第三章剛體力學(xué)基礎(chǔ)2021/5/91§3-1剛體運(yùn)動(dòng)的基本形式1.平動(dòng)

剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。一、平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)的主要任務(wù)：研究物體的轉(zhuǎn)動(dòng)及轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)變化的規(guī)律。剛體可視為無數(shù)個(gè)連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，組成剛體的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)稱為剛體的一個(gè)質(zhì)量元。每個(gè)質(zhì)量元都服從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)規(guī)律。剛體—在外力作用下不產(chǎn)生形變的物體。

特點(diǎn)：任意兩點(diǎn)間的距離始終保持不變2021/5/92一、平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)2.轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)——整個(gè)轉(zhuǎn)軸相對參考系靜止。2021/5/93§3-1剛體運(yùn)動(dòng)的基本形式一、平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)AB剛體的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)——平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的疊加。是平動(dòng)還是轉(zhuǎn)動(dòng)？2021/5/94※專題講座剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)描述2021/5/95一、描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量—用角量描述定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平面：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)面

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)：

1.轉(zhuǎn)動(dòng)平面垂直于轉(zhuǎn)軸。

2.轉(zhuǎn)動(dòng)平面上各點(diǎn)均做圓周運(yùn)動(dòng)，角量相同，線量不同。

3.

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的角速度矢量的方向均沿軸線。角坐標(biāo):θ單位：弧度（rad）角位移：?θ，角速度的大?。簡挝唬夯《?秒（rad/s）角加速度的大?。簡挝唬夯《?秒（rad/s）

注意：、是矢量，在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中由于軸的方位不變，故用正負(fù)表示其方向。2021/5/962021/5/97定義力矩的大小:方向:與

、

成右手螺旋關(guān)系力矩為矢量。用矢量表示為二、對轉(zhuǎn)軸的力矩單位：N?m2021/5/98二、對轉(zhuǎn)軸的力矩單位：N?m

在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，外力

在該平面內(nèi)的分量與力線到轉(zhuǎn)軸的距離d

的乘積定義為對轉(zhuǎn)軸的力矩。大小:方向:與

、

成右手螺旋關(guān)系2021/5/99二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律—牛頓定律的應(yīng)用外力內(nèi)力定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的基本關(guān)系式把剛體看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，研究其中一個(gè)質(zhì)量元?mi根據(jù)牛頓第二定律：用上式兩邊兩邊取∑，得0合外力矩合內(nèi)力矩2021/5/910二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律—牛頓定律的應(yīng)用則因?yàn)樗怨剩睢D(zhuǎn)動(dòng)慣量從而得轉(zhuǎn)動(dòng)定律:外力內(nèi)力0合外力矩合內(nèi)力矩2021/5/911二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體在作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的角加速度與它所受到的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。轉(zhuǎn)動(dòng)定律和牛頓第二定律的比較m是物體平動(dòng)慣性的量度；J是物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度。轉(zhuǎn)動(dòng)定律在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的地位與牛頓第二定律在剛體平動(dòng)（或質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)）中的地位是相當(dāng)?shù)摹?021/5/912三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1.定義單位:m·s2

剛體對定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于其各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離的平方之積求和。

影響J的因素剛體的總質(zhì)量(同分布M>m,JM>Jm)剛體質(zhì)量分布(同m,J中空>J實(shí))轉(zhuǎn)軸的位置

外力矩和力、角量和線量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和質(zhì)量這三對對應(yīng)關(guān)系，貫穿了整個(gè)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的討論。2021/5/9132.計(jì)算(1)分離質(zhì)點(diǎn)系例3-1.由長l的輕桿連接的質(zhì)點(diǎn)如圖所示，求質(zhì)點(diǎn)系對過A垂直于該平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：由定義式思考：A點(diǎn)移至質(zhì)量為2m的桿中心處J=?轉(zhuǎn)軸2021/5/914

例3-2.

一長為L的細(xì)桿，質(zhì)量m均勻分布，求該桿對垂直于桿，分別過桿的中點(diǎn)和一端端點(diǎn)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解:(1)軸過中點(diǎn)在桿上任取dm(2)軸過一端端點(diǎn)在桿上任取dm2.計(jì)算(1)分離質(zhì)點(diǎn)系(2)若質(zhì)量連續(xù)分布2021/5/915例3-3.求質(zhì)量為m，半徑為R的細(xì)圓環(huán)和均勻薄圓盤分別繞通過各自中心并與圓面垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Rdl解:

(1)在細(xì)圓環(huán)上取一質(zhì)量元(2)在距O為r處取一寬為dr的圓環(huán)，Rrdr其質(zhì)量為OO2021/5/916

若剛體對過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jc，則剛體對與該軸相距為d的平行軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz是mRJzJc四、平行軸和正交軸定律1、平行軸定律l

細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過中心與棒垂直l

細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過端點(diǎn)與棒垂直

薄圓盤轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直r2021/5/917四、平行軸和正交軸定律2、正交軸定律

幾何形狀不規(guī)則的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，由實(shí)驗(yàn)測定。

設(shè)一薄板如圖所示，過其上一點(diǎn)O作z軸垂直于板面，x、y軸在板面內(nèi)。

Jx、Jy、Jz分別為繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。2021/5/918例3-3.

質(zhì)量為M=16kg的實(shí)心滑輪，半徑為R=

0.15m。一根細(xì)繩繞在滑輪上，一端掛一質(zhì)量為m=8kg的物體。設(shè)細(xì)繩不伸長且與滑輪間無相對滑動(dòng)，求：(1)由靜止開始1秒鐘后，物體下降的距離。(2)繩子的張力。解：對滑輪、物體受力分析如圖mMmmgTMgN由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由牛頓定律(1)(2)2021/5/919

例3-4.如圖所示，一質(zhì)量為M的滑輪掛有重物m1、m2，已知m2

>m1，求T1、T2和a

。解：mMm1m2RT1T2m1gm2gMgN受力分析如圖所示由轉(zhuǎn)動(dòng)定律和牛頓第二定律可得又有可解得2021/5/920例3-5.

一質(zhì)量為m，長為l的均質(zhì)細(xì)桿，可繞垂直于平面、穿過O點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸距A

端l/3。今使棒從靜止開始由水平位置繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，求：(1)水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置時(shí)的角速度和角加速度。(1)OBA解：已知由平行軸定理由轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得(2)垂直時(shí)，力矩為零。故設(shè)棒在任意時(shí)刻位置如圖由轉(zhuǎn)動(dòng)定律mgc2021/5/921剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能和力矩的功※專題講座2021/5/922一、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能miz質(zhì)元?jiǎng)幽埽憾?、剛體的重力勢能剛體的重力勢能

結(jié)論：剛體的重力勢能應(yīng)等于質(zhì)量集中于質(zhì)心的重力勢能2.剛體的機(jī)械能2021/5/923三、力矩的功和功率1.力矩的功：2.合力矩的功：3.力矩功率：

注：力矩求和只能對同一參考點(diǎn)(或軸)進(jìn)行。zdθβ2021/5/924四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

合外力矩對剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。五、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理由動(dòng)能定理重力做功由勢能計(jì)算，因此機(jī)械能為六、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒定律如果A外

=0，則2021/5/925例3-7、

一質(zhì)量為M、半徑R的圓盤，盤上繞有細(xì)繩，一端掛有質(zhì)量為m的物體。設(shè)細(xì)繩不伸長且與滑輪間無相對滑動(dòng)，問物體由靜止下落高度h時(shí)其速度為多大？mMm解法1：受力分析如圖所示解得mgT對圓盤：由動(dòng)能定理對物體：由動(dòng)能定理2021/5/926例3-7、

一質(zhì)量為M、半徑R的圓盤，盤上繞有細(xì)繩，一端掛有質(zhì)量為m的物體。設(shè)細(xì)繩不伸長且與滑輪間無相對滑動(dòng)，問物體由靜止下落高度h時(shí)其速度為多大？mMm解法2：受力分析如圖所示解得mgT假設(shè)初始的機(jī)械能為零，則2021/5/927角動(dòng)量定理及角動(dòng)量守恒定律※專題講座2021/5/928引人與動(dòng)量對應(yīng)的角量—角動(dòng)量(又稱:動(dòng)量矩)1.質(zhì)點(diǎn)相對某一固定點(diǎn)的角動(dòng)量定義xyzmO

問題：圖示圓盤視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，vc=

0miv=

Mvc=0，如何量度轉(zhuǎn)動(dòng)物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)量？一、角動(dòng)量大小:方向:滿足右手螺旋關(guān)系單位:kg·m2·s-1注意:在說明一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量時(shí)，必須指明是對哪一個(gè)固定點(diǎn)而言的。2021/5/9292.質(zhì)點(diǎn)對定軸的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)繞某一定軸作平面圓周運(yùn)動(dòng)，

與

相互垂直，則xyzmO對照2021/5/930轉(zhuǎn)動(dòng)平面mi對z軸的角動(dòng)量：大小：剛體對z軸的總角動(dòng)量為1.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理二、剛體的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量：對時(shí)間t求導(dǎo):0

質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量對時(shí)間的變化率等于質(zhì)點(diǎn)所受的合力矩。質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理微分式：3.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量2021/5/931

稱為質(zhì)點(diǎn)所受合外力矩的沖量矩（或稱角沖量），單位：m·N·s。質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理積分式：

質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)在t1t2時(shí)間內(nèi)所受合外力矩的沖量矩等于該段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量。2.質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量：0

對于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體來說，力矩和角速度只沿著Z軸方向。2021/5/932三、角動(dòng)量守恒定律當(dāng)角動(dòng)量守恒定律:剛體所受合外力矩為零，則剛體的角動(dòng)量保持不變。下面看幾個(gè)角動(dòng)量守恒實(shí)例3.定軸剛體的角動(dòng)量定理

剛體的角動(dòng)量定理：剛體在t1t