培優(yōu)專題02四邊形壓軸題綜合本考點是中考五星高頻考點，難度中等及中等偏上，在全國各地市的中考試卷中都有考查。（2022年攀枝花中考試卷第16題）如圖，以△ABC的三邊為邊在BC上方分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF．且點A在△BCF內(nèi)部．給出以下結論：①四邊形ADFE是平行四邊形；②當∠BAC＝150°時，四邊形ADFE是矩形；③當AB＝AC時，四邊形ADFE是菱形；④當AB＝AC，且∠BAC＝150°時，四邊形ADFE是正方形．其中正確結論有（填上所有正確結論的序號）．【考點】正方形的判定；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；平行四邊形的判定與性質；菱形的判定與性質；矩形的判定與性質．【分析】①利用SAS證明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；根據(jù)兩邊分別相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形ADFE是平行四邊形，即可判斷結論①正確；②當∠BAC＝150°時，求出∠EAD＝90°，根據(jù)有一個角是90°的平行四邊形是矩形即可判斷結論②正確；③先證明AE＝AD，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可判斷結論③正確；④根據(jù)正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四邊形是正方形即可判斷結論④正確．【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等邊三角形，∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；∴△EFB≌△ACB（SAS）；∴EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；由AE＝DF，AD＝EF即可得出四邊形ADFE是平行四邊形，故結論①正確；②當∠BAC＝150°時，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，由①知四邊形AEFD是平行四邊形，∴平行四邊形ADFE是矩形，故結論②正確；③由①知AB＝AE，AC＝AD，四邊形AEFD是平行四邊形，∴當AB＝AC時，AE＝AD，∴平行四邊形AEFD是菱形，故結論③正確；④綜合②③的結論知：當AB＝AC，且∠BAC＝150°時，四邊形AEFD既是菱形，又是矩形，∴四邊形AEFD是正方形，故結論④正確．故答案為：①②③④．【點評】本題考查了平行四邊形及矩形、菱形、正方形的判定，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握特殊四邊形的判定方法和性質是解答此題的關鍵．特殊四邊形綜合題是中考數(shù)學中的一大重點，也是一大難點。本考點是中考五星高頻考點，難度中等或較大，個別還會以壓軸題出現(xiàn)，在全國各地市的中考試卷中均有考查。正方形常見模型：ABCDABCDHGEF如圖，正方形ABCD中，E、F在其左右兩對邊上，G、H在其上下兩對邊上.如圖，正方形ABCD中，E、F在其左右兩對邊上，G、H在其上下兩對邊上.若有EF⊥GH，則必有EF=GH.證明方法：構造全等；逆向應用：見“十字架”想直角三角形全等②正方形中的“三垂定理”模型如圖，已知正方形ABCD，過點B、D兩點分別向過點C的直線作垂線，垂足分別為E、F，則有△BCE≌△CDF③正方形半角模型條件：①正方形ABCD，②∠EAF=45°條件：①正方形ABCD，②∠EAF=45°結論：①EF=BE+DF；(△CEF的周長=正方形ABCD周長的一半）②EA平分∠BEF③FA平分∠DAE條件：①正方形ABCD；②∠EAF=45°條件：①正方形ABCD；②∠EAF=45°結論：EF=DF-BE☆：當∠EAF旋轉到正方形ABCD外部時，則有：【中考真題練】1．（2022?德州）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E在BC上，CE＝2．點M是對角線BD上的一個動點，則EM+CM的最小值是（）A． B． C． D．2．（2022?重慶）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．E、F分別為AC、BD上一點，且OE＝OF，連接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，則∠CBE的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．65° D．70°3．（2022?湖北）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，直線MN分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．下列結論：①四邊形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC?EF＝CF?CD；④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．其中正確結論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．14．（2022?隨州）七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板ABCD中，BD為對角線，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，AP⊥EF分別交BD，EF于O，P兩點，M，N分別為BO，DO的中點，連接MP，NF，沿圖中實線剪開即可得到一副七巧板．則在剪開之前，關于該圖形，下列說法正確的有（）①圖中的三角形都是等腰直角三角形；②四邊形MPEB是菱形；③四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的．A．只有① B．①② C．①③ D．②③5．（2022?恩施州）如圖，在矩形ABCD中，連接BD，分別以B、D為圓心，大于BD的長為半徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點，作直線PQ，分別與AD、BC交于點M、N，連接BM、DN．若AD＝4，AB＝2．則四邊形MBND的周長為（）A． B．5 C．10 D．206．（2022?黑龍江）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點F是CD上一點，OE⊥OF交BC于點E，連接AE，BF交于點P，連接OP．則下列結論：①AE⊥BF；②∠OPA＝45°；③AP﹣BP＝OP；④若BE：CE＝2：3，則tan∠CAE＝；⑤四邊形OECF的面積是正方形ABCD面積的．其中正確的結論是（）A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤7．（2022?綏化）如圖，在矩形ABCD中，P是邊AD上的一個動點，連接BP，CP，過點B作射線，交線段CP的延長線于點E，交邊AD于點M，且使得∠ABE＝∠CBP，如果AB＝2，BC＝5，AP＝x，PM＝y(tǒng)，其中2＜x≤5．則下列結論中，正確的個數(shù)為（）（1）y與x的關系式為y＝x﹣；（2）當AP＝4時，△ABP∽△DPC；（3）當AP＝4時，tan∠EBP＝．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個8．（2022?海南）如圖，菱形ABCD中，點E是邊CD的中點，EF垂直AB交AB的延長線于點F，若BF：CE＝1：2，EF＝，則菱形ABCD的邊長是（）A．3 B．4 C．5 D．9．（2022?海南）如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，AE＝AF，∠EAF＝30°，則∠AEB＝°；若△AEF的面積等于1，則AB的值是．10．（2022?河南）綜合與實踐綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．（1）操作判斷操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當點M在EF上時，寫出圖1中一個30°的角：．（2）遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．如圖2，當點M在EF上時，∠MBQ＝°，∠CBQ＝°；②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關系，并說明理由．（3）拓展應用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當FQ＝1cm時，直接寫出AP的長．11．（2022?襄陽）矩形ABCD中，＝（k＞1），點E是邊BC的中點，連接AE，過點E作AE的垂線EF，與矩形的外角平分線CF交于點F．【特例證明】（1）如圖（1），當k＝2時，求證：AE＝EF；小明不完整的證明過程如下，請你幫他補充完整．證明：如圖，在BA上截取BH＝BE，連接EH．∵k＝2，∴AB＝BC．∵∠B＝90°，BH＝BE，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠AHE＝180°﹣∠1＝135°．∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，∴∠3＝∠DCG＝45°．∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．∴……（只需在答題卡對應區(qū)域寫出剩余證明過程）【類比探究】（2）如圖（2），當k≠2時，求的值（用含k的式子表示）；【拓展運用】（3）如圖（3），當k＝3時，P為邊CD上一點，連接AP，PF，∠PAE＝45°，，求BC的長．12．（2022?衡陽）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°，點P從點A出發(fā)，沿線段AD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動，過點P作PQ⊥AB于點Q，作PM⊥AD交直線AB于點M，交直線BC于點F，設△PQM與菱形ABCD重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點P運動時間為t（秒）．（1）當點M與點B重合時，求t的值；（2）當t為何值時，△APQ與△BMF全等；（3）求S與t的函數(shù)關系式；（4）以線段PQ為邊，在PQ右側作等邊三角形PQE，當2≤t≤4時，求點E運動路徑的長．13．（2022?綿陽）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝2，AB＝4，AD＝2，動點E、F同時從A點出發(fā)，點E沿著A→D→B的路線勻速運動，點F沿著A→B→D的路線勻速運動，當點E，F(xiàn)相遇時停止運動．（1）如圖1，設點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，當運動時間為秒時，設CE與DF交于點P，求線段EP與CP長度的比值；（2）如圖2，設點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為個單位每秒，運動時間為x秒，△AEF的面積為y，求y關于x的函數(shù)解析式，并指出當x為何值時，y的值最大，最大值為多少？（3）如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點，當點E、F分別在線段AD、AB上運動時，探究點E、F在什么位置能使EM＝HM，并說明理由．14．（2022?成都）如圖，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），點E是AD邊上一動點（點E不與A，D重合），連接BE，以BE為邊在直線BE的右側作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直線CD于點H．【嘗試初探】（1）在點E的運動過程中，△ABE與△DEH始終保持相似關系，請說明理由．【深入探究】（2）若n＝2，隨著E點位置的變化，H點的位置隨之發(fā)生變化，當H是線段CD中點時，求tan∠ABE的值．【拓展延伸】（3）連接BH，F(xiàn)H，當△BFH是以FH為腰的等腰三角形時，求tan∠ABE的值（用含n的代數(shù)式表示）．15．（2022?鹽城）【經(jīng)典回顧】梅文鼎是我國清初著名的數(shù)學家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法．圖1是其中一種方法的示意圖及部分輔助線．在△ABC中，∠ACB＝90°，四邊形ADEB、ACHI和BFGC分別是以Rt△ABC的三邊為一邊的正方形．延長IH和FG，交于點L，連接LC并延長交DE于點J，交AB于點K，延長DA交IL于點M．（1）證明：AD＝LC；（2）證明：正方形ACHI的面積等于四邊形ACLM的面積；（3）請利用（2）中的結論證明勾股定理．【遷移拓展】（4）如圖2，四邊形ACHI和BFGC分別是以△ABC的兩邊為一邊的平行四邊形，探索在AB下方是否存在平行四邊形ADEB，使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形ACHI、BFGC的面積之和．若存在，作出滿足條件的平行四邊形ADEB（保留適當?shù)淖鲌D痕跡）；若不存在，請說明理由．【中考模擬練】1．（2023?永安市一模）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AB＝6，BC＝8，P點是AD上不與A和D重合的一個動點，過點P分別作AC和BD的垂線，垂足分別為點E、F，則PE+PF的值為（）A． B． C． D．2．（2023?花都區(qū)一模）如圖，三個邊長分別為2，4，6的菱形如圖所示拼疊，則線段AB的長度為（）A． B． C． D．13．（2023?中原區(qū)校級一模）如圖所示，邊長為4的菱形ABCD中∠ABC＝60°，對角線AC與BD交于點O，P為AB中點，Q為OD中點，連接PQ，則PQ的長為（）A． B． C． D．4．（2023?惠山區(qū)校級模擬）如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一點，連接AF，以AF為斜邊作等腰直角△AEF．有下列四個結論：①∠CAF＝∠DAE；②點E在線段BD上；③當∠AEC＝135°時，CE平分∠ACD；④若點F在BC上以一定的速度由B向C運動，則點F的運動速度是點E運動速度的2倍．其中正確的結論的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2023?佳木斯一模）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝15，點E在邊BC上．且∠AED＝90°，P是射線ED上的一個動點．若△AEP是等腰直角三角形，則CP的長為．6．（2023?安徽模擬）如圖，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E為CD上一動點，F(xiàn)為CB延長線一點，且在E點運動中始終保持∠EAF＝90°．（1）當∠DAE＝45°時，則AF的長為；（2）在此運動過程中，的比值為．7．（2023?河東區(qū)一模）已知，如圖，已知菱形ABCD的邊長為6，∠ABC＝60°，點E，F(xiàn)分別在AB，CB的延長線上，且BE＝BF＝，G是DF的中點，連接GE，則GE的長是．8．（2023?蕪湖模擬）如圖，E為菱形ABCD邊BC上一點，過點E作EG⊥AD于G，交BD于F，連接DE．過點D作DM⊥BD，交BC的延長線于點M．（1）若∠A＝4∠DEG，求證：∠M＝2∠DEG；（2）在（1）的條件下，若AB＝5，BE＝4，求EF的長．9．（2023?鹿城區(qū)校級模擬）在數(shù)學興趣小組活動中，同學們對矩形的折疊問題進行了探究．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E是AB邊上一點，AE＝2，F(xiàn)是直線CD上一動點，以直線EF為對稱軸，點A關于直線EF的對稱點為A'．（1）如圖（1），求四邊形AEA'F的面積．（2）如圖（2），連接CE，當點A'落在直線CE上時，求tan∠CFA'的值．（3）當點F，A'，B三點在一條直線上時，則DF的長度為．10．（2023?光明區(qū)二模）【問題】北師大版數(shù)學八年級下冊P32第2題：已知：如圖1，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F．求證：點F在∠D4E的平分線上．【解答】某數(shù)學興趣小組的小明同學提出了如下的解題方法：如圖2，過點F作FG⊥AD于點G，作FH⊥AE于點H，作FM⊥BC于點M，由角平分線