立起來的。他把物質(zhì)波表示成數(shù)學形式，建立了稱為Schr?dinger方程的量子力學波動方程。Schr?dinger方程在量子力學中占有極其重要的地位，它與經(jīng)典力學中的牛頓運動定律的價值相似。在經(jīng)典極限下，Schr?dinger方程可以過渡到Hamilton方程。Schr?dinger方程是量子力學中描述微觀粒子(如電子等)運動狀態(tài)的基本定律，在粒子運動速率遠小于光速的條件下適用。

Schr?dinger對分子生物學的發(fā)展也做過工作。由于他的影響，不少物理學家參與了生物學的研究工作，使物理學和生物學相結(jié)合，形成了現(xiàn)代分子生物學的最顯著的特點之一。16第一章量子力學基礎(chǔ)知識1.2.4態(tài)疊加原理本部分主要涉及：1、態(tài)疊加原理的含義。2、體系任意狀態(tài)的表示？3、物理量的平均值4、本征態(tài)測量5、任意態(tài)的測量17第一章量子力學基礎(chǔ)知識公設(shè)4：若1，2，……，n，為某一微觀體系的可能狀態(tài)，則由它們線性組合所得的也是該體系可能存在的狀態(tài)。式中c1，c2，……，cn為任意常數(shù)，稱為線性組合系數(shù)。1.2.4態(tài)疊加原理任意的狀態(tài)都可以用本征態(tài)的線性組合來表示；18第一章量子力學基礎(chǔ)知識物理量的期望值（平均值）：處于狀態(tài)的體系，其與算符對應(yīng)的物理量A的期望值（平均值）為：19第一章量子力學基礎(chǔ)知識本征態(tài)（期望值）：若本征波函數(shù)是歸一化的，則：即物理量A有確定值。設(shè)與算符的本征態(tài)1

,2

,…,n,對應(yīng)的本征值分別為a1,a2,…,an,即20第一章量子力學基礎(chǔ)知識對本征態(tài)進行測量，其結(jié)果就是本征值；那么對于非本征態(tài)，我們對其進行測量時，會得到怎樣的結(jié)果？2122第一章量子力學基礎(chǔ)知識任意的狀態(tài)都可以用本征態(tài)的線性組合來表示；若和是正交歸一的，則：任意態(tài)（平均值）：若體系處于任意態(tài)，根據(jù)態(tài)疊加原理，任意可以展開成本征態(tài)的線性組合。系數(shù)ci的大小，反應(yīng)i對的貢獻；ci2表示i在中所占的百分數(shù)。2324第一章量子力學基礎(chǔ)知識1.2.5Pauli原理1、電子自旋的發(fā)現(xiàn)。2、自旋理論的提出，如何理解自旋。3、電子運動狀態(tài)的描述-電子運動狀態(tài)完全波函數(shù)4、自旋性質(zhì)的表征5、全同粒子體系及特點25第一章量子力學基礎(chǔ)知識1.2.5Pauli原理26第一章量子力學基礎(chǔ)知識自旋：自旋是電子自身運動的一個坐標，在經(jīng)典物理中沒有類似的現(xiàn)象。不應(yīng)將它看成電子自身的旋轉(zhuǎn)。理論提出：

Uhlenbeck,Goudsmit(烏侖貝克，戈施密特)提出電子自旋假設(shè)27第一章量子力學基礎(chǔ)知識此處q為廣義坐標，q1代表?自旋性質(zhì)表征：微觀粒子的自旋性質(zhì)可以用自旋角動量量子數(shù)s表征，簡稱自旋角量子數(shù)或自旋量子數(shù)，可以為整數(shù)或者半整數(shù)。電子運動狀態(tài)描述：描述電子運動狀態(tài)的完全波函數(shù)，除了包含空間坐標（x,y,z)外，還應(yīng)包含自旋坐標ω。即電子的運動，需要有三維空間坐標和自旋坐標四個變量來確定：對于一個含n個電子的體系，其完全波函數(shù)應(yīng)為28第一章量子力學基礎(chǔ)知識微觀粒子由于其波性，相同粒子是不可分辨的，稱為全同粒子。其波函數(shù)滿足：其中：即：對于交換兩粒子的坐標位置，波函數(shù)或為對稱波函數(shù)，或為反對稱波函數(shù)。但究竟對稱還是反對稱，應(yīng)由粒子本身的性質(zhì)決定。29第一章量子力學基礎(chǔ)知識費米子：自旋量子數(shù)為半整數(shù)（s=1/2,3/2,5/2,…）的體系，如電子、質(zhì)子、中子等，描述其運動狀態(tài)的全波函數(shù)必須是反對稱波函數(shù)。玻色子：自旋量子數(shù)為整數(shù)（s=0,1,2,3,…）的體系，如光子(s=1),、介子(s=0),、氘(s=1)、粒子(s=0),等，描述其運動狀態(tài)的全波函數(shù)為對稱波函數(shù)。30第一章量子力學基礎(chǔ)知識公設(shè)5：描述多電子體系軌道運動和自旋運動的全波函數(shù)，對任意兩粒子的全部坐標（空間坐標和自旋坐標）進行交換，一定得反對稱的波函數(shù)。為自旋坐標。31第一章量子力學基礎(chǔ)知識引申出兩個常用規(guī)則：Pauli不相容原理：在一個多電子體系中，兩個自旋相同的電子不能占據(jù)同一個軌道。也就是說，在同一原子中，兩個電子的量子數(shù)不能完全相同。Pauli排斥原理：在一個多電子體系中，自旋相同的電子盡可能分開、遠離。思考？為何電子體系必須滿足pauli原理？為何波色子不受Pauli不相容原理的制約，多個玻色子可以處于相同的狀態(tài)。32第一章量子力學基礎(chǔ)知識費米子：描述其運動狀態(tài)的全波函數(shù)必須是反對稱波函數(shù)。對于費米子，若有兩個坐標完全相同，q1＝q2，則會出現(xiàn)如下情況：得由33量子力學基本公設(shè)小結(jié)：1，微觀體系的狀態(tài)用波函數(shù)來描述；2，微觀體系的物理量通過線性自軛算符獲得；3，本征值、本征態(tài)和Schr?dinger方程；4，態(tài)疊加原理和微觀體系的物理量的平均值；5，Pauli原理34微觀粒子的運動特征量子力學基本假設(shè)箱中粒子的Schr?dinger方程及其解箱中粒子的Schr?dinger方程及其解35第一章量子力學基礎(chǔ)知識用量子力學處理微觀體系的一般步驟：根據(jù)體系的物理條件，寫出勢能函數(shù)，進一步寫出Hamiltonian算符和Schr?dinger方程；解Schr?dinger方程，根據(jù)合格條件求得n和En；由和力學量算符求各力學量數(shù)值；討論?！?.3箱中粒子的Schr?dinger方程及其解36第一章量子力學基礎(chǔ)知識§1.3箱中粒子的Schr?dinger方程及其解ⅠV=∞ⅢV=∞Ⅱ

V=00lx一維勢箱中粒子，質(zhì)量為m，在一維方向上運動。邊界條件：V=0，0<x<l∞，x≤0和x≥l1.3.1最簡單的情況：一維勢箱模型3738ⅠV=∞ⅢV=∞Ⅱ

V=00lx二階常系數(shù)線性齊次方程，通解為：Schr?dinger方程：該解對自由粒子成立，但須用邊界條件確定。第一章量子力學基礎(chǔ)知識39根據(jù)品優(yōu)函數(shù)的連續(xù)性和單值性以及邊界條件：當x=0時，當x=l時，可得：第一章量子力學基礎(chǔ)知識能量量子化！40利用歸一化條件：箱外波函數(shù)為0，第一章量子力學基礎(chǔ)知識41第一章量子力學基礎(chǔ)知識…………箱中粒子能量最小值叫零點能。能量最低的狀態(tài)為基態(tài)?；鶓B(tài)的能量即為零點能。42第一章量子力學基礎(chǔ)知識除端點(x=0,x=l)外，勢箱內(nèi)n=0稱為節(jié)點?；鶓B(tài)無節(jié)點，第一激發(fā)態(tài)有一個節(jié)點，第n

激發(fā)態(tài)有n個節(jié)點。（即量子數(shù)為n，節(jié)點數(shù)為n-1），能量越高的態(tài)節(jié)點越多。43一維勢箱中粒子力學量的計算平均位置：位置算符：n不是位置算符的本征函數(shù)第一章量子力學基礎(chǔ)知識44粒子的動量沿x軸分量：n不是動量算符的本征函數(shù)第一章量子力學基礎(chǔ)知識45粒子的動量的平方：是一個具有本征值的算符第一章量子力學基礎(chǔ)知識46估算粒子的速度：考慮電子：第一章量子力學基礎(chǔ)知識471、能量量子化；2、存在零點能——不確定度關(guān)系的必然結(jié)果第一章量子力學基礎(chǔ)知識討論：量子力學計算結(jié)果與經(jīng)典力學對比能量:經(jīng)典力學：粒子的速度可以取任意值，能量的取值也是任意的（連續(xù)，非負）

能量最小值為0量子力學：483、能量間隙不均勻，并隨n的增大而增大。m,l增大，量子化不明顯，接近經(jīng)典結(jié)果。第一章量子力學基礎(chǔ)知識4、量子化不明顯，可認為能量連續(xù)。經(jīng)典物理可視為量子物理中n的極限情況。49第一章量子力學基礎(chǔ)知識粒子的位置:經(jīng)典力學：粒子在箱中各處出現(xiàn)幾率都一樣，不存在節(jié)點量子力學：粒子的分布取決于波函數(shù)模的平方，粒子在箱子中各個位置出現(xiàn)的幾率不同，表現(xiàn)出波性。波性并不是粒子本身像波一樣分布，粒子在箱中運動狀態(tài)及概率密度函數(shù)的分布像波。50第一章量子力學基礎(chǔ)知識經(jīng)典力學模型量子力學模型能量能量連續(xù)，可為任意非負值，最小為0。能量是分立的、量子化的，存在零點能E=h2/8ml2(不確定關(guān)系的必然結(jié)果)幾率分布對箱中粒子來說，箱內(nèi)所有位置都一樣。1、粒子在箱中不同位置出現(xiàn)的幾率不同，呈現(xiàn)波性。對基態(tài)來說，中間位置幾率最大。2、高能態(tài)波函數(shù)存在節(jié)點(=0)，且能量越高的態(tài)節(jié)點越多，數(shù)目為n-1。量子效應(yīng)(1)粒子可以存在多種運動狀態(tài)；(2)能量量子化；(3)存在零點能；(4)沒有經(jīng)典運動軌道，只有概率分布；(5)存在節(jié)點，節(jié)點多，能量高。511.3.2勢箱模型在化學中的應(yīng)用對于鏈狀烯烴共軛分子，可采用一維勢箱模型。52第一章量子力學基礎(chǔ)知識實際體系的一維勢箱模型1、丁二烯的離域效應(yīng)只考慮電子，有2種情況：（a）4個電子形成2個定域鍵（b）4個電子形成離域鍵5354第一章量子力學基礎(chǔ)知識55情況（b）中離域效應(yīng)使體系的電子能量比定域雙鍵分子（a）中電子的能量要低，離域效應(yīng)擴大了電子的活動范圍。即：增加一維勢箱的長度使分子能量降低，穩(wěn)定性增加。第一章量子力學基礎(chǔ)知識56第一章量子力學基礎(chǔ)知識2、花菁染料的吸收光譜結(jié)構(gòu)式：電子總數(shù)：2r+2+2=2r+4最高占據(jù)能級：ni=(2r+4)/2=r+2最低空能級：nj=r+3勢箱總長：l=（248r+565）pm57第一章量子力學基礎(chǔ)知識勢箱總長：l=（248r+565）pmrmax(theo.)/nmmax(exp.)/nm1311.6309.02412.8409.03514.0511.058Schr?dinger方程：第一章量子力學基礎(chǔ)知識Hamiltonian：1.3.3一維勢箱模型推廣到三維情況