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第二學(xué)期第一次課第五章§3實與復(fù)二次型的分類1．復(fù)、實二次型的規(guī)范形：定理復(fù)數(shù)域上的任一二次型在可逆變數(shù)替換下都可化為規(guī)范形其中是的秩.復(fù)二次型的規(guī)范形是唯一的.證明復(fù)數(shù)域C上給定二次型)()設(shè)它在可逆線性變數(shù)替換X＝TZ下變?yōu)闃藴市汀@相當于在C上n維線性空間V內(nèi)做一個基變換使對稱雙線性函數(shù)f（α，β）在新基下的矩陣成對角形，即設(shè)…中有r個不為零。只要把的次序重新排列一下，就可以使不為零的排在前面，而后面n－r個全為零。因此，不妨設(shè)f的標準型為…（，f的矩陣為A=(),有＝＝因T可逆，r（D）=r(A).故D中主對角線上非零元素個數(shù)r＝r（D）＝r（A）＝f的秩。因為在復(fù)數(shù)域內(nèi)任意一個數(shù)都可以開平方，所以可以對上述標準型再做如下可逆線性變數(shù)替換（其中為的任一平方根）：于是f變作定理實數(shù)域上的任一二次型在可逆變數(shù)替換下都可化為規(guī)范形其中正平方項的個數(shù)稱為的正慣性指數(shù)，負平方項的個數(shù)稱為的負慣性指數(shù)（稱為的符號差），是的秩.實二次型的規(guī)范形是唯一的.證明在實數(shù)域R上給定二次型()設(shè)f的秩為r，由上一定理的證明可知，存在R上可逆線性變數(shù)替換X＝TZ，使f化為標準型…其中…為非零實數(shù)。按同樣的道理，不妨設(shè)前p個:…為正數(shù)，而余下r－p個：為負數(shù)。因為在R內(nèi)任何正數(shù)均可開平方，故可做R內(nèi)可逆線性變數(shù)替換于是二次型化作其中.現(xiàn)在證規(guī)范型的唯一性。規(guī)范型中的r等于f的秩，是唯一確定的，我們只需證明正平方項的個數(shù)p也是唯一確定的就可以了。設(shè)f有兩個規(guī)范型按命題2.2的推論，這表明在R上n維線性空間V內(nèi)存在一組基，使當時在V內(nèi)又存在一組基，使當時，現(xiàn)令M=L()，則當時，(不全為零)。于是。又令N＝L（）。則當時，有

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