第四節(jié)二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一一、二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形的概念稱為二次型.1/21簡記為

第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一只含有平方項的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）．例如都為二次型；為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.2/21第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一1．用和號表示對二次型二、二次型的表示方法第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一2．用矩陣表示第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一三、二次型的矩陣及秩在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型．這樣，二次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系．第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一解例１第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一設(shè)四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．8/21第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一9/21第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一說明10/21定理4.4.6經(jīng)可逆線性變換,二次型的矩陣變?yōu)榧?/p>

且二次型的秩不變.

第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一11/21第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟12/21第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一解1．寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例213/21第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一從而得特征值2．求特征向量3．將特征向量正交化得正交向量組14/21第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一4．將正交向量組單位化，得正交矩陣15/21第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一于是所求正交變換為16/21第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一五、慣性定理一個實二次型，既可以通過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，也可以通過其他方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來說是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形中所含有的項數(shù)是確定的，項數(shù)等于二次型的秩．下面我們限定所用的變換為實變換，來研究二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì)．第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一為正定二次型為負(fù)定二次型六、正(負(fù))定二次型的概念例如第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一定義4.4.12設(shè)有實二次型，（1）若對任何，都有，則稱為半正定二次型，而對稱矩陣稱為半正定矩陣，記作；（2）若對任何，都有，則稱為半負(fù)定二次型，而對稱矩陣稱為半負(fù)定矩陣，記作.二次型的正定性與它的矩陣的正定性是一致的.

第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一證明充分性故七、正(負(fù))定二次型的判別第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一必要性故推論4.4.14對稱矩陣為正定的充分必要條件是：的特征值全為正．第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一定義4.4.15設(shè)有n階方陣

位于左上角的各階子式

稱為n階方陣A的主子式.第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一定理4.4.16（霍爾維茨定理）實對稱矩陣A為正定矩陣的充要條件是：A的各階主子式都為正；實對稱矩陣A為負(fù)定矩陣的充要條件是：A的奇數(shù)階主子式為負(fù)，偶數(shù)階主子式為正.正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì)第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一例1

判別二次型是否正定.解它的順序主子式故上述二次型是正定的.第二十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期一