第二章真空中靜電場的基本規(guī)律1第一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一第2頁哈密頓算符：梯度：散度：旋度：斯托克斯定理散度定理（高斯定理）面-體積分轉(zhuǎn)化：面-線積分轉(zhuǎn)化：第二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一梯度的旋度恒等于零：旋度的散度恒等于零:拉普拉斯運(yùn)算：

格林定理第一恒等式：第二恒等式：

第三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一場基本方程的微分形式：場基本方程的積分形式：場點和源點的梯度關(guān)系：亥姆霍茲定理：

只要一個矢量場的散度和旋度處處是已知的，那么就可以惟一地求出這個矢量場第四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一5

第2章電磁場的基本規(guī)律第五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一6電磁學(xué)三大實驗定律：庫侖定律安培定律法拉弟電磁感應(yīng)定律兩大基本假設(shè)：有旋電場位移電流宏觀電磁現(xiàn)象的總規(guī)律－麥克斯韋方程組第六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一7

2.1電荷守恒定律2.2真空中靜電場的基本規(guī)律2.3真空中恒定磁場的基本規(guī)律2.4媒質(zhì)的電磁特性2.5電磁感應(yīng)定律和位移電流2.6麥克斯韋方程組2.7電磁場的邊界條件本章討論內(nèi)容第七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一82.1

電荷守恒定律本節(jié)討論的內(nèi)容：電荷模型、電流模型、電荷守恒定律

電磁場物理模型中的基本物理量可分為源量和場量兩大類。電荷電流電場磁場（運(yùn)動）

源量為電荷

和電流

，分別用來描述產(chǎn)生電磁效應(yīng)的兩類場源。電荷是產(chǎn)生電場的源，電流是產(chǎn)生磁場的源。第八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一9?

電荷是物質(zhì)基本屬性之一。

?1897年英國科學(xué)家湯姆遜(J.J.Thomson)在實驗中發(fā)現(xiàn)了電子。

?1907—1913年間，美國科學(xué)家密立根(R.A.Miliken)通過油滴實驗，精確測定電子電荷的量值為

e=1.60217733×10-19(單位：C)確認(rèn)了電荷的量子化概念。換句話說，e是最小的電荷，而任何帶電粒子所帶電荷都是e的整數(shù)倍。

?宏觀分析時，電荷常是數(shù)以億計的電子電荷e的集合，故可不考慮其量子化的事實，而認(rèn)為電荷量q可任意連續(xù)取值。2.1.1電荷與電荷密度第九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一101.電荷體密度

單位：C/m3

(庫/米3

)

根據(jù)電荷密度的定義，如果已知某空間區(qū)域V中的電荷體密度，則區(qū)域V中的總電荷q為

電荷連續(xù)分布于體積V內(nèi)，用電荷體密度來描述其分布

理想化實際帶電系統(tǒng)的電荷分布形態(tài)分為四種形式：

點電荷、體分布電荷、面分布電荷、線分布電荷第十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一11

若電荷分布在薄層上，當(dāng)僅考慮薄層外、距薄層的距離要比薄層的厚度大得多處的電場，而不分析和計算該薄層內(nèi)的電場時，可將該薄層的厚度忽略，認(rèn)為電荷是面分布。面分布的電荷可用電荷面密度表示。

2.電荷面密度單位:C/m2

(庫/米2)

如果已知某空間曲面S上的電荷面密度，則該曲面上的總電荷q為第十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一12

若電荷分布在細(xì)線上，當(dāng)僅考慮細(xì)線外、距細(xì)線的距離要比細(xì)線的直徑大得多處的電場，而不分析和計算線內(nèi)的電場時，可將線的直徑忽略，認(rèn)為電荷是線分布。線分布的電荷可用電荷線密度表示。

3.電荷線密度

如果已知某空間曲線上的電荷線密度，則該曲線上的總電荷q為

單位:C/m(庫/米)第十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一134.點電荷帶電體的尺寸遠(yuǎn)小于觀察點至帶電體的距離,可以將帶電體所帶電荷看成集中在帶電體的中心上,將帶電體抽象為一個幾何點模型；點電荷的位置矢量為:則電荷密度為:位于坐標(biāo)原點的點電荷的電荷密度為：第十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一142.1.2

電流與電流密度說明：電流通常是時間的函數(shù)，不隨時間變化的電流稱為恒定電流，用I表示。

存在可以自由移動的電荷存在電場單位:A

（安）電流方向:正電荷的流動方向電流

——電荷的定向運(yùn)動而形成，用i表示，其大小定義為：單位時間內(nèi)通過某一橫截面S

的電荷量，即形成電流的條件：第十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一15

電荷在某一體積內(nèi)定向運(yùn)動所形成的電流稱為體電流，用電流密度矢量來描述。單位：A/m2（安/米2）

。

一般情況下，在空間不同的點，電流的大小和方向往往是不同的。在電磁理論中，常用體電流、面電流和線電流來描述電流的分布狀態(tài)。

1.體電流

流過任意曲面S的電流為體電流密度矢量與J垂直的單位面積的電流正電荷運(yùn)動的方向第十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一162.面電流(面電流的密度)

電荷在一個厚度可以忽略的薄層內(nèi)定向運(yùn)動所形成的電流稱為面電流，用面電流密度矢量來描述其分布面電流密度矢量d0單位：A/m（安/米）

。與Js垂直的單位寬度的面電流正電荷運(yùn)動的方向推導(dǎo)：S

面上的第十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一17

Js是反映薄層中各點電流流動情況的物理量，它形成一個空間矢量場分布

Js在某點的方向為該點電流流動的方向

Js在某點的大小為單位時間內(nèi)垂直通過單位長度的電量只有當(dāng)(體)電流密度J趨于無窮，面電流密度Js才不為零，即關(guān)于面電流密度的說明(注意與體電流的區(qū)別)表示：如果存在有限大小的體電流，將沒有面電流分布。第十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一18推導(dǎo)：電流在極細(xì)的導(dǎo)線中流過，其橫截面，故[為線電荷密度]3、線電流(密度)電荷在一個橫截面積可以忽略的細(xì)線中做定向流動所形成的電流

電流元：第十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一電荷兩個重要性質(zhì)：①守恒性②不變性電荷守恒定律:電荷既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，只能從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，或從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體。[電荷守恒定律：在一個與外界沒有電荷交換的系統(tǒng)內(nèi)，正、負(fù)電荷的代數(shù)和在任何物理過程中始終保持不變]電流連續(xù)性=電荷守恒性→電流連續(xù)性方程←流出閉曲面S的電流等于體積V內(nèi)單位時間所減少的電荷量2.1.3電荷守恒定律與電流連續(xù)性方程在導(dǎo)體中任取一個閉合面，有凈電荷跑出去，則(由散度定理)19第十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一電流連續(xù)性方程的微分形式

恒定電流→電流不隨時間改變→電荷空間分布不隨時間改變→

恒定電流連續(xù)性方程

電流連續(xù)性方程←任意閉合面穿出的恒定電流為零；恒定電流是一個無散度的場/恒定電流線是連續(xù)的閉合曲線[是S內(nèi)的電量，為電荷密度，V

為S包圍的體積]

20第二十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一21例：一個半徑為a的球體內(nèi)均勻分布總電荷量為Q的電荷，球體以均勻角速度繞一直徑旋轉(zhuǎn)。求：球內(nèi)的電流密度。解：建立球面坐標(biāo)系。第二十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一222.2真空中靜電場的基本規(guī)律1.庫侖（Coulomb）定律(1785年)

2.2.1庫侖定律電場強(qiáng)度靜電場：由靜止電荷產(chǎn)生的電場。重要特征：對位于電場中的電荷有電場力作用。真空中靜止點電荷

q1對q2的作用力::真空中的介電常數(shù):從q1指向q2的單位矢量第二十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一23

，滿足牛頓第三定律。

大小與兩電荷的電荷量成正比，與兩電荷距離的平方成反比；方向沿q1和q2連線方向，同性電荷相排斥，異性電荷相吸引；第二十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一24電場力服從疊加定理

真空中的N個點電荷（分別位于）對點電荷（位于）的作用力為qq1q2q3q4q5q6q7第二十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一252.電場強(qiáng)度

空間某點的電場強(qiáng)度定義為置于該點的單位點電荷（又稱試驗電荷）受到的作用力，即——描述電場分布的基本物理量

電場強(qiáng)度矢量——試驗正電荷

q1與q2的作用是通過電場在起作用[V/m(伏/米)]

點電荷的電場強(qiáng)度:電場強(qiáng)度反映作用力的強(qiáng)度場強(qiáng)度不是力第二十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一26電場強(qiáng)度服從疊加定理

真空中的N個點電荷（分別位于）那么在場點的電場強(qiáng)度為q1q2q3q4q5q6q7如果電荷是連續(xù)分布呢？第二十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一27小體積元中的電荷產(chǎn)生的電場面密度為的面分布電荷的電場強(qiáng)度線密度為的線分布電荷的電場強(qiáng)度體密度為的體分布電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度第二十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一28對電場強(qiáng)度的進(jìn)一步討論

電場強(qiáng)度形成矢量場分布，各點相同時，稱為均勻電場電場強(qiáng)度是單位點電荷受到的電場力，它只與產(chǎn)生電場的電荷有關(guān)第二十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一因而，作用在0.7mC點電荷上的電場力為每個電荷經(jīng)受的力的大小為。解:

從4.9μC的點電荷到0.7mC點電荷的距離矢量為

[例]兩個帶電量分別為0.7mC和4.9μC的點電荷位于自由空間的點(2,3,6)和(0,0,0)，試計算作用在0.7mC點電荷上的電場力。29第二十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一解:如圖所示，距離矢量為同理,q2、q3分別作用于q作用力為：q1對q作用力為:[例]自由空間中有三個帶電量都為200nC的電荷，分別位于點(0,0,0)，(2,0,0)和(0,2,0)，試決定作用在位于點(2,2,0)一個q為500nC點電荷的合力。作用于q的合力為：三個電荷q對的凈推斥力是，其方向與x軸成45°角。30第三十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一解：場點坐標(biāo)為，表示線元，坐標(biāo)為。電場強(qiáng)度與無關(guān),具有軸對稱性:在P點的電場分量：[例]有限長直線上均勻分布著線密度為的電荷，求線外任一點的電場強(qiáng)度。31第三十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一直線為無限長時，

即：

32第三十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一（即）；解：電荷密度：[例]一半徑a的導(dǎo)體球，總電量為Q，求球內(nèi)外的電場強(qiáng)度。第三十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一故球外任意一點的電場強(qiáng)度：

球內(nèi)點的電場強(qiáng)度：

34第三十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一35+q電偶極子zol－q電偶極子的場圖等位線電場線

電偶極子是由相距很近、帶等值異號的兩個點電荷組成的電荷系統(tǒng)，其遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度為

電偶極子的電場強(qiáng)度：[自學(xué)]例2.2.1-電偶極子的電場強(qiáng)度；2.2.2-環(huán)形帶電圓盤的電場強(qiáng)度]——電偶極矩第三十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一36

例2.2.1

計算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點的電場強(qiáng)度。

解：如圖所示，環(huán)形薄圓盤的內(nèi)半徑為a、外半徑為b，電荷面密度為。在環(huán)形薄圓盤上取面積元

，其位置矢量為，它所帶的電量為。而薄圓盤軸線上的場點的位置矢量為，因此有P(0,0,z)brRyzx均勻帶電的環(huán)形薄圓盤dSa故由于第三十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一37一、靜電場的散度和高斯定理

2.2.2靜電場的散度與旋度由于：兩邊取散射：利用關(guān)系式第三十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一38得到：已假定電荷分布在區(qū)域V內(nèi)，得到利用靜電場的散度:高斯定理的微分形式

表明：空間任意一點電場強(qiáng)度的散度與該點的電荷體密度有關(guān)；

電荷是產(chǎn)生靜電場的通量源第三十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一39利用散度定理得到對散度公式左右兩邊體積分表明：電場強(qiáng)度矢量穿過閉合曲面的通量等于該閉合面包圍總電荷有關(guān)高斯定理的積分形式第三十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一二、靜電場的無旋性左右兩邊取旋度表明：靜電場是無旋場上式左右兩邊沿任意曲面積分，在利用斯托克斯定理，得到表明：靜電場中，沿任意閉合路徑積分為0.40第四十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一412.2.2靜電場的基本方程高斯定理表明：靜電場是有源場，電力線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷。靜電場的散度（微分形式）1.靜電場散度與高斯定理靜電場的高斯定理（積分形式）表明：靜電場是無旋場，是保守場，電場力做功與路徑無關(guān)。靜電場的旋度（微分形式）2.靜電場旋度靜電場的環(huán)流（積分形式）第四十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一42討論

空間中靜電場旋度處處為零，靜電場中不存在旋渦源，電力線不構(gòu)成閉合回路靜電場沿任意閉合回路的積分都為零電場旋度和電場強(qiáng)度是不同的兩個物理量，從不同角度描述同一個物理對象雖然空間中電場的旋度處處為零，但電場卻可能存在，二者沒有必然的聯(lián)系第四十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一43從靜電場規(guī)律的認(rèn)識到分析解決問題的方法

電荷是產(chǎn)生電場的一種源規(guī)律

已知電荷分布，求電場分布疊加原理，進(jìn)行直接求和/積分運(yùn)算方法

電荷是產(chǎn)生電場的散度源

已知電場分布，求電荷分布進(jìn)行微分運(yùn)算

已知電荷分布，求其產(chǎn)生的電場求解微分方程

電場的通量比例于電荷量

已知電場分布，求其通量進(jìn)行積分運(yùn)算

已知電荷，求其產(chǎn)生的電場求解積分方程從靜電場規(guī)律的認(rèn)識到分析解決問題的方法

第四十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一443.利用高斯定律簡捷計算電場強(qiáng)度的條件簡捷計算條件：可以提到積分號以外，使積分方程簡化為代數(shù)方程什么情況下，可以提到積分號以外？在S上均勻分布時！或積分結(jié)果已知時！什么物理問題，具有這種特性呢？

具有對稱性的問題!第四十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一45

球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等均勻帶電球體帶電球殼多層同心球殼

當(dāng)電荷分布具有某種空間對稱性，可以找到一個高斯面，使得該面上的電場強(qiáng)度大小等于常數(shù)，于是可以方便求得電場強(qiáng)度。第四十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一46

無限大平面電荷：如無限大的均勻帶電平面、平板等。

軸對稱分布：如無限長均勻帶電的直線，圓柱體，圓柱殼等。(a)(b)第四十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一47

例2.2.2

求真空中均勻帶電球體的場強(qiáng)分布。已知球體半徑為a

，電荷密度為0。

解：（1）球外某點的場強(qiáng)（2）求球體內(nèi)一點的場強(qiáng)ar0rrEa(r≥a)（r<a）分析：電荷球?qū)ΨQ分布、建立球坐標(biāo)系和高斯面，電場方向垂直球面,電場大小只與r有關(guān)。第四十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一48例2.2.3求無限長線電荷在真空中產(chǎn)生的電場。解：由高斯定律，有分析：電荷分布柱對稱、選擇如圖柱坐標(biāo)系和高斯柱面(半徑為ρ，高度為l)；圓柱側(cè)面上電場大小相等，方向與側(cè)面方向相同。第四十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一49習(xí)題

關(guān)于電荷和電流

2.1;2.2;2.3;

關(guān)于電場強(qiáng)度

2.7;2.9;2.12;2.13

第四十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一502.3真空中恒定磁場的基本規(guī)律恒定磁場：由直流（恒定電流）產(chǎn)生的磁場。重要特征：對位于磁場中的電流元有磁場力的作用。第五十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一511.

安培力定律

安培對電流的磁效應(yīng)進(jìn)行了大量的實驗研究，設(shè)計并完成了電流相互作用的精巧實驗，得到了電流相互作用力公式，稱為安培力定律。

實驗表明，真空中的載流回路C1對載流回路C2的作用力

載流回路C2對載流回路C1的作用力安培力定律2.3.1安培力定律磁感應(yīng)強(qiáng)度

滿足牛頓第三定律第五十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一52對安培力定律的討論

只給出作用力的大小和方向，沒說明作用力如何傳遞電流產(chǎn)生磁場，磁力是通過磁場來傳遞的電流在其周圍空間會激發(fā)磁場，當(dāng)另外的電流處于這個磁場中時，會受到力（磁力）的作用處于磁場中的電流元Idl所受的磁場力dF與該點磁場、電流元強(qiáng)度和方向有關(guān)第五十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一532.磁感應(yīng)強(qiáng)度

獨立于I2

而存在，稱為I1

產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，單位為T（特斯拉），它是描述磁場的基本物理量。

電流在其周圍空間中產(chǎn)生磁場，磁場的重要特征是對場中的電流產(chǎn)生磁場力作用。載流回路C1對載流回路C2的作用力是回路C1中的電流I1產(chǎn)生的磁場對回路C2中的電流I2的作用力。

根據(jù)安培力定律，有其中電流I1在電流元處產(chǎn)生的磁場第五十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一54任意電流回路C產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度體電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度面電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度畢奧-薩伐爾定律第五十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一553.幾種典型電流分布的磁感應(yīng)強(qiáng)度

載流直線段的磁感應(yīng)強(qiáng)度：

載流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度：（有限長）（無限長）載流直線段載流圓環(huán)第五十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一56例2.3.1有限長直線電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：在導(dǎo)線上任取電流元Idl，其方向沿著電流流動的方向，即z方向。由比奧—薩伐爾定律，電流元在導(dǎo)線外一點P處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為其中當(dāng)導(dǎo)線為無限長時，1→0，2→第五十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一57

，而場點P

的位置矢量為，故得

解：設(shè)圓環(huán)的半徑為a，流過的電流為I。為計算方便取線電流圓環(huán)位于xy平面上，則所求場點為P(0,0,z),如圖所示。采用圓柱坐標(biāo)系，圓環(huán)上的電流元為,其位置矢量為

例2.3.2

計算線電流圓環(huán)軸線上任一點的磁感應(yīng)強(qiáng)度。載流圓環(huán)軸線上任一點P(0,0,z)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為第五十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一58可見，線電流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度只有軸向分量，這是因為圓環(huán)上各對稱點處的電流元在場點P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的徑向分量相互抵消。當(dāng)場點P遠(yuǎn)離圓環(huán)，即z>>a時，因，故由于，所以

在圓環(huán)的中心點上，z=0，磁感應(yīng)強(qiáng)度最大，即第五十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一592.3.2

恒定磁場的散度和旋度

1.

恒定磁場的散度與磁通連續(xù)性原理磁通連續(xù)性原理表明：恒定磁場是無源場，磁感應(yīng)線是無起點和終點的閉合曲線，自然界無孤立磁荷存在。恒定場的散度（微分形式）磁通連續(xù)性原理（積分形式）安培環(huán)路定理表明：恒定磁場是有旋場，是非保守場、電流是磁場的旋渦源。恒定磁場的旋度（微分形式）2.恒定磁場的旋度與安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理（積分形式）第五十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一60

恒定磁場的性質(zhì)無源（無散）場。磁力線無頭無尾且不相交;

有旋場。電流是磁場的旋渦源，磁力線構(gòu)成閉合回路.對安培環(huán)路定理的討論

空間任意點磁場的旋度只與當(dāng)?shù)氐碾娏髅芏扔嘘P(guān);

恒定電流是靜磁場的旋渦源，電流激發(fā)旋渦狀的靜磁場，并決定旋渦源的強(qiáng)度和旋渦方向;

磁場旋度與磁場是不同的物理量，它們的取值沒有必然聯(lián)系。沒有電流的地方，磁場旋度為零，但磁場不一定為零;

任意回路上恒定磁場的回路積分，等于穿過回路所圍區(qū)域的總電流強(qiáng)度;第六十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一61從恒定磁場規(guī)律的認(rèn)識到分析解決問題的方法從恒定磁場規(guī)律的認(rèn)識到分析解決問題的方法

電流是產(chǎn)生磁場的一種源規(guī)律

已知電流分布，求磁場分布疊加原理，進(jìn)行直接求和/積分運(yùn)算方法

電流是產(chǎn)生磁場的旋渦源

已知磁場分布，求電流分布進(jìn)行微分運(yùn)算

已知電流分布，求其產(chǎn)生的磁場求解微分方程

磁場的環(huán)流比例于電流

已知磁場分布，求其環(huán)流進(jìn)行積分運(yùn)算

已知電流，求其產(chǎn)生的磁場求解積分方程第六十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一62

解：建立一個最好的坐標(biāo)系，如圖。

根據(jù)對稱性，作出關(guān)于yoz平面對稱的積分環(huán)路，則環(huán)路積分為：條件：問題具有對稱性，從而積分方程可化為代數(shù)方程求解！3.利用安培環(huán)路定理簡便求解磁感應(yīng)強(qiáng)度

例2.3.2

求電流面密度為的無限大電流薄板產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。則：其中，第六十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一63

解選用圓柱坐標(biāo)系，則應(yīng)用安培環(huán)路定理，得例2.3.3

求載流無限長同軸電纜產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。取安培環(huán)路，交鏈的電流為第六十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一64應(yīng)用安培環(huán)路定律，得第六十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一65空間存在非真空的介質(zhì)時：電荷產(chǎn)生的靜電場會怎樣？電流產(chǎn)生磁場會怎樣？第六十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一66空間存在非真空的介質(zhì)時：電荷產(chǎn)生的靜電場會怎樣？電流產(chǎn)生磁場會怎樣？第六十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一67

媒質(zhì)對電磁場的響應(yīng)可分為三種情況

描述媒質(zhì)電磁特性的參數(shù)為：

電導(dǎo)率、介電常數(shù)和磁導(dǎo)率2.4媒質(zhì)的電磁特性

傳導(dǎo)：導(dǎo)體->自由電子極化：電介質(zhì)->束縛電荷磁化：磁介質(zhì)->分子電流原因：不同的物質(zhì)，其帶電粒子之間的相互作用力差別很大第六十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一681.電介質(zhì)的極化現(xiàn)象2.4.1

電介質(zhì)的極化電位移矢量無極分子有極分子無外加電場無極分子有極分子有外加電場E1）在外加電場作用下，電介質(zhì)會產(chǎn)生極化現(xiàn)象：

無極分子發(fā)生為位移極化有極分子發(fā)生取向極化2）電偶極子對外總的電場不再為0；

電介質(zhì)中的無極分子和有極分子電荷中心無外電場作用時，合成電場為0。第六十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一692.極化強(qiáng)度矢量定義：單位體積內(nèi)電偶極矩的矢量和，即無極分子有極分子有外加電場E物理意義：是描述電介質(zhì)極化程度的物理量。第六十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一701）介質(zhì)沒有外場作用時對于無極分子：討論

對于有極分子：2）介質(zhì)在外場作用下且其中，N

為單位體積內(nèi)受極分子數(shù)無極分子有極分子無外加電場E第七十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一711）極化強(qiáng)度的大小與介質(zhì)材料有關(guān)2）極化強(qiáng)度的大小也與外加電場強(qiáng)度有關(guān)

介質(zhì)極化后，將在空間中產(chǎn)生額外的電場介質(zhì)內(nèi)外空間中的總電場為實驗發(fā)現(xiàn)：對于線性、各向同性介質(zhì)，與成正比，即結(jié)論其中，稱為介質(zhì)的極化率

第七十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一72——電偶極矩+q電偶極子zol－q電偶極子的場圖等位線電場線

電偶極子的電場強(qiáng)度：第七十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一73

介質(zhì)極化后，其內(nèi)部可能出現(xiàn)凈余的電荷，即產(chǎn)生極化體電荷極化現(xiàn)象的進(jìn)一步討論

介質(zhì)極化后，介質(zhì)分界面上也可能出現(xiàn)凈余的電荷，即產(chǎn)生極化面電荷E

S第七十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一74對介質(zhì)極化問題的討論

P=常數(shù)時稱為均勻極化，閉合面內(nèi)的電偶極子的凈余的極化電荷為0，此時介質(zhì)內(nèi)部不會出現(xiàn)極化電荷非均勻極化狀態(tài)，電介質(zhì)內(nèi)部的凈余的極化電荷不為0

無論均勻極化還是非均勻極化，表面總會出現(xiàn)面電荷分布的極化電荷第七十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一753.極化電荷(1)

極化電荷體密度

在電介質(zhì)內(nèi)任意作一閉合面S，只有電偶極矩穿過S的分子對S內(nèi)的極化電荷有貢獻(xiàn)。只有負(fù)電荷位于斜柱體內(nèi)的電偶極矩才穿過小面元dS

，因此dS對極化電荷的貢獻(xiàn)(留在dS面內(nèi)的負(fù)電荷)為S所圍的體積內(nèi)的極化電荷為E

S第七十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一76(2)

極化電荷面密度

緊貼電介質(zhì)表面取如圖所示的閉合曲面，則穿過面積元的極化電荷為故得到電介質(zhì)表面的極化電荷面密度為第七十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一774.電位移矢量介質(zhì)中的高斯定理

介質(zhì)的極化過程包括兩個方面：外加電場的作用使介質(zhì)極化，產(chǎn)生極化電荷；極化電荷反過來激發(fā)電場兩者相互制約，并達(dá)到平衡狀態(tài)。無論是自由電荷，還是極化電荷，它們都激發(fā)電場，服從同樣的庫侖定律和高斯定理。問題：空間中有介質(zhì)存在時，其中可能存在的極化電荷會產(chǎn)生額外的電場，而影響總電場分布。那么計算總場時，

有必要事先計算出極化電荷產(chǎn)生的電場嗎？第七十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一78引入電位移矢量:則有

單位：C/m2任意閉合曲面電位移矢量D的通量等于該曲面包含自由電荷的代數(shù)和

其積分形式為

介質(zhì)中的電場應(yīng)該是外加電場和極化電荷產(chǎn)生的電場的疊加，應(yīng)用高斯定理得到：自由電荷和極化電荷共同激發(fā)的結(jié)果第七十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一79結(jié)論（積分形式）

（微分形式），

空間中存在介質(zhì)時，靜電場的問題可用如下基本方程描述求解問題的過程可采用如下途徑：,,靜電場是有源無旋場第七十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一804.介質(zhì)的分類與本構(gòu)關(guān)系相對介電常數(shù)（無量綱）介電常數(shù)均勻和非均勻介質(zhì)各向同性和各向異性介質(zhì)時變和時不變介質(zhì)線性和非線性介質(zhì)確定性和隨機(jī)介質(zhì)色散和非色散介質(zhì)分類:本構(gòu)關(guān)系:極化強(qiáng)度與電場強(qiáng)度之間的關(guān)系由介質(zhì)的性質(zhì)決定第八十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一81例2.4.1

半徑為a的球形電介質(zhì)體，其相對介電常數(shù)若在球心處存在一點電荷Q，求極化電荷分布。解：由高斯定律，可以求得在媒質(zhì)內(nèi)：體極化電荷分布:面極化電荷分布:在球心點電荷處：第八十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一82例2.4.2

內(nèi)外半徑分別為a和b的空心極化介質(zhì)球中，已知極化強(qiáng)度，P0為常數(shù)，求P和SP。解：r=b球面上r=a球面上Oab第八十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一83例2.4.3

半徑為a的球形區(qū)域內(nèi)充滿分布不均勻的體密度電荷，設(shè)其體密度為(r)。若已知電場分布為式中的A為常數(shù)，試求電荷體密度(r)。解：由高斯定律的微分形式，得將E的散度在球坐標(biāo)系中展開，得第八十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一84空間存在非真空的介質(zhì)時：電荷產(chǎn)生的靜電場會怎樣！電流產(chǎn)生磁場會怎樣？第八十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一85空間存在非真空的介質(zhì)時：電荷產(chǎn)生的靜電場會怎樣？電流產(chǎn)生磁場會怎樣？第八十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一862.4.2磁介質(zhì)的磁化磁場強(qiáng)度1.磁介質(zhì)的磁化

介質(zhì)中分子或原子內(nèi)的電子運(yùn)動形成分子電流，形成分子磁矩?zé)o外加磁場外加磁場B在外磁場作用下:

分子磁矩定向排列，宏觀上顯示出磁性，這種現(xiàn)象稱為磁介質(zhì)的磁化磁化程度的大小，由介質(zhì)內(nèi)分子磁矩的多少決定

無外磁場作用時，分子磁矩不規(guī)則排列，宏觀上不顯磁性。第八十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一87B2.磁化強(qiáng)度矢量

磁化強(qiáng)度是描述磁介質(zhì)磁化程度的物理量，定義為單位體積中的分子磁矩的矢量和，即單位為A/m。第八十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一881）介質(zhì)無外磁場作用時討論2）介質(zhì)在外磁場作用下其中，N

為單位體積內(nèi)的分子數(shù)B無外加磁場第八十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一891）磁化強(qiáng)度的大小與介質(zhì)材料有關(guān)2）磁化強(qiáng)度的大小也與外加場的強(qiáng)度有關(guān)

介質(zhì)磁化后，將在空間中產(chǎn)生額外的磁場介質(zhì)內(nèi)外空間中的總磁場為結(jié)論第八十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一90

介質(zhì)磁化后，其內(nèi)部可能出現(xiàn)凈余的電流分布，即產(chǎn)生磁化體電流磁化現(xiàn)象的進(jìn)一步討論

介質(zhì)磁化后，介質(zhì)分界面上也可能出現(xiàn)凈余的電流分布，即產(chǎn)生磁化面電流BC第九十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一913.磁化電流

磁介質(zhì)被磁化后，在其內(nèi)部與表面上可能出現(xiàn)宏觀的電流分布，稱為磁化電流。

考察穿過任意圍線C所圍曲面S的電流。只有分子電流與圍線相交鏈的分子才對電流有貢獻(xiàn)。與線元dl相交鏈的分子（分子電流中心位于如圖所示的斜圓柱內(nèi)）所交鏈的電流BC穿過曲面S的磁化電流為（1）磁化電流體密度dl對磁化電流的貢獻(xiàn)第九十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一92由，即得到磁化電流體密度

在磁介質(zhì)內(nèi)緊貼表面取一長度元dl，與此交鏈的磁化電流為（2）磁化電流面密度則即的切向分量第九十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一93討論

M=常數(shù)時稱為均勻磁化，此時磁介質(zhì)內(nèi)部不會出現(xiàn)磁化電流，磁化電流只會出現(xiàn)在磁介質(zhì)表面上第九十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一944.磁場強(qiáng)度介質(zhì)中安培環(huán)路定理

磁介質(zhì)的磁化過程包括兩個方面：外加磁場使磁介質(zhì)中的分子磁矩沿外磁場取向，介質(zhì)被磁化，磁化導(dǎo)致磁化電流;

磁化電流同樣也激發(fā)產(chǎn)生附加磁場，使原來磁場發(fā)生變化;

兩種相互作用達(dá)到平衡，介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)是所有電流源激勵的結(jié)果。無論傳導(dǎo)電流還是磁化電流，他們都遵循同樣的畢薩定律和安培環(huán)路定理。問題：空間中有介質(zhì)存在時，其中可能存在的磁化電流會產(chǎn)生額外的磁場，而影響總磁場分布。那么計算總場時，

有必要事先計算出磁化電流產(chǎn)生的磁場嗎？第九十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一95引入磁場強(qiáng)度

:則有

其積分形式為

,即介質(zhì)中的安培環(huán)路定理磁化電流也是產(chǎn)生磁場的漩渦源第九十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一96結(jié)論空間中存在介質(zhì)時，恒定磁場的問題可用如下基本方程描述求解問題的過程可采用如下途徑：,,（積分形式）

（微分形式）恒定磁場是有旋無源場第九十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一97５.磁介質(zhì)的分類與本構(gòu)關(guān)系本構(gòu)關(guān)系:相對磁導(dǎo)率（無量綱）磁導(dǎo)率磁化率(無量綱)

磁化強(qiáng)度

和磁場強(qiáng)度

之間的關(guān)系由磁介質(zhì)的物理性質(zhì)決定分類:順磁體抗磁體鐵磁體空氣：1.0000004

水：0.99999

鐵：4000第九十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一98空間存在非真空的介質(zhì)時：電荷產(chǎn)生的靜電場會怎樣？電流產(chǎn)生磁場會怎樣!第九十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一99磁場強(qiáng)度磁化強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度

例2.4.4

有一磁導(dǎo)率為μ

，半徑為a的無限長導(dǎo)磁圓柱，其軸線處有無限長的線電流I，圓柱外是空氣（μ0），試求圓柱內(nèi)外的、和的分布。

解：磁場具有軸對稱性，應(yīng)用安培環(huán)路定律，得第九十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一100例2.4.5

半徑為a的磁化介質(zhì)球球心在坐標(biāo)原點，磁化強(qiáng)度為，A和B為常數(shù)，求JM和J

SM。解：r=a球面上所以zeOereza第一百頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一101例2.4.6

內(nèi)、外半徑分別為內(nèi)=a和外=b的圓筒形磁介質(zhì)中，沿軸向有電流密度為J=ezJ0的傳導(dǎo)電流。設(shè)磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率為，求磁化電流分布。bazJ解：利用安培環(huán)路定理得第一百零一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一102第一百零二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一1032.4.3媒質(zhì)的傳導(dǎo)特性

對于線性和各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)，媒質(zhì)內(nèi)任一點的電流密度矢量J和電場強(qiáng)度E成正比，表示為這就是歐姆定律的微分形式。式中的比例系數(shù)稱為媒質(zhì)的電導(dǎo)率，單位是S/m（西/米）。帶電粒子

存在可以自由移動帶電粒子的介質(zhì)稱為導(dǎo)電媒質(zhì)。在外場作用下，導(dǎo)電媒質(zhì)中將形成定向移動電流。

第一百零三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一1042.5電磁感應(yīng)定律和位移電流2.5.1電磁感應(yīng)定律

自從1820年奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)之后，人們開始研究相反的問題，即磁場能否產(chǎn)生電流。

1831年法拉第發(fā)現(xiàn)，當(dāng)穿過導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時，回路中就會出現(xiàn)感應(yīng)電流和電動勢，且感應(yīng)電動勢與磁通量的變化有密切關(guān)系，由此總結(jié)出了著名的法拉第電磁感應(yīng)定律。

電磁感應(yīng)定律

——揭示時變磁場產(chǎn)生電場。

位移電流

——揭示時變電場產(chǎn)生磁場。

重要結(jié)論：在時變情況下，電場與磁場相互激勵，形成統(tǒng)一的電磁場。第一百零四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一105負(fù)號表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場總是阻止磁通量的變化。1.

法拉第電磁感應(yīng)定律的表述

設(shè)任意導(dǎo)體回路C圍成的曲面為S，其單位法向矢量為，則穿過回路的磁通為

當(dāng)通過導(dǎo)體回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化時，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢in的大小等于磁通量的時間變化率的負(fù)值，方向是要阻止回路中磁通量的改變，即第一百零五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一106

導(dǎo)體回路中有感應(yīng)電流，表明回路中存在感應(yīng)電場，回路中的感應(yīng)電動勢可表示為

感應(yīng)電場是由變化的磁場(時變磁場：源)所激發(fā)的電場。感應(yīng)電場是有旋場。

感應(yīng)電場不僅存在于導(dǎo)體回路中，也存在于導(dǎo)體回路之外的空間。對空間中的任意回路（不一定是導(dǎo)體回路）C，都有因而有

對感應(yīng)電場的討論：第一百零六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一107相應(yīng)的微分形式為(1)

回路不變，磁場隨時間變化這就是推廣的法拉第電磁感應(yīng)定律。

若空間同時存在由電荷產(chǎn)生的電場,則總電場應(yīng)為與之和，即。由于，故有2.引起回路中磁通變化的幾種情況磁通量的變化由磁場隨時間變化引起，因此有電場的源有兩種：電荷,磁場（隨時間變化）第一百零七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一108稱為動生電動勢，這就是發(fā)電機(jī)工作原理。(2)

導(dǎo)體回路在恒定磁場中運(yùn)動(3)

回路在時變磁場中運(yùn)動回路運(yùn)動產(chǎn)生時變電磁場產(chǎn)生第一百零八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一109

（1），矩形回路靜止；xbaoyx均勻磁場中的矩形環(huán)L

（3），且矩形回路上的可滑動導(dǎo)體L以勻速運(yùn)動。

解：(1)均勻磁場

隨時間作簡諧變化，而回路靜止，因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動勢是由磁場變化產(chǎn)生的，故

例2.5.1

長為a、寬為b的矩形環(huán)中有均勻磁場

垂直穿過，如圖所示。在以下三種情況下，求矩形環(huán)內(nèi)的感應(yīng)電動勢。

（2），矩形回路的寬邊b=常數(shù)，但其長邊因可滑動導(dǎo)體L以勻速運(yùn)動而隨時間增大；第一百零九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一110(3)矩形回路中的感應(yīng)電動勢是由磁場變化以及可滑動導(dǎo)體L在磁場中運(yùn)動產(chǎn)生的，故得(2)均勻磁場

為恒定磁場，而回路上的可滑動導(dǎo)體以勻速運(yùn)動，因而回路內(nèi)的感應(yīng)電動勢全部是由導(dǎo)體L在磁場中運(yùn)動產(chǎn)生的，故得或第一百一十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一111

（1）線圈靜止時的感應(yīng)電動勢；

解:

（1）線圈靜止時，感應(yīng)電動勢是由時變磁場引起，故

（2）線圈以角速度ω

繞x

軸旋轉(zhuǎn)時的感應(yīng)電動勢。

例2.5.2

在時變磁場中，放置有一個的矩形線圈。初始時刻，線圈平面的法向單位矢量與成α角，如圖所示。試求：xyzabB時變磁場中的矩形線圈第一百一十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一112

假定時，則在時刻t時，與y

軸的夾角，故

方法一：利用式計算

（2）線圈繞x軸旋轉(zhuǎn)時，的指向?qū)㈦S時間變化。線圈內(nèi)的感應(yīng)電動勢可以用兩種方法計算。第一百一十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一113

上式右端第二項與(1)相同，第一項xyzabB時變磁場中的矩形線圈12234

方法二：利用式計算。第一百一十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一114

在時變情況下，安培環(huán)路定理是否要發(fā)生變化？有什么變化？即問題：隨時間變化的磁場要產(chǎn)生電場，那么隨時間變化的電場是否會產(chǎn)生磁場？2.5.2位移電流

靜態(tài)情況下的電場基本方程在非靜態(tài)時發(fā)生了變化，即

這不僅是方程形式的變化，而是一個本質(zhì)的變化，其中包含了重要的物理事實，即時變磁場可以激發(fā)電場。（恒定磁場）（時變場）第一百一十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一1151.全電流定律而由時變情況下，電荷分布隨時間變化，由電流連續(xù)性方程有

發(fā)生矛盾在時變的情況下不適用第一百一十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一116

解決辦法：對安培環(huán)路定理進(jìn)行修正由將修正為：矛盾解決時變電場會激發(fā)磁場，稱為位移電流密度全電流定律：——

微分形式——

積分形式第一百一十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一117

全電流定律揭示不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場，它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶關(guān)系；時變電磁場中，只有傳導(dǎo)電流和位移電流之和才是連續(xù)的；上述公式也適用于靜態(tài)場。第一百一十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一1182.位移電流密度電位移矢量隨時間的變化率，能像電流一樣產(chǎn)生磁場，故稱“位移電流”。注：在絕緣介質(zhì)中，無傳導(dǎo)電流，但有位移電流。在理想導(dǎo)體中，無位移電流，但有傳導(dǎo)電流。在一般介質(zhì)中，既有傳導(dǎo)電流，又有位移電流。位移電流只表示電場的變化率，與傳導(dǎo)電流不同，它不產(chǎn)生熱效應(yīng)；當(dāng)電位移矢量不隨時間變化，位移電流為0。位移電流的引入是建立麥克斯韋方程組的至關(guān)重要的一步，它揭示了時變電場產(chǎn)生磁場這一重要的物理概念。第一百一十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一119

例2.5.3

海水的電導(dǎo)率為4S/m，相對介電常數(shù)為81，求頻率為1MHz時，位移電流振幅與傳導(dǎo)電流振幅的比值。

解：設(shè)電場隨時間作正弦變化，表示為則位移電流密度為其振幅值為傳導(dǎo)電流的振幅值為故第一百一十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一120式中的k為常數(shù)。試求：位移電流密度和電場強(qiáng)度。

例

2.5.4

自由空間的磁場強(qiáng)度為

解

自由空間的傳導(dǎo)電流密度為0，故由式,得第一百二十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一121

例2.5.5

銅的電導(dǎo)率、相對介電常數(shù)。設(shè)銅中的傳導(dǎo)電流密度為。試證明：在無線電頻率范圍內(nèi)，銅中的位移電流與傳導(dǎo)電流相比是可以忽略的。而傳導(dǎo)電流密度的振幅值為通常所說的無線電頻率是指f=300MHz以下的頻率范圍，即使擴(kuò)展到極高頻段（f=30～300GHz），從上面的關(guān)系式看出比值Jdm/Jm也是很小的，故可忽略銅中的位移電流。

解：銅中存在時變電磁場時，位移電流密度為位移電流密度的振幅值為第一百二十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一1222.6麥克斯韋方程組三大實驗定律：庫侖定律、安培定律，法拉第電磁感應(yīng)定律科學(xué)假設(shè)兩個基本假設(shè)：有旋電場—揭示了時變磁場產(chǎn)生電場！位移電流—揭示了時變電場產(chǎn)生磁場！其他假設(shè)：時變場中，由庫侖定律得到的高斯定律成立！時變場中，由安培定律得到的磁通連續(xù)性原理成立！麥克斯韋方程組

——宏觀電磁現(xiàn)象所遵循的基本規(guī)律，是電磁場的基本方程。第一百二十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一123

2.6.1麥克斯韋方程組的積分形式描述了一個區(qū)域內(nèi)場與源相互之間的關(guān)系第一百二十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一1242.6.2麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋第一方程，表明傳導(dǎo)電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場麥克斯韋第二方程，表明變化的磁場產(chǎn)生電場麥克斯韋第三方程表明磁場是無源場，磁感線總是閉合曲線麥克斯韋第四方程，表明電荷產(chǎn)生電場第一百二十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一125重要貢獻(xiàn)：預(yù)示了電磁波的存在！第一百二十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一1262.6.3媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

代入麥克斯韋方程組中，有限定形式的麥克斯韋方程（均勻媒質(zhì)）各向同性線性媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系為第一百二十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一127時變電場的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場；而時變磁場的激發(fā)源除了傳導(dǎo)電流以外，還有變化的電場。電場和磁場互為激發(fā)源，相互激發(fā)。時變電磁場的電場和磁場不再相互獨立，而是相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一個整體——

電磁場。電場和磁場分別是電磁場的兩個分量。在離開輻射源（如天線）的無源空間中，電荷密度和電流密度矢量為零，電場和磁場仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。第一百二十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一128在無源空間中，兩個旋度方程分別為

可以看到兩個方程的右邊相差一個負(fù)號，而正是這個負(fù)號使得電場和磁場構(gòu)成一個相互激勵又相互制約的關(guān)系。當(dāng)磁場減小時，電場的旋渦源為正，電場將增大；而當(dāng)電場增大時，使磁場增大，磁場增大反過來又使電場減小。第一百二十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一129隨時間變化的電場和磁場互為激發(fā)源，在空間中以波的形式傳播無線電磁波的傳播機(jī)理第一百二十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一130變壓器的工作原理Maxwell方程揭示的電磁規(guī)律與在實際生活中的應(yīng)用第一百三十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一131發(fā)電機(jī)的工作原理第一百三十一頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一132第一百三十二頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一133

解：(1)導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流為忽略邊緣效應(yīng)時，間距為d

的兩平行板之間的電場為E=u/d

，則

例

2.6.1

正弦交流電壓源連接到平行板電容器的兩個極板上，如圖所示。(1)證明電容器兩極板間的位移電流與連接導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流相等；(2)求導(dǎo)線附近距離連接導(dǎo)線為r

處的磁場強(qiáng)度。CPricu平行板電容器與交流電壓源相接第一百三十三頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一134與閉合線鉸鏈的只有導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流，故得(2)以r

為半徑作閉合曲線C，由于連接導(dǎo)線本身的軸對稱性，使得沿閉合線的磁場相等，故式中的S0為極板的面積，而為平行板電容器的電容。則極板間的位移電流為第一百三十四頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一135

例

2.6.2

在無源的電介質(zhì)中，若已知電場強(qiáng)度矢量，式中的E0為振幅、ω為角頻率、k為相位常數(shù)。試確定在什么情況下，E才可能是電磁場的電場強(qiáng)度矢量？并求出與相應(yīng)的其他場矢量。

解：是電磁場的場矢量，應(yīng)滿足麥克斯韋方程組。因此，利用麥克斯韋方程組可以確定k與ω

之間所滿足的關(guān)系，以及與相應(yīng)的其他場矢量。對時間

t積分，得第一百三十五頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一136由以上各個場矢量都應(yīng)滿足麥克斯韋方程，將以上得到的H和D代入式第一百三十六頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一137物理基礎(chǔ)庫侖定律電場強(qiáng)度與真空中的靜電場安培定律法拉第電磁感應(yīng)位移電流假說電位移矢量與介質(zhì)中靜電場磁感應(yīng)強(qiáng)度與真空中靜磁場磁場強(qiáng)度與介質(zhì)中的靜磁場高斯定理磁通連續(xù)感應(yīng)定律全電流定律麥克斯韋方程組邊界條件第一百三十七頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一1382.7電磁場的邊界條件

什么是電磁場的邊界條件?

為什么要研究邊界條件?媒質(zhì)1媒質(zhì)2

如何討論邊界條件?

實際電磁場問題都是在一定的物理空間內(nèi)發(fā)生的，該空間中可能是由多種不同媒質(zhì)組成的。邊界條件就是不同媒質(zhì)的分界面上的電磁場矢量滿足的關(guān)系，是在不同媒質(zhì)分界面上電磁場的基本屬性。物理：由亥姆霍茲定理可知，電磁場分布由散度、旋度和邊界條件確定。數(shù)學(xué)：麥克斯韋方程組是微分方程組，其解是不確定的，邊界條件起定解的作用。

由于在分界面兩側(cè)介質(zhì)的特性參數(shù)發(fā)生突變，場在界面兩側(cè)也發(fā)生突變。麥克斯韋方程組的微分形式在分界面兩側(cè)失去意義；麥克斯韋方程組的積分形式在不同媒質(zhì)的分界面上仍然適用，由此可導(dǎo)出電磁場矢量在不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件：切向、法向。第一百三十八頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一1392.7.1

邊界條件一般表達(dá)式媒質(zhì)1媒質(zhì)2

分界面上的電荷面密度

分界面上的電流面密度第一百三十九頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一140

邊界條件的推證

（1）電磁場量的法向邊界條件令Δh→0，則由媒質(zhì)1媒質(zhì)2PS即同理，由

在兩種媒質(zhì)的交界面上任取一點P，作一個包圍點P的扁平圓柱曲面S，如圖表示。或或第一百四十頁，共一百五十七頁，編輯于2023年，星期一141（2）電磁場量的切向邊界條件

在介質(zhì)分界面兩側(cè)，選取如圖所示的小環(huán)路，令Δh

→0，則由媒質(zhì)1媒質(zhì)2故得或同理得或第一百四十