例談初中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的方法研究 ——以《反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)》為例南洋初級(jí)中學(xué)閔文麗摘要數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著緊密的結(jié)構(gòu)關(guān)系，將數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化進(jìn)行教學(xué)不僅僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)內(nèi)在一致性的美，數(shù)學(xué)知識(shí)關(guān)聯(lián)的辯證統(tǒng)一，更有利于學(xué)生建立良好的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，明確每一堂課存在的意義與價(jià)值，激發(fā)學(xué)習(xí)的內(nèi)生力。因此，教師應(yīng)該仔細(xì)研究教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、注重教學(xué)內(nèi)容的重組與優(yōu)化，并輔助以相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。關(guān)鍵詞知識(shí)結(jié)構(gòu)化；反比例函數(shù)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，是對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)籌重組與優(yōu)化，并將優(yōu)化后的教學(xué)內(nèi)容視為一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的結(jié)構(gòu)形態(tài)進(jìn)行呈現(xiàn)，以突出數(shù)學(xué)教學(xué)的整體性、結(jié)構(gòu)性和關(guān)聯(lián)性的一種教學(xué)活動(dòng)。仔細(xì)研究初中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系之后，可以發(fā)現(xiàn)很多看似零散的知識(shí)點(diǎn)在本質(zhì)上是相同的，因此，可根據(jù)這些知識(shí)的特點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行一定的結(jié)構(gòu)化處理，分析教學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系與區(qū)別，再對(duì)其進(jìn)行整體性的教學(xué)設(shè)計(jì)。借助知識(shí)結(jié)構(gòu)化教學(xué)模式，學(xué)生能夠在掌握某一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的研究思路之后，根據(jù)知識(shí)的可遷移性理論，深度刨析新問(wèn)題的本質(zhì)特征、主動(dòng)探究其研究?jī)?nèi)容并得出結(jié)論，使得他們的整體性思維、自主探究能力以及創(chuàng)新能力得到發(fā)展，數(shù)學(xué)的成就感以及體驗(yàn)感得到了進(jìn)一步的加強(qiáng)。既然如此，我們應(yīng)該如何針對(duì)具體的課程對(duì)知識(shí)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)呢？筆者以《反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)》這一節(jié)課為載體來(lái)談一談如何進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化教學(xué)。研讀教材，明確知識(shí)結(jié)構(gòu)體系美國(guó)心理學(xué)家布魯納曾說(shuō)過(guò)，任何學(xué)科的教學(xué)，首要任務(wù)就是使學(xué)生理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)。因此，教師在教學(xué)前首先得厘清本節(jié)課在本單元，甚至整個(gè)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中的作用與地位，明確知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。通過(guò)研究教材中本單元內(nèi)容，明確了此單元是按照從一般到特殊的思路，先是介紹了函數(shù)的概念以及有關(guān)知識(shí)，再介紹了兩類(lèi)特殊的函數(shù)：正比例函數(shù)以及反比例函數(shù)。而在介紹正、反比例函數(shù)過(guò)程中，又采取了類(lèi)似的研究方法與路徑。先是從實(shí)際生活問(wèn)題中抽象出正、反比例函數(shù)的概念，再利用描點(diǎn)法研究其圖像，然后從圖像的位置以及函數(shù)的增減性角度研究其性質(zhì)，最后回歸生活實(shí)際解決問(wèn)題。不僅如此，教材中關(guān)于一次函數(shù)以及二次函數(shù)的研究思路與正、反比例函數(shù)的研究思路也是保持一致的，同樣是按照函數(shù)研究的基本視角，先給一個(gè)初始概念，再類(lèi)比圖像、性質(zhì)加以學(xué)習(xí)。這進(jìn)一步說(shuō)明了對(duì)于函數(shù)這一塊內(nèi)容是可以結(jié)構(gòu)化的，并且有一定的方法可循的。因此，我們可以在研讀教材的基礎(chǔ)上，通過(guò)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖可視化地將單元的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容以及內(nèi)容之間的關(guān)系和結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出來(lái)，梳理好相關(guān)知識(shí)脈絡(luò)。（如下圖所示）活用教材，注重教學(xué)內(nèi)容的重組與優(yōu)化《上海市普通中小學(xué)課程方案》曾指出，“教師要通過(guò)對(duì)教學(xué)內(nèi)容的‘結(jié)構(gòu)化’組織，加強(qiáng)模塊或主題之間的結(jié)合，注重各章節(jié)或單元中教學(xué)內(nèi)容之間的相互關(guān)系，幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)?！币虼?，一堂好的課堂設(shè)計(jì)肯定離不開(kāi)對(duì)教學(xué)內(nèi)容的再組織、再加工。（1）尋找主線，串聯(lián)教學(xué)內(nèi)容研讀教材后可知：教師需要在教學(xué)過(guò)程中滲透函數(shù)研究的一般步驟，通過(guò)問(wèn)題化、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)任務(wù)設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)。因此，筆者在講授《反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)》這一節(jié)課時(shí)，把函數(shù)研究的一般思路作為主線，以問(wèn)題串的形式讓學(xué)生自主思考在這節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中需要研究反比例函數(shù)的哪些有關(guān)知識(shí)？如何依靠自己原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)其圖像進(jìn)行研究？從哪些角度來(lái)研究其性質(zhì)？在后續(xù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中我們又會(huì)學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的哪些知識(shí)？等等。通過(guò)問(wèn)題化教學(xué)設(shè)計(jì)，教師為學(xué)生搭建好了知識(shí)的“腳手架”，使得教學(xué)更加貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。通過(guò)經(jīng)歷這樣的一個(gè)以學(xué)生為主體的探究過(guò)程，相信學(xué)生能夠透過(guò)表象看到函數(shù)的本質(zhì)，掌握的不再局限于反比例函數(shù)這一類(lèi)型函數(shù)的研究方法，而是一般函數(shù)的研究思路，為之后研究一次函數(shù)、二次函數(shù)奠定了良好的基礎(chǔ)。【教學(xué)過(guò)程】師：同學(xué)們，在上一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的概念，你能說(shuō)一說(shuō)什么是反比例函數(shù)嗎？生：解析式形如（k為常數(shù),k≠0）的函數(shù)。師：那反比例函數(shù)的定義域是什么呢？生：不等于0的一切實(shí)數(shù)。師：那今天我們繼續(xù)研究反比例函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容。我們知道要研究新知識(shí)，往往需要利用原有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，那同學(xué)們?cè)诖酥坝袥](méi)有學(xué)習(xí)過(guò)其他類(lèi)型的函數(shù)呢？生：有，正比例函數(shù)。師：那我們是如何研究正比例函數(shù)的呢？生：先是學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)的概念，再學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)的圖像、性質(zhì)以及應(yīng)用。師：現(xiàn)在我們類(lèi)比研究正比例函數(shù)的思路來(lái)研究反比例函數(shù)，今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)。[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)一系列的師生對(duì)話，開(kāi)門(mén)見(jiàn)山地揭示了本節(jié)課的課題，并滲透了研究函數(shù)的一般思路，為學(xué)生自主研究反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)做好了鋪墊?；顒?dòng)一：畫(huà)反比例函數(shù)的函數(shù)圖像.師：在研究正比例函數(shù)的圖像時(shí)，是不是直接研究的圖像呢？生：不是，我們先研究了的圖像。師：類(lèi)似地，我們同樣利用從“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想來(lái)研究反比例函數(shù)的圖像特征?，F(xiàn)在我們不妨先來(lái)畫(huà)一畫(huà)反比例函數(shù)的函數(shù)圖像.師：大家還記得畫(huà)函數(shù)圖象的基本方法是什么嗎？生：描點(diǎn)法。師：那用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖象的一般步驟是什么呢？生：列表、描點(diǎn)、連線。師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們嘗試畫(huà)出反比例函數(shù)的函數(shù)圖像。[設(shè)計(jì)意圖]學(xué)生通過(guò)獨(dú)立作圖，在鞏固復(fù)習(xí)了用“描點(diǎn)法”作函數(shù)圖像的同時(shí)，也對(duì)反比例函數(shù)的圖像有了初步的認(rèn)識(shí)，并且能夠意識(shí)到研究新的函數(shù)圖像的最基本方法就是描點(diǎn)法，為以后研究一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像做好鋪墊。在研究反比例函數(shù)圖像的過(guò)程中，強(qiáng)調(diào)了“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生研究其它類(lèi)型函數(shù)圖像帶來(lái)思想上的引領(lǐng)。學(xué)生在畫(huà)反比例函數(shù)的圖像過(guò)程中會(huì)遇到較多的困難，比如將曲線化成折線，將位于兩個(gè)象限的點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)結(jié)，將坐標(biāo)系中的點(diǎn)兩兩進(jìn)行聯(lián)結(jié)等等，此時(shí)，教師應(yīng)該強(qiáng)調(diào)在連線過(guò)程中應(yīng)該用光滑的曲線（包括直線）把描出的點(diǎn)按照橫坐標(biāo)從小到大的順序進(jìn)行聯(lián)結(jié)。對(duì)于畫(huà)函數(shù)圖像過(guò)程中的注意事項(xiàng)，在學(xué)習(xí)正比例函數(shù)時(shí)也進(jìn)行了強(qiáng)調(diào)，但是當(dāng)時(shí)學(xué)生感悟不深刻，導(dǎo)致畫(huà)反比例函數(shù)圖像時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤。然而，正是通過(guò)這樣的認(rèn)知沖突，學(xué)生更加明確了應(yīng)該如何畫(huà)函數(shù)圖像，體會(huì)到知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性。師：同學(xué)們現(xiàn)在已經(jīng)將坐標(biāo)系上的點(diǎn)全部進(jìn)行聯(lián)結(jié)了，可是此時(shí)形成的曲線能正確表示反比例函數(shù)的函數(shù)圖像嗎？生1：能！生2：不能！師：請(qǐng)生2來(lái)說(shuō)一說(shuō)為什么不能正確表示反比例函數(shù)的函數(shù)圖像呢？生：因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的定義域是一切不為零的實(shí)數(shù)，很明顯，此時(shí)圖像并不能完全反映自變量x的取值范圍。師：非常好！所以這兩只曲線應(yīng)該向兩方進(jìn)行延伸。那么每支曲線向兩方延伸的趨勢(shì)應(yīng)該是怎樣的呢？我們先來(lái)研究第一象限內(nèi)的這支曲線，它應(yīng)該如何向右延伸呢？生：越來(lái)越靠近x軸，無(wú)限接近于x軸。師：為什么呢？生：因?yàn)橥ㄟ^(guò)列表，我們是可以知道x的值越大，y的值是越小的。師：那曲線會(huì)不會(huì)與x軸相交呢？生：不會(huì)，因?yàn)閥≠0，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)師：那它又應(yīng)該如何向上延伸呢？生：越來(lái)越靠近y軸，無(wú)限接近于y軸，并且不會(huì)與y軸相交。因?yàn)閤≠0，圖像與y軸沒(méi)有交點(diǎn)。利用同樣的方法分析，我們發(fā)現(xiàn)第三象限的圖像也是類(lèi)似地進(jìn)行延伸。因此，我們可以知道反比例函數(shù)圖像的兩支都無(wú)限接近于x軸和y軸,但不會(huì)與x軸和y軸相交。[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)對(duì)所連曲線是否需要向兩方進(jìn)行延伸這一問(wèn)題的探討，恰恰與研究正比例函數(shù)的圖像是直線還是線段的問(wèn)題相互呼應(yīng)，讓學(xué)生在潛移默化中養(yǎng)成對(duì)于函數(shù)圖像研究的一般思考方式?；顒?dòng)二：畫(huà)反比例函數(shù)的函數(shù)圖像.[設(shè)計(jì)意圖]學(xué)生自主畫(huà)出當(dāng)時(shí)反比例函數(shù)的圖像，既是對(duì)畫(huà)反比例函數(shù)圖像方法的鞏固復(fù)習(xí)，又展示了時(shí)反比例函數(shù)圖像。通過(guò)這兩個(gè)操作活動(dòng)，為研究反比例函數(shù)的性質(zhì)提供了基本模型。學(xué)習(xí)完畫(huà)反比例函數(shù)的圖像之后，根據(jù)函數(shù)研究的一般思路，我們接下來(lái)繼續(xù)學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的性質(zhì)。按照正比例函數(shù)性質(zhì)的研究方法，我們依舊從圖像的位置以及函數(shù)的增減性角度進(jìn)行探究?？傊?，在研究反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)時(shí)，基本是按照正比例函數(shù)圖像與性質(zhì)研究的路徑同樣進(jìn)行探究的。筆者在課堂上所提的問(wèn)題也與學(xué)習(xí)正比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)時(shí)相類(lèi)似，具有一定的結(jié)構(gòu)性，讓學(xué)生的思維得到了體系化的訓(xùn)練，更加體會(huì)到函數(shù)學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)性。（2）立足學(xué)情進(jìn)行個(gè)性化教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師只是學(xué)習(xí)的組織者和引導(dǎo)者。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該從學(xué)生角度出發(fā)，依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平以及學(xué)習(xí)特點(diǎn)對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行個(gè)性化設(shè)計(jì)，充分關(guān)注學(xué)情，強(qiáng)化“對(duì)象意識(shí)”，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。在教材這一課中主要是讓學(xué)生多次進(jìn)行實(shí)踐操作，畫(huà)出、、以及的圖像，熟練掌握畫(huà)反比例函數(shù)圖像的方法，并且對(duì)這四個(gè)圖像進(jìn)行比較分析，從而得出反比例函數(shù)的性質(zhì)?？紤]到本班級(jí)學(xué)生情況：畫(huà)圖操作速度較慢，容易對(duì)重復(fù)操作的事情感到厭倦，缺乏一定的耐心等等，我將本應(yīng)該四個(gè)畫(huà)圖操作的內(nèi)容縮減至兩個(gè)實(shí)踐操作，取而代之的是，以幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)操作演示的形式展示不同的函數(shù)圖像。經(jīng)過(guò)此番操作，既可以解決學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中可能面臨的感到枯燥、無(wú)趣的問(wèn)題，增強(qiáng)了課堂學(xué)習(xí)的趣味性，也通過(guò)這樣的內(nèi)容優(yōu)化，使得教學(xué)內(nèi)容更具有嚴(yán)謹(jǐn)性、說(shuō)服性，突出了教學(xué)重點(diǎn)，提高了教學(xué)效率。這一操作方法也同樣適用于研究其它函數(shù)的性質(zhì)，使得結(jié)構(gòu)化教學(xué)效果得到了進(jìn)一步提升。在教學(xué)過(guò)程中，教師不僅僅需要堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)的學(xué)科性，更需要關(guān)注學(xué)生的內(nèi)在需求，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需要以及切合學(xué)生的學(xué)習(xí)水平為出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，有效利用信息技術(shù)手段，讓教學(xué)內(nèi)容兼具動(dòng)態(tài)性與交互性，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程性體驗(yàn)，營(yíng)造一種和諧、積極的學(xué)習(xí)氛圍。三、融合數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)注學(xué)生的核心素養(yǎng)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，這就是數(shù)學(xué)教育提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的最主要方面。教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)該打破課時(shí)的限制，用數(shù)學(xué)思想方法來(lái)輔助教學(xué)，讓學(xué)生在形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的同時(shí)感受數(shù)學(xué)思維的統(tǒng)一性，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！窘虒W(xué)過(guò)程】例2：（1）若點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，則.若點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，則.變式：（1）若點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，且，試比較、的大小關(guān)系.（2）若點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，且，試比較、的大小關(guān)系.本節(jié)課不管是在教學(xué)內(nèi)容的講授，還是在習(xí)題的選擇上面，都滲透了初中數(shù)學(xué)的重要思想方法。通過(guò)回顧正比例函數(shù)的研究過(guò)程，研究了反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，蘊(yùn)含了“類(lèi)比”的數(shù)學(xué)思想；通過(guò)分析特殊的反比例函數(shù)性質(zhì)，來(lái)研究一般的反比例函數(shù)的性質(zhì)，蘊(yùn)含了“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法；在分析反比例函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程中，又運(yùn)用到了“數(shù)形結(jié)合”的思想方法；在對(duì)習(xí)題中例2的變式選擇上面，又運(yùn)用了“分類(lèi)討論”的思想。本課所蘊(yùn)含的多種數(shù)學(xué)思想方法也為之后學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)的內(nèi)容帶來(lái)了思想上的引領(lǐng)，這也在一定程度上體現(xiàn)了知識(shí)的結(jié)構(gòu)化作用。當(dāng)學(xué)生能夠靈活運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想方法在不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容之間建立起關(guān)聯(lián)時(shí)，學(xué)生自主構(gòu)建的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖才擁有了生命力，學(xué)生的核心素養(yǎng)才算在教學(xué)中真正得到了落實(shí)。張奠宙教授曾指出，數(shù)學(xué)素養(yǎng)有“真、善、美”三個(gè)維度：理解數(shù)學(xué)文明的文化價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)真理的嚴(yán)謹(jǐn)性、精確性；具備用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題的基本能力；能夠欣賞數(shù)學(xué)智慧之美，喜歡數(shù)學(xué)，熱愛(ài)數(shù)學(xué)。如果教師能夠用心研究不同課程內(nèi)容背后隱藏的思想方法以及文化底蘊(yùn)，并將其滲透在結(jié)構(gòu)化教學(xué)中，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)必定會(huì)得到提高。四、結(jié)語(yǔ)教材中的一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)不是一盤(pán)散沙，通過(guò)精心的教學(xué)設(shè)計(jì)，可以使課本中具體的知識(shí)點(diǎn)之間產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，并且通過(guò)一定的關(guān)系結(jié)合在一起，用基本知識(shí)點(diǎn)組成小結(jié)構(gòu)，小結(jié)構(gòu)組成大結(jié)構(gòu)，最終形成知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。數(shù)學(xué)知識(shí)之間是有很強(qiáng)的邏輯性的，為了更好地對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化組織，我們?cè)陂_(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)前應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化梳理，不僅僅需要了解本單元知識(shí)內(nèi)容與作用，還要將其與相關(guān)單元聯(lián)系起來(lái)，分析單元之間的共性與特性，確定適當(dāng)?shù)难芯糠椒ㄅc研究思路，從內(nèi)容上將它們串聯(lián)在一起，從方法上，讓學(xué)生知悉問(wèn)題的本質(zhì)，從而形成一套系統(tǒng)的學(xué)習(xí)方法。掌握將知識(shí)結(jié)構(gòu)化的方法不僅僅能夠提升課堂教學(xué)質(zhì)量，更是能讓學(xué)生在之后學(xué)習(xí)類(lèi)似的知識(shí)時(shí)，聯(lián)系舊知，主動(dòng)探索解決新問(wèn)題的方法，提高自主探究的能力，其產(chǎn)