5．2.2間接證明：反證法[讀教材·填要點(diǎn)]1．反證法的定義先假設(shè)原命題的否認(rèn)成立，從這個(gè)假設(shè)動(dòng)身，經(jīng)過(guò)推理，得出與事實(shí)相沖突的結(jié)論，這個(gè)沖突的結(jié)果說(shuō)明原命題結(jié)論的否認(rèn)不成立，從而間接確定了原命題結(jié)論成立，這種間接證法稱為反證法．2．反證法的一般步驟(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論．[小問(wèn)題·大思維]1．用反證法證明命題“假設(shè)p，那么q〞時(shí)，綈q假，q即為真嗎？提示：是的．在證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要證明的結(jié)論要么正確，要么錯(cuò)誤，二者中居其一，綈q是q的反面，假設(shè)綈q為假，那么q必為真．2．反證法與逆否命題證明的區(qū)分是什么？提示：反證法的理論依據(jù)是p與綈p真假性相反，通過(guò)證明綈p為假命題說(shuō)明p為真命題，證明過(guò)程中要消失沖突；逆否命題證明的理論依據(jù)是“p?q〞與“綈q?綈p〞是等價(jià)命題，通過(guò)證明命題“綈q?綈p〞為真命題來(lái)說(shuō)明命題“p?q〞為真命題，證明過(guò)程不消失沖突．用反證法證明否認(rèn)型命題直線y＝kx＋m(m≠0)與橢圓W：eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，C兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形OABC不行能為菱形．[自主解答]假設(shè)四邊形OABC為菱形．由于點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且AC⊥OB，所以k≠0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝4，,y＝kx＋m))消去y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，那么eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(4km,1＋4k2)，eq\f(y1＋y2,2)＝k·eq\f(x1＋x2,2)＋m＝eq\f(m,1＋4k2)，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，那么Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4km,1＋4k2)，\f(m,1＋4k2)))，由于M為AC和OB的交點(diǎn)，且m≠0，k≠0，所以直線OB的斜率為－eq\f(1,4k).由于k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4k)))≠－1，所以AC與OB不垂直．所以O(shè)ABC不是菱形，與假設(shè)沖突．所以四邊形OABC不行能是菱形．1．用反證法證明否認(rèn)性命題的適用類(lèi)型結(jié)論中含有“不〞“不是〞“不行能〞“不存在〞等詞語(yǔ)的命題稱為否認(rèn)性命題，此類(lèi)問(wèn)題的正面比擬模糊，而反面比擬詳細(xì)，適合使用反證法．2．用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟1．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)．求證：f(x)＝0無(wú)整數(shù)根．證明：假設(shè)f(x)＝0有整數(shù)根n，那么an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均為奇數(shù)，即c為奇數(shù)，a＋b為偶數(shù)，那么an2＋bn＝－c為奇數(shù)，即n(an＋b)為奇數(shù)．∴n，an＋b均為奇數(shù)，又∵a＋b為偶數(shù)，∴an－a為奇數(shù)，即a(n－1)為奇數(shù)，∴n－1為奇數(shù)，這與n為奇數(shù)沖突．∴f(x)＝0無(wú)整數(shù)根．用反證法證明“至多〞“至少〞型命題a≥－1，求證三個(gè)方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解．[自主解答]假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根，那么三個(gè)方程中：它們的判別式都小于0，即：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2－4－4a＋3＜0，,a－12－4a2＜0，,2a2＋4×2a＜0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＜a＜\f(1,2)，,a＞\f(1,3)或a＜－1，?－\f(3,2)＜a＜－1，,－2＜a＜0.))這與a≥－1沖突，所以假設(shè)不成立，故三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解．用反證法證明“至多〞“至少〞等問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)反設(shè)狀況要全面，在使用反證法時(shí)，必需在假設(shè)中排列出與原命題相異的結(jié)論，缺少任何一種可能，反證法都是不完全的．(2)常用題型：對(duì)于否認(rèn)性命題或結(jié)論中消失“至多〞“至少〞“不行能〞等字樣時(shí)，常用反證法．2．a(chǎn)1＋a2＋a3＋a4>100，求證：a1，a2，a3，a4中至少有一個(gè)數(shù)大于25.證明：假設(shè)a1，a2，a3，a4均不大于25，即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，那么a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，這與a1＋a2＋a3＋a4>100沖突，故假設(shè)錯(cuò)誤．所以a1，a2，a3，a4中至少有一個(gè)數(shù)大于25.用反證法證明“唯一〞型命題用反證法證明：過(guò)直線a外一點(diǎn)A有且只有一條直線b與直線a平行．[自主解答]由兩條直線平行的定義和幾何圖形可知，過(guò)點(diǎn)A至少有一條直線與直線a平行．假設(shè)過(guò)點(diǎn)A還有一條直線b′與直線a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.由于b∥a，由平行公理知b′∥b.這與假設(shè)b∩b′＝A沖突，所以假設(shè)錯(cuò)誤，原命題成立．巧用反證法證明唯一性命題(1)當(dāng)證明結(jié)論有以“有且只有〞“當(dāng)且僅當(dāng)〞“唯一存在〞“只有一個(gè)〞等形式消失的命題時(shí)，由于反設(shè)結(jié)論易于推出沖突，故常用反證法證明．(2)用反證法證題時(shí)，假如欲證明命題的反面狀況只有一種，那么只要將這種狀況駁倒了就可以；假設(shè)結(jié)論的反面狀況有多種，那么必需將全部的反面狀況一一駁倒，才能推斷結(jié)論成立．(3)證明“有且只有一個(gè)〞的問(wèn)題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性．3．設(shè)a>1，函數(shù)f(x)＝(1＋x2)ex－a.證明：f(x)在(－∞，＋∞)上僅有一個(gè)零點(diǎn)．證明：由于a>1，所以f(0)＝1－a<0，f(lna)＝(1＋ln2a)elna－a＝aln2a>0，所以f(0)·f(lna)<0，由零點(diǎn)存在性定理可知f(x)在(0，lna)內(nèi)存在零點(diǎn)．假設(shè)至少有2個(gè)零點(diǎn)，那么f(x)在(－∞，＋∞)上不單調(diào)．由得f′(x)＝(1＋x2)′ex＋(1＋x2)(ex)′＝(1＋x)2ex≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，沖突，∴假設(shè)不成立，那么f(x)在(－∞，＋∞)上僅有一個(gè)零點(diǎn).證明：對(duì)于直線l：y＝kx＋1，不存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x2－y2＝1的交點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝ax(a為常數(shù))對(duì)稱．[巧思]此題假如直接證明比擬困難，但其反面相對(duì)來(lái)說(shuō)比擬簡(jiǎn)潔，因此可采納反證法證明．[妙解]假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得A，B關(guān)于直線y＝ax對(duì)稱，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么有(1)直線l：y＝kx＋1與直線y＝ax垂直；(2)點(diǎn)A，B在直線l：y＝kx＋1上；(3)線段AB的中點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))在直線y＝ax上．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ka＝－1，①,y1＋y2＝kx1＋x2＋2，②,\f(y1＋y2,2)＝a\f(x1＋x2,2).③))由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝3x2－1，))得(3－k2)x2－2kx－2＝0.④當(dāng)k2＝3時(shí)，l與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意．由②③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2，⑤由④知x1＋x2＝eq\f(2k,3－k2)，代入⑤整理得：ka＝3，這與①?zèng)_突．所以假設(shè)不成立，故不存在實(shí)數(shù)k，使得A，B關(guān)于直線y＝ax對(duì)稱．1．用反證法證明命題“假設(shè)a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b至少有一個(gè)能被5整除〞，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是()A．a(chǎn)，b都能被5整除 B．a(chǎn)，b都不能被5整除C．a(chǎn)，b不都能被5整除 D．a(chǎn)能被5整除解析：“至少有一個(gè)〞的反面應(yīng)是“一個(gè)都沒(méi)有〞．答案：B2．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個(gè)鈍角〞時(shí)，反設(shè)正確的選項(xiàng)是()A．三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)鈍角B．三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)鈍角C．三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角D．三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角或至少有兩個(gè)鈍角解析：“至多有一個(gè)〞即要么一個(gè)都沒(méi)有，要么有一個(gè)，故反設(shè)為“至少有兩個(gè)〞．答案：B3．用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)〞正確的反設(shè)為()A．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)B．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)C．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù)D．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)答案：B4．用反證法證明假如a＞b，那么eq\r(3,a)＞eq\r(3,b)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是________．解析：eq\r(3,a)＞eq\r(3,b)的反設(shè)為eq\r(3,a)≤eq\r(3,b).答案：eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)5．用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角〞有三個(gè)步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°沖突，故假設(shè)錯(cuò)誤．②所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角．③假設(shè)△ABC中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)∠A＝90°，∠B＝90°.上述步驟的正確挨次為_(kāi)_______．解析：由反證法的一般步驟可知，正確的挨次應(yīng)為③①②.答案：③①②6．三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．證明：假設(shè)eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數(shù)列，那么eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，而b2＝ac，即b＝eq\r(ac)，所以a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac)，所以(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0，即eq\r(a)＝eq\r(c).從而a＝b＝c，與a，b，c不成等差數(shù)列沖突，故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列．一、選擇題1．設(shè)a，b，c∈(－∞，0)，那么a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)()A．都不大于－2 B．都不小于－2C．至少有一個(gè)不大于－2 D．至少有一個(gè)不小于－2解析：由于a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)≤－6，所以三者不能都大于－2.答案：C2．用反證法證明命題“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°〞時(shí)，應(yīng)假設(shè)()A．三個(gè)內(nèi)角都不大于60°B．三個(gè)內(nèi)角都大于60°C．三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D．三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°解析：由于“至少有一個(gè)〞的反面是“一個(gè)也沒(méi)有〞，所以“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°〞的否認(rèn)是“三角形三個(gè)內(nèi)角一個(gè)也沒(méi)有不大于60°〞，即“三個(gè)內(nèi)角都大于60°〞．答案：B3．?dāng)?shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式分別為an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常數(shù))，且a＞b，那么兩個(gè)數(shù)列中序號(hào)與數(shù)值均相同的項(xiàng)的個(gè)數(shù)有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．無(wú)窮多個(gè)解析：假設(shè)存在序號(hào)和數(shù)值均相等的項(xiàng)，即存在n使得an＝bn，由題意a＞b，n∈N*，那么恒有an＞bn，從而an＋2＞bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn.答案：A4．有以下結(jié)論：①p3＋q3＝2，求證：p＋q≤2，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)p＋q≥2；②a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證：方程x2＋ax＋b＝0的兩根的確定值都小于1，用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的確定值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1.以下說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是()A．①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤B．①與②的假設(shè)都正確C．①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯(cuò)誤D．①的假設(shè)錯(cuò)誤；②的假設(shè)正確解析：用反證法證題時(shí)肯定要將對(duì)立面找全．在①中應(yīng)假設(shè)p＋q①的假設(shè)是錯(cuò)誤的，而②的假設(shè)是正確的．答案：D二、填空題5．用反證法證明命題“a，b為整數(shù)，假設(shè)a·b不是偶數(shù)，那么a，b都不是偶數(shù)〞時(shí)，應(yīng)假設(shè)為_(kāi)_______．解析：“a，b都不是偶數(shù)〞指“a，b都是奇數(shù)〞，它的反面是“a，b不都是奇數(shù)〞．答案：a，b不都是奇數(shù)6．命題“a，b∈R，假設(shè)|a－1|＋|b－1|＝0，那么a＝b＝1〞用反證法證明時(shí)應(yīng)假設(shè)為_(kāi)_______________．解析：“a＝b＝1〞的反面是“a≠1或b≠1〞，所以設(shè)為a≠1或b≠1.答案：a≠1或b≠17．完成以下反證法證題的全過(guò)程．設(shè)a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一個(gè)排列，求證：乘積p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)為偶數(shù)．證明：反設(shè)p為奇數(shù)，那么a1－1，a2－2，…，a7－7均為奇數(shù)．因奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)＝______________________________①＝______________________________②＝0.但0≠奇數(shù)，這一沖突說(shuō)明p為偶數(shù)．解析：將a1－1，a2－2，…，a7－7相加后，再分組結(jié)合計(jì)算．答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)8．假設(shè)以下兩個(gè)方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：兩個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根，考慮起來(lái)比擬簡(jiǎn)單，可以考慮其反面，即“兩個(gè)方程都無(wú)實(shí)根〞，這樣求得a的集合記為A，那么原命題所求a的取值范圍即為?RA，解法如下：假設(shè)兩個(gè)方程都無(wú)實(shí)根?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝a－12－4a2＜0，,Δ2＝2a2－4－2a＜0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜－1或a＞\f(1,3)，,－2＜a＜0))?－2＜a＜－1.那么A＝{a|－2＜a＜－1}，故?RA＝{a|a≤－2或a≥－1}．答案：(－∞，－2]∪[－1，＋∞)三、解答題9．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，f(c)＝0，且當(dāng)0<x<c時(shí)，f(x)>0.(1)證明：eq\f(1,a)是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)；(2)試用反證法證明：eq\f(1,a)>c.證明：(1)∵f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴f(x)＝ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為x1，x2.∵f(c)＝0，∴c是f(x)＝0的一個(gè)根，