第二節(jié)維向量組的極大線性無關(guān)組第一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一定義1

若向量組

中的每一個向量都可以由向量組

線性表示,則稱向量組

可由向量組線性表示，若向量組

和

可以互相線性表示，則稱兩個向量組等價(jià)一、等價(jià)的向量組第二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一向量組

可由

線性表示，即第三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一向量組

可由

線性表示等價(jià)于存在

的矩陣

使若向量組

和

等價(jià)第四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一等價(jià)向量組的性質(zhì)：1.自反性：一個向量組與其自身等價(jià)2.對稱性：若向量組

和

等價(jià)，則向量組和

等價(jià)。3.

傳遞性：若向量組

和

等價(jià)，向量組和

等價(jià)，則向量組

和

等價(jià)。第五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一定理1

設(shè)

中的兩個向量組

和若向量組

可由

線性表示，且

，則向量組

線性相關(guān)少的表示多的，多的一定線性相關(guān)注：1.,不能相等;

2.

時，結(jié)論不一定成立.（證明略）第六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一推論1

若向量組

可由向量組線性表示，又已知

線性無關(guān)，則必有推論2：兩個線性無關(guān)的向量組互相等價(jià)，則它們所含的向量個數(shù)相等注：若只是等價(jià)的向量組，它們所含的向量個數(shù)未必相等定理1的逆否命題：第七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一極大線性無關(guān)組等價(jià)定義二極大線性無關(guān)組定義如果一個向量組A的一個部分組滿足下述條件：第八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一1.一個向量組的極大線性無關(guān)組可能不唯一2.向量組和其極大線性無關(guān)組等價(jià)(一個向量組的任何兩個極大線性無關(guān)組都等價(jià))3.一個向量組的極大線性無關(guān)組所含的向量個數(shù)唯一確定。注:第九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一三向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系定理2

矩陣A的行初等變換不改變A的列向量組的線性相關(guān)性和線性組合關(guān)系定義

一個向量組的極大線性無關(guān)組所含的向量個數(shù)稱為向量組的秩.

線性無關(guān)的向量組的秩等于向量組的向量的個數(shù).第十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一例2第十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一第十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一等于它的行向量組的秩.

定理

3

矩陣的秩等于它的列向量組的秩,也求向量組的最大無關(guān)組的步驟:第十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一例3：設(shè)有向量組(1)求向量組的秩，并討論它的線性相關(guān)性。(2)求向量組的一個極大線性無關(guān)組。(3)把其余向量表示成為該極大線性無關(guān)組的線性組合第十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一解：取(1)向量組即為A的列向量R(A)=2,

所以向量組的秩為2。(2)

為向量組的一個極大線性無關(guān)組(3)第十五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一推論：設(shè)A為

矩陣，秩

，則有:(1)當(dāng)r=m時，A的行向量組線性無關(guān);當(dāng)r<m時，

A的行向量組線性相關(guān)(2)當(dāng)r=n時，A

的列向量組線性無關(guān);當(dāng)r<n時，A的列向量組線性相關(guān)。

當(dāng)A為n階方陣時，即當(dāng)m=n時，A的列(行)向量組線性無關(guān)的充要條件是由矩陣的秩和它的向量組的秩的關(guān)系，我們立刻會發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：第十六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一3.5向量空間一、向量空間的定義定義

1

設(shè)

V

為

n

維向量的集合,如果集合

V非空,

且那么就稱集合

V

為向量空間.則a+bV;若

a

V,R,則

aV.若

a

V,bV,第十七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一例1

判別下列集合是否為向量空間.解第十八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一例2判別下列集合是否為向量空間.解第十九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一一般地，L={x=a+b|,R}x1=1a+1b,x2=2a+2b則有x1+x2=(1+1)a+(1+2)bL,kx1=(k1)a+(k1)bL.

這個向量空間稱為由向量

a,b

所生成的向量空間.是一個向量空間.因?yàn)槿舻诙摚捕屙?，編輯?023年，星期一由向量組

a1,a2,...,am

所生成的向量空間一般形式為

L={x=1a1+2a2+...+mam

|1,

2,...,

mR}.第二十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一第二十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一二、向量空間的基向量空間的維數(shù)

定義

2

設(shè)有向量空間

V1

及V2

,若

V1V2,

總有

VRn,所以這樣的向量空間總是

Rn

的子空間.

例如：任何由

n

維向量所組成的向量空間

V,就稱

V1

是V2

的子空間.第二十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一向量空間.定義3

設(shè)V

為向量空間,如果r個向量a1,a2,...,arV,且滿足(i)a1,a2,...,ar

線性無關(guān);(ii)V中任一向量都可由a1,a2,...,ar

線性表示.那么,向量組

a1,a2,...,ar

就稱為向量空間

V

的一個基,

r

稱為向量空間

V

的維數(shù),并稱

V為

r

維第二十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期一

（1）只含有零向量的向量空間稱為0維向量空間，