將下列復(fù)數(shù)用代數(shù)式、三角式、指數(shù)式表示出來(lái)。解：-1解：解：解：解：解：解：二、計(jì)算下列數(shù)值(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：由于：，而：所以：(6)解：由于：，所以：(7)解：顯然：，在原點(diǎn)f(z)滿(mǎn)足C-R條件。而在(0,0)點(diǎn)，f(z)的導(dǎo)數(shù)定義為：若沿方向趨近于0點(diǎn)，則：顯然，函數(shù)在原點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在，所以函數(shù)雖然在原點(diǎn)滿(mǎn)足C-R條件，但不可微。C-R條件只是函數(shù)可微的必要條件。1.2復(fù)變函數(shù)1、試證明函數(shù)f(z)=Arg(z)(-p<Arg(z)≤p)，在負(fù)實(shí)軸上(包括原點(diǎn))不連續(xù)。證明：(1)在負(fù)實(shí)軸上，任取一點(diǎn)，則分別由水平方向和垂直方向趨近z點(diǎn)有：顯然函數(shù)在負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。(2)在零點(diǎn)，沿方向趨近于零點(diǎn)則：顯然，其極限結(jié)果與路徑相關(guān)，則該函數(shù)在0點(diǎn)無(wú)極限。2、復(fù)平面上，圓周可以寫(xiě)成，這里A，C為實(shí)數(shù)，b為復(fù)數(shù)。證明：在平面上圓的一般方程表示為：則在復(fù)平面上：，所以圓方程變形為：若令：則：2.1解析函數(shù)1、試證明下列函數(shù)處處不可微：(1)(2)證明：(1)在處，有：若沿方向趨近于z點(diǎn)，則：顯然，函數(shù)不可微。(2)在處，有：若沿方向趨近于0點(diǎn)，則：顯然，函數(shù)不可微。2、設(shè)：試證明f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在原點(diǎn)滿(mǎn)足C-R條件，但不可微。證明：首先：顯然：，在原點(diǎn)f(z)滿(mǎn)足C-R條件。而在(0,0)點(diǎn)，f(z)的導(dǎo)數(shù)定義為：若沿方向趨近于0點(diǎn)，則：顯然，函數(shù)在原點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在，所以函數(shù)雖然在原點(diǎn)滿(mǎn)足C-R條件，但不可微。C-R條件只是函數(shù)可微的必要條件。2.2解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)1、已知復(fù)變函數(shù)的實(shí)部或虛部，寫(xiě)出解析函數(shù)：解：(1)則：…………….I……………II由I得：帶入(II)得：所以：(2)則：…………….I……………II由I得：帶入(II)得：所以：(3)顯然：并非調(diào)和函數(shù)，所以，此題無(wú)解。(4)則：…………….I……………II由I得：帶入(II)得：所以：2、試證明三個(gè)單值分支在割破的z平面上任意區(qū)域上都是解析的，并求其導(dǎo)數(shù)。證明：，令：則：，這里：所以：則：所以：2.1-2Cauchy積分1、計(jì)算積分，積分路徑(1)直線(xiàn)段；(2)右半單位圓周；(3)左半單位圓周。解：若沿直線(xiàn)從-i積分到i，則：若沿右半圓從-i積分到i，則：若沿左半圓從-i積分到i，則：2、當(dāng)C為單位圓周時(shí)，不用計(jì)算，試證明：證明：(1)因?yàn)閮蓚€(gè)非解析點(diǎn)都不在積分圓周內(nèi)，根據(jù)Cauchy積分定理：(1)因?yàn)閮蓚€(gè)非解析點(diǎn)都不在積分圓周內(nèi)，根據(jù)Cauchy積分定理：2.3-4Cauchy積分定理1、已知函數(shù)，將x作為參數(shù)，把t認(rèn)為是復(fù)變數(shù)，試應(yīng)用Cauchy公式表為回路積分，對(duì)回路積分進(jìn)行變量代換，并借以證明：解：(1)首先，令：，則：根據(jù)解析函數(shù)的無(wú)限可微性有：所以：(2)做變量替換：，則對(duì)于積分公式來(lái)說(shuō)：，所以：4.2利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分1、確定下列函數(shù)的奇點(diǎn)，并計(jì)算留數(shù)，(5)；(6)解：(5)令：，則：顯然，存在兩個(gè)一階極點(diǎn)：，只有：處于單位圓內(nèi)，所以：則：(6)令：，則：：顯然，存在三個(gè)一階極點(diǎn)：，只有：處于單位圓內(nèi)，所以：所以：2、計(jì)算下列實(shí)函數(shù)積分(5)解：(5)根據(jù)定理有：而函數(shù)存在四個(gè)一階極點(diǎn)：，很顯然處于上半平面內(nèi)的孤立奇點(diǎn)只有：，所以：所以：3計(jì)算下列實(shí)函數(shù)積分(3)解：根據(jù)定理：顯然，存在兩個(gè)一階極點(diǎn)：，只有：上半平面內(nèi)，所以：所以：3.2冪級(jí)數(shù)3、求下列冪級(jí)數(shù)的收斂圓(1)，(2)解：(1)所以，其收斂圓為以i為圓心的單位圓。(2)由于：所以，其收斂圓為以2為圓心的單位圓。3.3冪級(jí)數(shù)展開(kāi)在指定的點(diǎn)的鄰域上把下列函數(shù)展開(kāi)為T(mén)aylor級(jí)數(shù)(8)和在解：4.1留數(shù)定理1、確定下列函數(shù)的奇點(diǎn)，并計(jì)算留數(shù)，(1)；(2)，(3)，(4)解：(1)顯然為其一階極點(diǎn)，則：(2)顯然為其一階極點(diǎn)，為其二階極點(diǎn)，則：(3)顯然為其一階極點(diǎn)，則：(4)顯然為其一階極點(diǎn)，則：2、計(jì)算回路積分，(1)，l為(3)解：(1)首先l的圍線(xiàn)方程為：而被積函數(shù)存在三個(gè)孤立奇點(diǎn)，在圍線(xiàn)內(nèi)有兩個(gè)孤立奇點(diǎn)：所以：(2)可以看出來(lái)，被積函數(shù)存在唯一孤立奇點(diǎn)，且為本性奇點(diǎn)，對(duì)被積函數(shù)做Laurant展開(kāi)：可以看出：，顯然：4.2利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分1、確定下列函數(shù)的奇點(diǎn)，并計(jì)算留數(shù)，(5)；(6)解：(5)令：，則：顯然，存在兩個(gè)一階極點(diǎn)：，只有：處于單位圓內(nèi)，所以：則：(6)令：，則：：顯然，存在三個(gè)一階極點(diǎn)：，只有：處于單位圓內(nèi)，所以：所以：2、計(jì)算下列實(shí)函數(shù)積分(5)解：(