第二單有理函數(shù)等一些特殊類(lèi)型函數(shù)的積本單元要本單元教學(xué)要本單元的重點(diǎn)與難3-4一、有理函數(shù)的不定積P

a

+axn-1+axn-

+ax+= Q)b

+bxm-1+bxm-

+bx+ Px,Q,之間沒(méi)有公因式，且P的次數(shù)小于Q的次數(shù)，此時(shí)稱該有理函數(shù)為真分式；而P的次數(shù)大于或等于Qx的次數(shù)，此時(shí)稱該有理由代數(shù)學(xué)知道，多項(xiàng)式Q總可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分 Qx=b0x-a)(x)x+px+q

(2 m 其中p2-4q<0 r20,因此

PQx

x-a

++x-aa-1+

Aax-+

M1x+x-

x-bb-

x-

2+px+q +M2x+

Mlx+Nl 2+px+q

x2+px++R1x+ 2+rx+s

R2x+ +rx+s

Rmx+Smx2+rx+s.其中Ai, Bj,Mi,Nj Ri,Sj,等都是需要確定的常x+

x+ x2-5x+

x-x-3)x- x-x3+xABxx-x- x-x- A+B=1-3A+2B)=3,A=-5,B= x+ =-

+ x2-5x+ x- x-

x2x= += x x

xx0,A=1;x=1B=A=1B=1及x2C1.1xx-

=1x

x-

- x-

Mx+

x-⑷ Mx+

x-n

+px+

+px+AA⑴x-adx=Alnx-a+ dx x-

1-xn

+⑶Mx+

2x+p+2N-Mx2+px+qdx=2

x2+px+= 2x+ dx+N-Mp q-p22x2+px+q-p2

p2 +2 + N-Mp x+ 2q-2q-42q-4 2

x2+px+

+ arctan +C.⑷ Mx+

dx==

2x+p+2N-

+px+q

(x2+px+= 2x+

dx+N-Mp nn2nn

+px+q)

p

2p2q4 p2q4 2 +N-Mp)21-x)2

+px+ I

t=x+p,a=q-

4 24 4

t+ax+ 2 而 tIn-1=

t

2+2

t

+a2n-

+2n-

t

n+a2 +2n- dt.t

+a2n-

+a2n-

t

+a2n t即 +2n- -a2I

t1

+a2

In

2nIn

n-t

+a2n- I=1arctant+ 例 求積

x+-5x+

x+ =-

+ x2-5x+ x- x- x-

+

+2x+

x- x-

x-

+6

x-

+例 求積

x-+2x+

x- 2x+2) 2 - +2x+ +2x+ x+12 x-

dx=

2x+ dx-

+2x+

2

+2x+

x+

+(2 d2+2x+ x=

-2222222+2x+

x+1)+(2=12

x2+2x+

-3arctanx+1+例 求積

xx-1xx-

=1 x-

- x- xx-2.=ln

-xx-xxx-

+C求積分例 dx求積分1+1+x2 = ++x2

1+ 1+ +x2++x+c)++x2 a+2b

a+2bx2+b+x+a+++x2

b+2c=0,a=5,b=-,c=a+c 1

=

+-2x+1 1+1+x2

51+

5

1+x2 dx=

++x2)51+

51+x2 51+x2=25

1+

-1+x2+1arctanx+ 二、可化為有理函數(shù)的三角函數(shù)的積fnxcosdxf 2tan 2tansinx=2sincos

= 2= , sec22

1+tan2 1-cosx=

= 21+tan22令utanxpxp,2 1-sinx= ,cosx= 1+u2 1+u2而du=1sec2xdx,即dx=2du= =2du sec22

1+tan22

1+u2 1-u2,. ,.

sinx,cosxdx=

f1+u21+u21+u2utan2

1+sin例 求積分sinx1+cosxdx.令utanx2

1

2du1+sin

1+u21+u dx= sinx1+cosx

1 1-u21+u2 +1+u2 =1 1 1u +2+udu=22+2u+lnu+ 例 求積分asinx+bcosxdx,其中a,b,c,d不csinx+dcosadbc設(shè)asinxbcosxAcsinxdcoscsin,,asinx+bcos

=A+

csincsinx+dcos csinx+dcos

n

dx=A+

=Ax+Blncsinx+dcosx+例 求積分 其中ab?0.asinx+bcosa2 a2a2a2

a2a2+b2a2+b2 sinsin+a2+b2a2+b2 a2+b2a其中farctanb =

a2+asinx+a2+

cosxa2+a2+

secx-f+tanx-f)+例 求積分 dx其 sinxa例 求積分 dx其aaxxx-x+x+b, +b)xx+xax

sina-bsinx+b-( ( = C.三、可化為有理函數(shù)的簡(jiǎn)單無(wú)理根ax+ax+ncx+, ax+cx+f

令t =ax+b,其中N為n,m的最小公倍數(shù)．這樣cx+例 求積分x-1x令t2x-1xt+1,dx2tdtx- x- dx

t2

+12tdt=2t2+1=2

t=2t-arctant+1 t

+1 例

求積分

33x+1令t3x2xt32ds

t

-1+11

3x+3x+

=

1+

t =3t-1+1+tdt=32-t+

1+

+3x+3x+= -33x3x+3x+2

+例 求積分

1+x2 2解