數(shù)字圖像處理傅立葉變換第一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六

一.圖像變換的作用

圖像變換的定義是將圖像從空域變換到其它域（如頻域）的數(shù)學變換

圖像變換的作用我們人類視覺所感受到的是在空間域和時間域的信號。但是，往往許多問題在頻域中討論時，有其非常方便分析的一面。

1.方便處理

2.便于抽取特性第二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六常用的變換傅立葉變換FourierTransform2.離散余弦變換DiscreteCosineTransform3.沃爾什－哈達瑪變換Walsh-HadamardTransform第三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六二.傅立葉變換

傅立葉變換的作用（1）可以得出信號在各個頻率點上的強度。（2）可以將卷積運算化為乘積運算。（3）傅氏變換和線性系統(tǒng)理論是進行圖像恢復和重構的重要手段。（4）傅立葉變換能使我們從空間域與頻率域兩個不同的角度來看待圖像的問題，有時在空間域無法解決的問題在頻域卻是顯而易見的。第四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六

傅立葉變換的定義傅立葉變換若f(x)為一維連續(xù)實函數(shù)，則它的傅里葉變換可定義為：傅立葉逆變換定義如下：第五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六

函數(shù)f(x)和F(u)被稱為傅立葉變換對。即對于任一函數(shù)f(x)，其傅立葉變換F(u)是惟一的；反之，對于任一函數(shù)F(u)，其傅立葉逆變換f(x)也是惟一的。第六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六傅里葉變換的條件

傅里葉變換在數(shù)學上的定義是嚴密的，它需要滿足如下狄利克萊條件：(1)具有有限個間斷點；

(2)具有有限個極值點；

(3)絕對可積;第七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六F(u)可以表示為如下形式：|F(u)|稱為F(u)的模，也稱為函數(shù)f(x)的傅立葉譜，稱為F(u)的相角。第八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六稱為函數(shù)f(x)的能量譜或功率譜。第九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六高斯函數(shù)的定義為：例1高斯函數(shù)的傅立葉變換根據(jù)傅立葉變換的定義可得：第十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六令x+ju=t，上式可以化為：結論:與即，高斯函數(shù)的傅立葉變換依然是高斯函數(shù)為傅立葉變換函數(shù)對。第十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六例2.矩形函數(shù)

矩形函數(shù)形式如下:

第十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六根據(jù)傅立葉變換的定義，其傅立葉變換如下：第十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六可得矩形函數(shù)f(x)的傅立葉頻譜為：幾何圖形如下頁圖(b)所示第十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六第十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六第十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六線性系統(tǒng)與傅立葉變換第十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六傅立葉變換在圖像濾波中的應用首先，我們來看Fourier變換后的圖像，中間部分為低頻部分，越靠外邊頻率越高。因此，我們可以在Fourier變換圖中，選擇所需要的高頻或是低頻濾波。第十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六傅立葉變換在卷積中的應用直接進行時域中的卷積運算是很復雜的。傅立葉變換將時域的卷積變換為頻域的乘積。第十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六三.離散傅立葉變換

離散傅立葉變換的定義

要在數(shù)字圖像處理中應用傅立葉變換，還需要解決兩個問題：一是在數(shù)學中進行傅立葉變換的f(x)為連續(xù)（模擬）信號，而計算機處理的是數(shù)字信號（圖像數(shù)據(jù)）；二是數(shù)學上采用無窮大概念，而計算機只能進行有限次計算。通常，將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換（DiscreteFourierTransform，DFT)。第二十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六

離散傅立葉變換

離散傅立葉變換的定義離散傅立葉正變換:第二十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六離散傅立葉逆變換:第二十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六四.傅立葉變換的性質加法定理位移定理相似性定理卷積定理能量保持定理第二十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六

加法定理第二十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六第二十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六

位移定理第二十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六

相似性定理結論：一個“窄”的函數(shù)有一個“寬”的頻譜第二十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六第二十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六

旋轉不變性

由旋轉不變性可知，如果時域中離散函數(shù)旋轉θ角度，則在變換域中該離散傅立葉變換函數(shù)也將旋轉同樣的角度。離散傅立葉變換的旋轉不變性如圖所示。(a)(b)(d)(c)圖離散傅立葉變換的旋轉不變性（a）原始圖像；（b）原始圖像的傅立葉頻譜；（c）旋轉45°后的圖像；（d）圖像旋轉后的傅立葉頻譜

第二十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六卷積定理第三十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六能量保持定理第三十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六五.二維傅立葉變換1.二維連續(xù)函數(shù)傅立葉變換的定義二維傅立葉正變換:第三十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六二維傅立葉逆變換:第三十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六第三十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六2.二維離散函數(shù)傅立葉變換的定義

根據(jù)一維離散傅立葉變換的定義和二維連續(xù)傅立葉變換理論，對于一個具有M×N個樣本值的二位離散序列f(x，y)，（x=0,1,2,3,…,M-1；y=0,1,2,3,…,N-1）其傅立葉變換為：(1)二維離散傅立葉正變換第三十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六(2)二維離散傅立葉逆變換若已知頻率二維序列F(u，v)（u=0,1,2,3,…,M-1；v=0,1,2,3,…,N-1），則二維離散序列F(u，v)的傅立葉逆變換定義為：第三十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六Δx、Δy和Δu、Δv，分別為空間域采樣間隔和頻率域采樣間隔兩者之間滿足如下關系：第三十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六

式中序列R(u，v)和I(u，v)分別表示離散序列F(u，v)的實序列和虛序列。二維序列f(x，y)的頻譜（傅立葉幅度譜）、相位譜和能量譜（功率譜）分別如下：F(u，v)可以表示為如下形式：第三十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六(1)．線性特性3.二維離散傅立葉變換的性質(2)比例性質=第三十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六(3)平移性質

二維傅立葉變換的移位特性表明，當用乘以f(x，y)，然后再進行乘積的離散傅里葉變換時，可以使空間頻率域u-v平面坐標系的原點從(0，0)平移到(u0，v0)的位置。第四十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六(4)可分離性第四十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六

二維傅立葉變換的可分離特性表明，一個二維傅立葉變換可通過二次一維傅立葉變換來完成，即：第一次先對y進行一維傅立葉變換在此基礎上對x進行一維傅立葉變換第四十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六變量分離步驟如圖所示第四十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六

若已知頻率二維序列F(u，v)，則二維可分離性對傅立葉逆變換同樣適應逆變換的分離性也同樣可以分解為兩次一維傅立葉變換第四十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六(5)周期性

如果二維離散函數(shù)f(x，y)的傅里葉變換為F(u，v)，則傅立葉變換及其逆變換存在如下周期特性：第四十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六(6)共軛對稱性第四十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六半周期的傅里葉頻譜全周期的傅里葉頻譜一幅二維圖像的傅里葉頻譜中心化的傅里葉頻譜第四十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六(7)旋轉不變性

圖像f(x，y)可以表示為f(r，θ)。同樣，空間頻率域的F(u，v)采用極坐標可以表示為F(ρ，)。二維離散傅立葉存在如下旋轉特性：第四十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六(a)原始圖像(b)DFT變換(c)原始圖像旋轉45o(d)旋轉之后DFT變換結果第四十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六(8)微分性質第五十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六(9)平均值性質平均值定義如下平均值性質如下：