第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學(xué)年福建省漳州重點中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知函數(shù)f(x)=x2?x，則fA.2 B.Δx+3

C.(2.過點P(0,2)作曲線A.(1,1) B.(2,3.已知直線l1的方向向量a=(2,4,x)，直線l2的方向向量bA.?3或1 B.3或?1 C.?34.某班組織由甲，乙，丙等5名同學(xué)參加的演講比賽，現(xiàn)采用抽簽法決定演講順序，在“學(xué)生甲不是第一個出場，學(xué)生乙不是最后一個出場”的前提下，學(xué)生丙第一個出場的概率為(

)A.313 B.413 C.145.我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為00型，比如：當x→0時，ex?1x的極限即為00型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法A.0 B.12 C.1 D.6.已知函數(shù)f(x)=12A.{a|a<?2或a>2} B.7.?？阽姌堑臍v史悠久，最早是為適應(yīng)對外通商而建立，已成為?？诘淖钪匾臉酥拘耘c象征性建筑物之一．如圖所示，?？阽姌堑闹黧w結(jié)構(gòu)可以看作一個長方體，四個側(cè)面各有一個大鐘，則從8：00到10：00這段時間內(nèi)，相鄰兩面鐘的分針所成角為60°的次數(shù)為(

)A.2

B.4

C.6

D.88.已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù).函數(shù)f(x)A.e2f(2)>f(0二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.已知v為直線l的方向向量n1，n2，分別為平面α，β的法向量(α,β不重合A.n1//n2?α//10.以下在區(qū)間(0,1)A.f(x)=lnx?x11.以下四個命題中錯誤的是(

)A.空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示

B.已知函數(shù)f(x)=lnx+x2?ax在定義域上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是a≤22

C.對空間任意一點O和不共線的三點A、B、C，若OP=2OA?2O12.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為棱A.存在Q點，使得D1Q⊥平面A1PD

B.若D1Q//平面A1PD，則動點Q的軌跡是一條線段

C.當且僅當Q點落在棱三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.函數(shù)f(x)=l14.已知空間向量a=(1,n,12)，b=(?15.已知函數(shù)f(x)=ex+16.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c恰有兩個零點x1，x2和一個極大值點x0(x1四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，曲線y=f(x)在點P(18.(本小題12.0分)

目前，新冠還在散發(fā)，防疫任重道遠，經(jīng)濟下行，就業(yè)壓力大，為此，國家大力提倡大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)．小李大學(xué)畢業(yè)后在同一城市開了A，B兩家小店，每家店各有2名員工．五一期間，假設(shè)每名員工請假的概率都是12，且是否請假互不影響．若某店的員工全部請假，而另一家店沒有人請假，則調(diào)劑1人到該店以維持正常運轉(zhuǎn)，否則該店就關(guān)門停業(yè)．

(1)求有員工被調(diào)劑的概率；

(19.(本小題12.0分)

如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，C1D1的中點．

(1)求點20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=12x2?(a+2)x+2alnx21.(本小題12.0分)

如圖(1)，菱形ABCD中，∠ABC=120°，動點E，F(xiàn)分別在邊AD，AB上(不含端點)，且EF=λDB(0<λ<1)，沿EF將△AEF向上折起得到△PEF22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=ex?x+e3a，其中?65≤a<3e3?1，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的零點為x0，函數(shù)g(x)=x+a答案和解析1.【答案】B

【解析】解：函數(shù)f(x)=x2?x從2到2+△x的平均變化率為：2.【答案】A

【解析】解：設(shè)切點的坐標為(m,n)，

y=1x的導(dǎo)數(shù)為y′=?1x2，

可得切線的斜率為k=?1m2，

又切線過P(0,2)，可得3.【答案】A

【解析】解：由已知得|a|=4+16+x2=6a?b=4+4y+2x=0，

解得x=?4，4.【答案】A

【解析】解：設(shè)事件A={學(xué)生甲不是第一個出場，學(xué)生乙不是最后一個出場}，事件B={學(xué)生丙第一個出場}，

所以P(AB)=3A33A55=320

P(A)=A44+35.【答案】B

【解析】解：x→1limx2lnx6.【答案】C

【解析】解：∵函數(shù)f(x)=12x2?ax+lnx?2有兩個極值點，∴函數(shù)的定義域為(0,+∞)，

且f′(x)=x?a+1x7.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了異面直線所成角，屬于中檔題．

在長方體ABCD?A1B1C1D1中，建立空間直角坐標系，設(shè)矩形AA1B【解答】解：在長方體ABCD?A1B1C1D1中，以點A為坐標原點，AB、AD、AA1所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設(shè)矩形AA1B1B的對角線的交點為E，矩形AA1D1D的對角線的交點為F，分針長為a，

考査8：00到9：00這個時間段，設(shè)t時刻，側(cè)面AA1B1B、AA1D1D內(nèi)的鐘的分針的針點的位置分別為M、N，

設(shè)EM=(asinθ,0,acosθ)，其中?360°≤θ≤0

8.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題．

構(gòu)造函數(shù)F(x)=exf(x)，對F(x)求導(dǎo)，根據(jù)已知條件可得F(x)在[1【解答】解：設(shè)F(x)=exf(x)，則F′(x)=exf(x)+exf′(x)=ex[f(x)+f′(x)]，

∵對任意的x≥1都有f′(x)+f(x)>0，

∴F′(x)>0，則F(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，

9.【答案】AB【解析】解：對于A，平面α，β不重合，∴平面α，β的法向量平行等價于平面α，β平行，故A正確；

對于B，平面α，β不重合，∴平面α，β的法向量垂直等價于平面α，β垂直，故B正確；

對于C，直線的方向向量垂直于平面的法向量等價于直線平行于平面或直線在平面內(nèi)，故C錯誤；

對于D，直線的方向向量垂直于平面的法向量等于直線平行于平面或直線在平面內(nèi)，故D錯誤．

故選：AB．

法向量垂直于平面，根據(jù)兩向量的位置關(guān)系分別進行判斷求解．

本題考查線面平行、線面垂直、平面的法向量等基礎(chǔ)知識，是基礎(chǔ)題．10.【答案】BC【解析】解：f(x)=lnx?x，f′(x)=1x?1，

x∈(0,1)，f′(x)=1x?1>0，故f(x)=lnx?x在(0,1)上單調(diào)遞增，故A錯誤；

f(x)=11.【答案】AD【解析】解：對于A，空間的任何一個向量都可用其他三個不共面的向量表示，

A中忽略三個基底不共面的限制，故A錯誤；

對于B，函數(shù)f(x)=lnx+x2?ax(x>0)，則f′(x)=1x+2x?a(x>0)．

因為函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，

所以f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，即1x+2x?a≥0在(0,+∞)上恒成立，

所以1x+2x≥a在(0,+∞)上恒成立，因為當x>0時，1x+2x≥22，當且僅當1x=2x，即x=22時等號成立．

所以a的取值范圍是(?∞,22]，故B正確；

對于C，因為OP=2OA?2OB+OC，所以O(shè)P?OC=2(OA?OB)，即CP=2BA，所以CP與BA共線，即P、A12.【答案】BC【解析】解：選項B，分別取B1C1，CC1中點E，F(xiàn)，連接D1E，D1F，EF，PF，

由PF與B1C1，A1D1平行且相等得平行四邊形A1PFD1，所以D1F//A1P，

又因為D1F?平面A1DP，A1P?平面A1DP，所以D1F//平面A1DP，

連接B1C，EF//B1C，B1C//A1D，所以EF//A1D，同理EF//平面A1DP，

又因為EF∩D1F=F，EF，D1F?平面D1EF，所以平面D1EF//平面A1DP，

當Q∈EF時，D1Q?平面D1EF，所以D1Q//平面A1DP，即Q點軌跡是線段EF，B正確；

選項A，以D1為原點，D1A1，D1C1，DC據(jù)直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則

A1(1,0,0)，D(0,0,1)，P(1,1,12)，

設(shè)Q(x,1,z)(0≤x,z≤1)，A1D=(?1,0,1)，A1P=(0,1,12)，D13.【答案】(1【解析】解：函數(shù)f(x)=lnx+1x的定義域為(0,+∞)，

f′(x)=1x?1x214.【答案】6【解析】解：根據(jù)題意，空間向量a=(1,n,12)，b=(?2,1,?1)，則2a?b=(4,2n?115.【答案】(?【解析】解：函數(shù)f(x)=ex+e?x+cosx的定義域為R，且f(?x)=e?x+ex+cosx=f(x)，則f(x)是偶函數(shù)，∵

f′(x)=ex?e?x?s16.【答案】4

4

【解析】解：因為函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有一個極大值點x0，則該函數(shù)必有一個極小值點，且極小值點大于x0，

又f(x)恰有兩個零點x1，x2，且x1<x0<x2，因此x2也是f(x)的極小值點，

則f′(x)=3x2+2ax+b，即x0，x2是方程f′(x)=0的二根，有x0+x2=?2a3x0x2=b3，

則a=?3(x0+x2)2b=3x0x2，

顯然f(x)=(x?x1)(x?x2)2=x3?(x1+2x2)x217.【答案】解：(1)f′(x)=3x2+2ax+b，f′(1)=3+2a+b．

∴k=f′(1)=3+2a+b=?4

①

曲線y=f(x)在點P處的切線方程為y?f(1)=?4(x?1)，

即y=?4x+4+f(1)=?4x【解析】本題主要考查由函數(shù)的切線方程確定函數(shù)解析式的方法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值等，屬于中檔題．

(1)由題意得到關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組即可確定函數(shù)的解析式；

(2)18.【答案】解：記事件Ai=“A家小店有i名員工請假”，Bi=“B家小店有i名員工請假”，其中i=0，1，2，

題設(shè)知，事件Ai，Bi相互獨立，且P(A0)=P(B0)=(12)2=14P(A1)=P(B1)=2?(12)2【解析】(1)由題意可知，記事件Ai=“A家小店有i名員工請假”，Bi=“B家小店有i名員工請假”，事件C=“有員工被調(diào)劑”，則C=A0B2+19.【答案】解：(1)以點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線為坐標軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則D(0,0,0)，E(2,0,1)，F(xiàn)(0,1,2)，B1(2,2,2)，

則DE=(2,0,1)，DF=(0,1,2)，DB1=(2,2,2)，【解析】(1)以點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，可求得平面DEF的一個法向量為n=(?1,?4,2)，DB1=(220.【答案】解：(1)f′(x)=(x?2)(x?a)x，x>0，

當a=2時，f′(x)≥0?x∈(0,+∞)，

∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞)，

當0<a<2時，由f′(x)>0?x∈(0,a)∪(2,+∞)，

∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,a)，(2,+∞)，

由f′(x)<0?x∈(a,2)，∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(a【解析】(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和定義域，結(jié)合函數(shù)的切線方程建立方程關(guān)系進行求解，

(2)21.【答案】解：(1)由題意易知△ABD是等邊三角形，

又EF=λDB，故EF//BD，故△PEF也是等邊三角形，

取EF的中點O，連接DO，則PO⊥EF，平面PEF⊥平面BCDEF，PO?平面PEF，

平面PEF∩平面BCDEF=EF，故PO⊥平面BCDEF，BF?平面BCDEF，

故PO⊥BF，由BF⊥PD，而DO∩PO，故BF⊥平面POD，OD?平面POD，

故BF⊥OD，

延長DO交AB于點N，則DN⊥AB，AO⊥BD，故O為△ABD的重心，

又O點在EF上，EF//BD，故【解析】(1)證明BF⊥OD，延長DO交AB于點N，確定

O為△A22.【答案】證明：(1)①∵f′(x)=ex?1，當x>0時，ex>1，

∴f′(x)>0，

∴f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，