2022-2023學(xué)年北京市房山區(qū)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】注意到在單位圓上，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】，故在單位圓上，根據(jù)三角函數(shù)值的定義，的橫坐標(biāo)的值即為，故.故選：B2．已知，，，則（

）A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的計(jì)算方法計(jì)算即可.【詳解】.故選：A3．函數(shù)，的值域是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的值域求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的最小值為，所以函數(shù)，的值域是.故選：D.4．已知為單位向量，其夾角為60，則=A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【詳解】.故選：B.5．已知，則（

）A．－3 B．1 C．3 D．不存在【答案】A【分析】利用兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，則.故選：A6．若，則下列關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，在坐標(biāo)系畫出單位圓，并且作出角的正弦線、余弦線和正切線，再由的范圍比較三角函數(shù)線的大小即可.【詳解】由三角函數(shù)線定義作出如圖：是角的終邊，圓是單位圓，則，，，，，即.故選：D7．如果，為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ，使得”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分性必要性的定義，結(jié)合向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷.【詳解】若存在負(fù)數(shù)λ，使得，則，，注意到不一定成立，于是充分性不成立；若，兩邊平方可得，，即，根據(jù)數(shù)量積的定義，，即，故，夾角為，此時(shí)，于是必要性成立.故“存在負(fù)數(shù)λ，使得”是“”的必要不充分條件.故選：B二、多選題8．下列命題中的假命題是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)的最小正周期為1D．函數(shù)是奇函數(shù)【答案】ABD【分析】根據(jù)正余弦函數(shù)及正切函數(shù)的性質(zhì)注意分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)的最小正周期為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，故D正確.故選：ABD.三、填空題9．________．【答案】/【分析】利用誘導(dǎo)公式直接計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：.四、雙空題10．已知為第二象限角，且，則______，_____．【答案】【分析】根據(jù)商數(shù)關(guān)系即可求得，利用誘導(dǎo)公式即可求得.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿牵?，所以?故答案為：；.五、填空題11．若，則________．【答案】/【分析】分子分母同時(shí)除以即可.【詳解】對(duì)待求表達(dá)式分子分母同時(shí)除以，即.故答案為：12．已知點(diǎn)，點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則的最小值為_______．【答案】2【分析】由題可得，即可得答案.【詳解】由題，，.則.則當(dāng)，即時(shí)，有最小值2.故答案為：213．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則θ的一個(gè)取值為__________．【答案】（答案不唯一，只要滿足即可）【分析】先利用輔助角公式化一，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以θ的一個(gè)取值可以為.故答案為：.（答案不唯一，只要滿足即可）六、雙空題14．自出生之日起，一個(gè)人的體力、情緒、智力等生理、心理狀況就呈周期變化．心理學(xué)家經(jīng)過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，人體節(jié)律可以簡(jiǎn)單地分為體力節(jié)律、情緒節(jié)律和智力節(jié)律，在設(shè)計(jì)引入一些數(shù)據(jù)量化后，人的體力、情緒、智力的變化可以近似地分別用函數(shù)：，，進(jìn)行描述，其中變量x為出生之后的時(shí)間天數(shù)，規(guī)定表示出生當(dāng)天．（1）情緒節(jié)律的時(shí)間周期為_____________天；（2）已知（，2，3），心理學(xué)家認(rèn)為，某年某月某一天對(duì)某人來說，若這天他對(duì)應(yīng)的某種節(jié)律函數(shù)值滿足（，2，3），則判斷他這天該項(xiàng)人體節(jié)律處于高潮期；若這天對(duì)應(yīng)的該節(jié)律函數(shù)值滿足（，2，3）．則判斷他這天該項(xiàng)人體節(jié)律處于低潮期；若（，2，3），則判斷這天他該項(xiàng)人體節(jié)律處于臨界日．一些心理醫(yī)生通常就根據(jù)“”（，2，3）運(yùn)算結(jié)果的正負(fù)情況，對(duì)就診者提出生活學(xué)習(xí)的活動(dòng)建議．小明同學(xué)于2007年4月27日出生，那么今天（2023年4月27日）他的人體節(jié)律處于高潮期的有_____________．（填序號(hào)即可）①體力節(jié)律

②情緒節(jié)律

③智力節(jié)律注：2007年以來有4個(gè)閏年，分別是2008年、2012年、2016年、2020年．【答案】①③【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的周期性即可得解；（2）先求出小明同學(xué)在2023年4月27日是第多少天，然后在判斷的符號(hào)即可得解.【詳解】（1）情緒節(jié)律對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，則周期為天；（2）小明同學(xué)在2023年4月27日是第天，則，所以體力節(jié)律處于高潮期，，所以情緒節(jié)律處于低潮期，，所以智力節(jié)律處于高潮期，綜上所述，①③處于高潮期.故答案為：；①③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求出小明同學(xué)在2023年4月27日是第多少天，是解決本題的關(guān)鍵.七、解答題15．已知向量，，．(1)求與的值：(2)求與的夾角；(3)若，m，，且，求的值．【答案】(1)，；(2)；(3)0【分析】（1）直接利用平面向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式計(jì)算即可；（2）直接利用平面向量夾角的坐標(biāo)公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式待定系數(shù)計(jì)算即可.【詳解】（1）由，可得，；（2）設(shè)與的夾角為，則（3）由題意可得，，則，所以.16．已知函數(shù)，從下列兩個(gè)條件：①圖象的一條對(duì)稱軸為；②中任選一個(gè)作為已知，并解決下列問題(1)求出函數(shù)的解析式：(2)用五點(diǎn)法作在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，并直接寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)直接寫出由的圖象經(jīng)過怎樣的圖象變換得到的圖象．（注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】(1)(2)答案見解析(3)答案見解析【分析】（1）若選①，由可得答案；若選②，由可得答案；（2）分別令可得畫圖所需5點(diǎn)坐標(biāo)，即可得圖象，后寫出單調(diào)遞增區(qū)間即可；（3）由圖象變換知識(shí)可得答案.【詳解】（1）若選①，則，.因，則，.此時(shí)，；若選②，則，則，此時(shí).（2）現(xiàn)列相應(yīng)表格如下：200則對(duì)應(yīng)五點(diǎn)為.將其畫在同一坐標(biāo)系下，再用光滑曲線相連可得圖象如下：的單調(diào)遞增區(qū)間為：.（3）將圖象向左平移個(gè)單位即可.17．已知向量，，記．(1)求方程的解集；(2)若函數(shù)，求在區(qū)間上的最值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積得坐標(biāo)表示結(jié)合輔助角公式化一，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（2）先根據(jù)二倍角的正弦公式、降冪公式及輔助角公式化一，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1），由，得，所以或，所以或，所以方程的解集為或；（2），當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng).八、單選題18．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)正弦定理求解即可得到所求結(jié)果．【詳解】由正弦定理得，∴．又，∴為銳角，∴．故選B．【點(diǎn)睛】在已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，需要進(jìn)行解的個(gè)數(shù)的討論，解題時(shí)要結(jié)合三角形中的邊角關(guān)系，即“大邊（角）對(duì)大角（邊）”進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題．19．設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（

）．A．是偶函數(shù) B．的最小正周期是C．在區(qū)間上是增函數(shù) D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】C【分析】運(yùn)用函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可判斷A；由周期函數(shù)的定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可判斷B；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)單調(diào)性規(guī)律即可判斷C；根據(jù)函數(shù)的圖象即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：的定義域?yàn)?，錯(cuò)誤；對(duì)于B：

的最小正周期是，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，在上為負(fù)，且是減函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，C正確；對(duì)于D：的圖象恒在軸上方，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，D錯(cuò)誤.故選：C.20．設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】用輔助角公式可將化為，用余弦二倍角公式和誘導(dǎo)公式可將化為后，即可比較大小【詳解】因?yàn)?，，又，所?故選：D.九、填空題21．已知，則_____________．【答案】/【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值，取使得即可.【詳解】由題意，取，則.故答案為：22．在中，，，，則______.【答案】【解析】利用二倍角的余弦公式可計(jì)算出的值，再利用余弦定理可求得邊的長(zhǎng).【詳解】由二倍角的余弦公式得，由余弦定理得，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，同時(shí)也考查了二倍角余弦公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.23．若整數(shù)滿足不等式，則稱為的“親密整數(shù)”，記作，即，已知函數(shù)．給出以下四個(gè)命題：①函數(shù)是周期函數(shù)且其最小正周期為；②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；③函數(shù)在上單調(diào)遞增；④方程在上共有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.其中正確命題的序號(hào)是．（寫出所有正確命題的序號(hào)）．【答案】①④【分析】①根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷；②取兩個(gè)特殊值計(jì)算可判斷對(duì)稱性；③由②得，從而不單調(diào)；④可求出具體的解進(jìn)行判斷即可．【詳解】①，是周期函數(shù)其最小正周期為．正確；②，，所以的圖象不可能關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，錯(cuò)誤；③，因此在不是單調(diào)遞增的，錯(cuò)誤；④根據(jù)的定義，在的解為，，，，，，共個(gè)，正確．故答案為：①④.十、解答題24．在中，角所對(duì)的邊分別為已知.（1）求A的大??；（2）如果，求的面積.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用余弦定理的變形：即可求解.（2）利用正弦定理求出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和性質(zhì)以及兩角和的正弦公式求出，由三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）。由余弦定理可得，又因?yàn)?，所?（2）由，，所以，在中，由正弦定理可得，所以，，所以的面積.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理、正弦定理解三角形、三角形的面積公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.25．給定正整數(shù)，設(shè)集合．對(duì)于集合中的任意元素和，記．設(shè)，且集合，對(duì)于中任意元素，若則稱具有性質(zhì)．(1)判斷集合是否具有性質(zhì)？說明理由；(2)判斷是否存在具有性質(zhì)的集合，并加以證明；(3)若集合具有性質(zhì)，證明：．【答案】(1)具有，理由見解析(2)不存在，證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)集合具有性質(zhì)的特征，即可根據(jù)集合中的元素進(jìn)行檢驗(yàn)求解，（2）假設(shè)集合具有性質(zhì)，分別考慮時(shí)，集合中的元素，即可根據(jù)的定義求解.（3）根據(jù)假設(shè)存在使得，考慮當(dāng)時(shí)以及時(shí)，分量為1的個(gè)數(shù)即可討論求解.【詳解】（1）因?yàn)?，同理．又，同理．所以集合具有性質(zhì)．（2）當(dāng)時(shí)，集合中的元素個(gè)數(shù)為．由題設(shè)．

假設(shè)集合具有性質(zhì)，則①當(dāng)時(shí)，，矛盾．②當(dāng)時(shí)，，不具有性質(zhì)，矛盾．③當(dāng)時(shí)，．因?yàn)楹椭炼嘁粋€(gè)在中；和至多一個(gè)在中；和至多一個(gè)在中，故集合中的元素個(gè)數(shù)小于，矛盾．④當(dāng)時(shí)，，不具有性質(zhì)，矛盾．⑤當(dāng)時(shí)，，矛盾．綜上，不存在具有性質(zhì)的集合．（3）記，則．若，則，矛盾．若，則，矛盾．故．假設(shè)存在使得，不妨設(shè)，即．當(dāng)時(shí)，有或成立．所以中分量為的個(gè)數(shù)至多有．當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)．因?yàn)?，所以的各分量有個(gè)，不妨設(shè)．由時(shí)