理論力學質(zhì)點力學1第一頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日

Introduction緒論機械運動：是物體或其各部分在空間的相對位置隨時間的變化。機械相互作用：是指能夠改變物體機械運動狀態(tài)或物體形狀的各種作用描述機械運動的基本量：質(zhì)量、時間、位移、力等2第二頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日Introduction緒論

靜力學：運動學：動力學：.研究物體在力系作用下的平衡規(guī)律，同時也研究力的一般性質(zhì)和力系的簡化方法等。研究物體運動的幾何性質(zhì)，而不研究引起物體運動的原因。研究受力物體的運動變化與作用力之間的關(guān)系。二、理論力學的研究內(nèi)容3第三頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日1、抽象化方法如質(zhì)點、剛體等概念2、演繹方法（從公理出發(fā)，借助數(shù)學工具推理出經(jīng)典力學的全部推論）如牛頓定律動量定理動量矩定理Introduction緒論三、理論力學的研究方法4第四頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日

早在(公元前287~212)古希臘阿基米德著的《論比重》就奠定了靜力學基礎(chǔ)。意大利的達芬奇(1452~1519)研究滑動摩擦、平衡、力矩。波蘭的哥白尼(1473~1543)創(chuàng)立宇宙“日心說”。德國的開普勒(1571~1630)提出行星運動三定律。Introduction緒論四、理論力學的發(fā)展史5第五頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日

意大利的伽利略(1564~1642)自由落體規(guī)律、慣性定律及加速度的概念。英國偉大科學家牛頓(1643~1727)在1687年版的《自然哲學的數(shù)學原理》一書總其大成，提出動力學的三個基本定律，萬有引力定律，天體力學等。是力學奠基人。Introduction緒論6第六頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日

Bernoulli(Swiss,1667~1748)foundtheprincipleofvirtualdisplacements.瑞士的伯努利(1667~1748)虛位移原理。

Euler(Swiss,1707~1783)publishedthebookMechanicswhichuseddifferentialequationstostudymechanics.瑞士的歐拉(1707~1783)著作《分析力學》用微分方程研究。.

Introduction緒論7第七頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日

Introduction緒論D’Alembert(French,1717~1785)evolvedd’Alembert’sprinciple法國達朗伯(1717~1785)名著《動力學專論》達朗伯原理。Lagrange(French,1736~1813)broughtforwardthelagrangeequationsofthesecondkind.法國拉格朗日(1736~1813)提出第二類拉格朗日方程。8第八頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日五、理論力學的適用范圍

1.物體運動的速度遠少于光速

2.宏觀物體（天體---原子）

作用量=能量x時間>>h=6.602X10^(-34)（JS）

9第九頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日參考書郭士堃：《理論力學》上、下冊H.戈德斯坦（美）：經(jīng)典力學費恩曼（Feynman)：《物理學講義.第一卷）汪家訸：分析力學理論力學習題集10第十頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學11第十一頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日§1.1

運動的描述方法§1.2速度、加速度的分量表示式§1.4質(zhì)點運動定律§1.5質(zhì)點運動微分方程§1.7功與能§1.9有心力本章主要學習內(nèi)容12第十二頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日具有一定質(zhì)量的幾何點?？梢栽诳臻g自由移動的質(zhì)點。確定它在空間的位置需要三個獨立變量。第1章質(zhì)點力學§1.1運動的描述方法一、參照系與坐標系質(zhì)點自由質(zhì)點參照系坐標系為描述物體的運動而選取的參考物體。

用以標定物體的空間位置而設(shè)置的坐標系統(tǒng)。

計算系統(tǒng)=坐標系+時間13第十三頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日二、運動方程與軌道第1章質(zhì)點力學§1.1運動的描述方法運動方程：物體的運動位置隨時間的變化關(guān)系

具體一般選擇直角坐標系、極坐標系和自然坐標系來描述具體問題直角坐標系14第十四頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學§1.1運動的描述方法從運動方程中消去時間t，就得到軌跡方程

f(x,y,z)=0。自然坐標系極坐標系15第十五頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日設(shè)質(zhì)點作曲線運動t時刻位于A點，位矢，t+t時刻位于B點，位矢。三、位移、速度和加速度第1章質(zhì)點力學§1.1運動的描述方法(Displacement,velocityandacceleration)

位移(displacement)：16第十六頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學§1.1運動的描述方法速度是位矢隨時間的變化率。速度的大?。?7第十七頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日加速度是指速度隨時間變化率。第1章質(zhì)點力學§1.1運動的描述方法加速度的大小和方向？？極限定義法18第十八頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日由求導可得：速度表示：速率的表示：第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式一、直角坐標系19第十九頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日加速度表示：加速率表示：第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式加速度分量為：20第二十頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學§1.1運動的描述方法21第二十一頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學§1.1運動的描述方法22第二十二頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式二、極坐標系（指向極角的增加方向）徑向單位矢量：橫向單位矢量：23第二十三頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日于是得到徑向速度橫向速度第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式24第二十四頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日速度的變化為速度大小的變化及方向方向的變化二者產(chǎn)生效果的疊加！徑向加速度橫向加速度第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式25第二十五頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日推廣到柱坐標:第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式26第二十六頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日例小船M被水沖走后，用一繩將它拉回岸邊A點。假定水流速度C1沿河岸不變，而拉繩子的速度為C2。如果小船可以看作一個質(zhì)點，求小船的軌跡。第1章質(zhì)點力學27第二十七頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學28第二十八頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式例已知一質(zhì)點的運動方程為，其中b、c為常數(shù)。求其速度、加速度。29第二十九頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日把軌道的切線和法線作為坐標系，稱為自然坐標系。(NaturalCoordinateSystem)第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式三、自然坐標中的速度和加速度（法向指向曲線凹側(cè)）切向:法向:θ是切線方向與ox軸的夾角（曲線弧長s為坐標變量）30第三十頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式速度大?。核俣确较驗榍€的切線方向，是S增加的方向31第三十一頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日加速度：第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式32第三十二頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日（為曲率半徑）第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式因為ds>0,所以要求dθ>0弧坐標具有以下要素：1、有坐標原點(一般在軌跡上任選一參考點作為坐標原點)2、一般以點的運動方向作為正向3、有相應(yīng)的坐標系(自然軸系)弧坐標運動方程：（動點沿軌跡的運動方程）33第三十三頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日密切面曲線上無限靠近的兩點的切線構(gòu)成的平面叫做該點的密切面。在密切面內(nèi)，

與同向，故

在密切面內(nèi)，所以

在密切面內(nèi)。第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式在密切面內(nèi)并和切線垂直的過切點的法向矢量叫主法線，單位矢量為或。Osculationplane34第三十四頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日定義:

垂直于密切面,稱為副發(fā)線方向單位矢，(

,

,

)構(gòu)成空間正交自然坐標系。其分解完全取決于曲線的形狀，與選取的坐標系無關(guān)（內(nèi)稟方程）。第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式35第三十五頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式例一質(zhì)點沿螺線運動，，求。36第三十六頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日例求平拋物體任一時刻t的軌道曲率半徑。解：如圖,平拋物體的運動方程為：則，速率切向加速度

加速度大小由法向加速度第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式37第三十七頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學§1.2速度、加速度的分量表示式例質(zhì)點由曲線的正焦弦（）的一端以出發(fā)，求到達正焦弦的另一端時的速率。已知。38第三十八頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第一定律

任何作為質(zhì)點的物體沒有受到其他物體的作用，都將保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)。第二定律當質(zhì)點受到外力作用，該質(zhì)點所獲得的加速度與外力成正比，與其質(zhì)量成反比，加速度方向與外力方向一致。第1章質(zhì)點力學§1.4質(zhì)點運動定律一、牛頓運動定律第三定律當物體A對物體B有一作用力F1

的同時，物體B對物體A有一個反作用力F2，作用力與反作用力等值反向，且在同一直線上。39第三十九頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日1、質(zhì)點的概念有質(zhì)量的幾何點。（線度可以忽略不計的物體，或作平動的物體）第一定律的說明：

牛頓第二定律的說明：1、定量地表述了力、加速度和質(zhì)量三者之間的關(guān)系第1章質(zhì)點力學§1.4質(zhì)點運動定律2、慣性的概念：物體保持其運動狀態(tài)不變的性質(zhì)。3、慣性參照系的概念：是指慣性定律在其中成立的參照系。4、力的概念：是物體間的相互作用。40第四十頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學§1.4質(zhì)點運動定律2、慣性質(zhì)量的定義：引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量的關(guān)系萬有引力定律中反映物體間引力的屬性牛頓第三定律的說明1、定律在任何參照系中均成立。當它只適用于機械相互作用2、利用此定律可將第二定律推廣到質(zhì)點組系統(tǒng)。41第四十一頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日

1、表述：對于一個相對于慣性系作勻速直線運動的系統(tǒng)，其內(nèi)部所發(fā)生的一切力學過程都不受系統(tǒng)作為整體的勻速直線運動的影響。二、伽利略相對性原理慣性參照系：牛頓定律成立的參照系。否則稱非慣性參照系。伽利略相對性原理第1章質(zhì)點力學§1.4質(zhì)點運動定律如：太陽-恒星42第四十二頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日伽利略相對性原理的重要性在于:（1）該原理指明了所有慣性系彼此等價，慣性系沒有優(yōu)劣之分。（2）該原理為不同時間、不同地點做重復性實驗探討物理規(guī)律提供了理論根據(jù)。（3）該原理可以使研究不同慣性系中的物體運動規(guī)律得以簡化。例如：設(shè)S’系相對S系作慣性運動，已知S系中質(zhì)點動能為，由于該原理，立即可以得到S’系中質(zhì)點的動能為。43第四十三頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日2、伽利略變換那么，加速度對伽利略變換是不變的：從而牛頓定律對伽利略變換是不變的,指形式不變：第1章質(zhì)點力學§1.4質(zhì)點運動定律SS'44第四十四頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日

1、在牛頓第二定律中力一般是位矢、速度及時間的函數(shù)。即:第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程一、運動微分方程的建立

2、運動微分方程：牛頓第二定律在具體問題中的數(shù)學表達式常稱為運動微分方程，也稱為動力學方程。形式上可寫為：主動力被動力45第四十五頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日限制質(zhì)點某方面運動的曲線或曲面稱為約束，這些曲線或曲面的方程稱為約束方程或約束條件。3、約束及約束方程第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程在非自由質(zhì)點的運動（約束運動）問題中，一般將約束去掉，代以約束反作用力。這樣，質(zhì)點就成了自由質(zhì)點。46第四十六頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程

約束反作用力的特點：一般是未知的；不完全決定于約束本身（可能與質(zhì)點運動狀態(tài)及質(zhì)點受到的其他力有關(guān)；約束反作用力不能單獨改變質(zhì)點的運動）。約束反作用力常稱為“被動力”或“約束力”，不是約束的力則稱為“主動力”。47第四十七頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日二、運動微分方程的分量式直角坐標系下：初始條件：

第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程48第四十八頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日平面極坐標系下：第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程自然坐標系下對于光滑約束，49第四十九頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程選擇坐標系的基本原則：1、從力方面考慮。使力盡量少分解2、從運動軌道方面考慮A:直線運動---直角坐標系B:有既定軌道的約束運動---自然坐標系C:二次曲線型軌道運動---極坐標系50第五十頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日二、運動微分方程的求解已知運動求力已知力求運動兩類基本問題第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程1、力僅是時間的函數(shù)，。51第五十一頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日例1：研究自由電子在沿x軸的振蕩電場中的運動解：設(shè)電子速度較光速很小，沿x軸的電場強度角頻率初（位）相e、E0、ω、θ為常數(shù)。第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程52第五十二頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日電子運動的微分方程第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程53第五十三頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程54第五十四頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日討論該問題與無線電波在高密度自由電子的電離層中傳播類似。

1)為振蕩項，電子在電場的作用下的受迫振動，產(chǎn)生電磁波，對電磁波的傳播有貢獻;

2)其余部分描述電子的勻速直線運動,對電磁波的傳播沒有貢獻，僅給出電子的細致運動;第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程55第五十五頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日3)可以證明(在高頻下)電離層中:n為電子密度，χe為電極化率。相速：因此，任何入射到電離層的電磁波都可以反射回到地面；當ω>>1時χe~0，即，微波可以通過電離層。第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程56第五十六頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日2.力僅是速度的函數(shù)F=F(v)---拋射體在空中的運動§1.5質(zhì)點運動微分方程第1章質(zhì)點力學θθ（1,2）(1)/(2)（1）（2）57第五十七頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日當R=Kvn時，第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程58第五十八頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日例如：阻力R=－bv，建立坐標系如圖，運動微分方程:投影方程:第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程59第五十九頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日再積分：第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程同理可得：60第六十頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日(3)和(4)消去t得軌道方程:若阻力較小(b很小)或x很小:第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程61第六十一頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日由此可見：

(1)若阻力較小(b很小)或x很小,可以忽略x3以上的項，與真空中彈道一致。

(2)當mvx0-bx→0,y→無窮,說明軌道在x=mvx0/b處變成豎直直線。第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程62第六十二頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日3.力僅是坐標的函數(shù)F=F(x),振動問題1)一維諧振動：2)三維諧振動：4.力是位置、速度和時間的函數(shù)（如阻尼受迫振動）:(例子自學)第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程63第六十三頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日歸納步驟：1.準確理解題意；2.分析并作受力情況草圖；3.選取坐標系并規(guī)定質(zhì)點的坐標；4.標出已知及未知力、加速度；5.寫出質(zhì)點運動微分方程；6.解微分方程；7.討論，分析解的物理意義。第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程64第六十四頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日若積分后并求得其解:例、質(zhì)量為m的質(zhì)點，在有阻力的空氣中無初速度地自離地面為h的地方豎直下落，若阻力與速度成正比，求其運動。第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程若選擇的坐標原點在離地面h處，方向向下，運動微分方程又如何？65第六十五頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日例質(zhì)量為m的小球以初速豎直上拋，空氣的阻力為R=kmv2。求：（1）上升的最大高度H；（2）返回到地面時小球的速度vm。解：取地面為原點，坐標軸oy豎直向上。（1）上升時：運動微分方程由得：第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程66第六十六頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日得積分第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程67第六十七頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日（2）下降時：運動微分方程：將代入積分：得將（1）中的H代入得第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程68第六十八頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日2)帶電粒子在正交電磁場中的運動假定t=0時，粒子運動微分方程為:第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程69第六十九頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日粒子運動分量微分方程為:由(1)和(2)由（1）第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程70第七十頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日因此積分得第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程71第七十一頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日討論(1)該情況為v<<c，B、E為恒矢；(2)粒子始終在xoy平面運動,其軌道,V=0的情況為:第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程圓滾線72第七十二頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日v≠0時,連滾帶滑:圓心速度：第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程73第七十三頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日例質(zhì)點m沿x2=4ay（光滑）自x=2a滑至x=0處，求v及其約束反力。解:畫草圖，受力分析，R、mg第1章質(zhì)點力學§1.5質(zhì)點運動微分方程（1）（2）代入（1）式得74第七十四頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日例:質(zhì)量為m和2m的兩個質(zhì)點,為一不可伸長的輕繩連接,繩掛在光滑的滑輪上.在m的下端又用固有長度為a、倔強系數(shù)k=mg/a的彈性繩掛上質(zhì)量為m的另一質(zhì)點，在開始時，全體保持豎直，原來的非彈性繩拉緊，而有彈性的繩處于固有長度上。由此靜止狀態(tài)釋放后，求證這一運動是簡諧的。解：各質(zhì)點受力如圖，ox1，ox2為慣性系，ox3為非慣性系,第1章質(zhì)點力學§1.6非慣性動力學（一）75第七十五頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日運動微分方程：將后兩式代入前三式相關(guān)項，可得第1章質(zhì)點力學§1.6非慣性動力學（一）76第七十六頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日（1）（2）（3）從（1）中解出,代入（2）、（3）得故，令第1章質(zhì)點力學§1.6非慣性動力學（一）77第七十七頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學§1.6非慣性動力學（一）78第七十八頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日例:

一小環(huán)套在光滑大圈上，大圈以加速度a豎直向上作勻加速直線運動。求小環(huán)的相對運動速度和大圈對小環(huán)的約束反力。解:選圈為非慣性系，在其上建立自然坐標系:第1章質(zhì)點力學79第七十九頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學§1.6非慣性動力學（一）80第八十頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學§1.7功與能一、功和功率1.質(zhì)點在恒力作用下沿曲線運動力的累積效應(yīng)有兩類：力的空間累積效應(yīng)：功（力×位移）

力的時間累積效應(yīng)：沖量（力×時間）

其中，Δr是力的作用點的位移AB81第八十一頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日2.質(zhì)點受變力沿曲線運動功是標量，其值與坐標選取無關(guān)。選直角坐標系較方便。在直角坐標系下：第1章質(zhì)點力學§1.7功與能82第八十二頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日3.若質(zhì)點受幾個力F1

，F(xiàn)2，……Fn作用,合力即：合力之功等于分力功之代數(shù)和。4.功率描述做功快慢的量。第1章質(zhì)點力學§1.7功與能83第八十三頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日說明：當物體不是質(zhì)點時，力對物體所做的元功應(yīng)看成是力與力的作用點的元位移的標積。（如輪子在粗糙水平面上做純滾動）

當力的作用點不斷地發(fā)生變遷時，且又沒有元位移，則此力對物體不做功（如靜摩擦力）。對不同的慣性系，作用點的位移可能不同，因此力所做的功也不相同。84第八十四頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日二、保守力、非保守力與耗散力1.力場一般情況下，若質(zhì)點在某空間區(qū)域任意位置上，受到確定的力F(r)，力是位置的單值、有界、可微函數(shù)，則該區(qū)域稱為力場，F(xiàn)為場力。如：萬有引力場、靜電場，若含有時間稱為非穩(wěn)定場。第1章質(zhì)點力學§1.7功與能85第八十五頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日2.保守力場積分一般與路徑有關(guān).若若力場是穩(wěn)定的，當質(zhì)點運動時，場力做功單值地由始末位置確定（與軌道形狀無關(guān)）——該力場為保守力場。質(zhì)點受到的場力為保守力。否則場力做功與路徑有關(guān)，這種力為非保守力，力場為非保守力場。如：摩擦力——與路徑有關(guān)——耗散能量——耗散力第1章質(zhì)點力學§1.7功與能86第八十六頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日力……

保守力萬有引力靜電力彈性力非保守力（渦旋力）磁場力耗散力摩擦力粘滯力空氣阻力……第1章質(zhì)點力學§1.7功與能87第八十七頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日3.保守力的判據(jù)(a).F(x,y,z)為保守力的充要條件是:即:證:（一）必要性因為與路徑無關(guān)只與始末位置有關(guān)，必存在一可微函數(shù)V使得第1章質(zhì)點力學§1.7功與能88第八十八頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日因此，同理，第1章質(zhì)點力學§1.7功與能89第八十九頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日（二）充分性由Stokes定理即：積分與路徑無關(guān)。第1章質(zhì)點力學§1.7功與能(b).從保守力的定義出發(fā)，尋求dU全微分；

(c).沿任何閉合曲線運動，力所做的功為零。90第九十頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日三、勢能函數(shù)V(x,y,z)稱為質(zhì)點在點P(x,y,z)的勢能。勢能的物理意義：保守力作的功等于勢能的減少量。第1章質(zhì)點力學§1.7功與能V91第九十一頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日例設(shè)作用在質(zhì)點上的力求質(zhì)點沿螺旋線自θ＝0到θ＝2π力對質(zhì)點作的功。解：先驗證力是否為保守力第1章質(zhì)點力學§1.7功與能92第九十二頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學§1.7功與能93第九十三頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學§1.9有心力一、有心力的基本性質(zhì)1.有心力運動質(zhì)點受力的作用線始終通過某一定點，該力為有心力，該點叫力心。凡力趨向力心的是引力，離開定點的是斥力．有心力的量值一般為r的函數(shù)，為斥力為引力94第九十四頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日a).對力心的力矩2.基本性質(zhì)質(zhì)點必在垂直于J的平面運動。第1章質(zhì)點力學§1.9有心力b).對力心的動量矩c).一般情況下，有心力只是位置的函數(shù)所以F為保守力。95第九十五頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日也可以從判斷有心力為保守力第1章質(zhì)點力學§1.9有心力d).機械能守恒96第九十六頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日1)直角坐標系下以力心為原點,質(zhì)點的運動平面為xy平面，則質(zhì)點的運動微分方程為第1章質(zhì)點力學§1.9有心力可見，在直角坐標系下解有心力的問題并不簡便。3.運動微分方程97第九十七頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日2)平面極坐標系下由1.2.13式，求第一積分物理意義:動量矩守恒第1章質(zhì)點力學§1.9有心力(徑向動量分量對力心的矩為零)98第九十八頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日3).基本定理99第九十九頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日消去其中的

第1章質(zhì)點力學§1.9有心力100第一百頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日解決有心力問題的兩個基本方程組（出發(fā)點）:第1章質(zhì)點力學§1.9有心力101第一百零一頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日二、軌道微分方程—比耐公式(目的:

從運動方程中消去t)原則上可消去t得軌道，r=r(t)，θ=θ(t)，但也可直接求r=r(θ)。由令則第1章質(zhì)點力學§1.9有心力102第一百零二頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日代入第1章質(zhì)點力學§1.9有心力103第一百零三頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日比耐公式說明(1).F(u)>o時，斥力；F(u)<0時，為引力(與反方向)第1章質(zhì)點力學§1.9有心力(2).由比耐公式可求解(a)求軌道方程：(b)求有心力：(3).從機械能守恒方程給出軌道微分方程：參考：《大學物理》1990年，NO.4104第一百零四頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日三、平方反比引力——行星運動研究太陽（M）與行星（m）運動中行星的軌道方程。1.用比耐公式求解太陽的高斯常數(shù)代入比耐公式:第1章質(zhì)點力學§1.9有心力105第一百零五頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日得(二階常系數(shù)非齊次方程，）令:半正焦弦偏心率第1章質(zhì)點力學§1.9有心力106第一百零六頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日可見，平方反比引力下行星的的運動是以太陽為焦點的圓錐曲線。此軌道是原點在焦點上的圓錐曲線，力心位于焦點上。第1章質(zhì)點力學§1.9有心力107第一百零七頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日討論①e<1，橢圓。近日點:遠日點:準線消去c,得:第1章質(zhì)點力學§1.9有心力108第一百零八頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日

②e=1，拋物線。

準線第1章質(zhì)點力學§1.9有心力109第一百零九頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日③e>1，雙曲線。準線第1章質(zhì)點力學§1.9有心力110第一百一十頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日④斥力情況:為雙曲線右邊的一支！準線第1章質(zhì)點力學§1.9有心力111第一百一十一頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日2.運用第二組方程求解（取無窮遠處勢能為零）第1章質(zhì)點力學§1.9有心力112第一百一十二頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日代入得：113第一百一十三頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日可解得:

（束縛態(tài)），橢圓拋物線雙曲線與比較第1章質(zhì)點力學§1.9有心力可見，能量E為軌道類別的判據(jù)。114第一百一十四頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學§1.9有心力四、開普勒定律1.開普勒三大定律第一定律（軌道定律1609）:行星繞太陽作橢圓運動,太陽位于橢圓得一個焦點上。說明行星軌道方程:e<1，太陽位于橢圓的焦點上。115第一百一十五頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日

第二定律（面積定律，1609）:行星與太陽的連線，相同時間內(nèi)掃過的面積相等。即第三定律（周期定律，1619）：行星公轉(zhuǎn)的周期的平方和軌道半長軸的立方成正比。說明:為常數(shù)牛頓萬有引力發(fā)表于1687年。從三定律可推導萬有引力定律。第1章質(zhì)點力學§1.9有心力116第一百一十六頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日2.從開普勒定律到萬有引力定律(歷史的發(fā)展途徑如此)①據(jù)第二定律有：即:常量,是常數(shù),即動量矩守恒,行星所受的力對太陽的力矩為零,因行星具有加速度,所以受力不為零,故行星所受力必定是有心力,太陽是力心。第1章質(zhì)點力學§1.9有心力117第一百一十七頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日據(jù)第一定律，由代入比耐公式，得表明行星所受的力是引力，且與距離平方成反比。第三定律可以給出行星的公轉(zhuǎn)周期并確定p的大小。第1章質(zhì)點力學§1.9有心力118第一百一十八頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日（當矢徑掃過一周,A=ab）②證明與行星運動無關(guān)。代入第三定律:第1章質(zhì)點力學§1.9有心力119第一百一十九頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日由此看出:第1章質(zhì)點力學§1.9有心力120第一百二十頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日2)行星周期與軌道半長軸的具體關(guān)系為:開文迪許1798年測量了G的值，于是建立了萬有引力定律。注意1)Kepler定律是近似的，忽略了太陽的運動。太陽的高斯常數(shù)第1章質(zhì)點力學§1.9有心力121第一百二十一頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日第1章質(zhì)點力學§1.9有心力五、宇宙速度與宇宙航行宇宙速度（火箭發(fā)射速度）:引力勢能：由有心力基本運動方程：用于平方反比引力時，可改寫為122第一百二十二頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日如果軌道為橢圓，則在近日點有初始條件準線第1章質(zhì)點力學§1.9有心力123第一百二十三頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日如果軌道為拋物線，則在近日點有初始條件準線第1章質(zhì)點力學§1.9有心力124第一百二十四頁，共一百四十一頁，編輯于2023年，星期日如果軌道為雙曲線，則在近日點有初始條件準線第1章質(zhì)點力學§1