行列式的基本性質(zhì)第一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一也就是:若則第二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一(1).當(dāng)位于第一行第一列的情形,即證明:

先證由定義,按第一行展開(kāi)得(2).再證一般情形(第i行除外,其它元素全為零),此時(shí)第三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一得第四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一其中得第五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一第六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一于是證畢.

定理一.行列式等于它的任一行(列)的各元素與它們對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即行列式按行（列）展開(kāi)法或

證明:把行列式D的第i行的每個(gè)元素按下面的方式拆成n個(gè)數(shù)的和,再根據(jù)性質(zhì)3,可將D

表示成n個(gè)行列式之和:第七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一引理第八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一證畢.同理,若按列證明,可得

推論.

行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證明:

不妨設(shè)i＜j,考慮輔助行列式第九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一←第i行←第j行其中第i行與第j行對(duì)應(yīng)元素相同,又將按第j行展開(kāi),有于是得第十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一上述證法按列進(jìn)行,同理可得證畢.小結(jié):關(guān)于代數(shù)余子式的性質(zhì)有:(1).(2).或簡(jiǎn)寫(xiě)成:第十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一題設(shè)階行列式求第一行各元素的代數(shù)余子式之和第十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例1.利用定理一計(jì)算前面的例1解:D第十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一第十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例2.計(jì)算0000解:按第一行展開(kāi),有第十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一第十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一遞推公式第十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一(按第一行展開(kāi))記住這類(lèi)解法!第十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例3.證明范德蒙(Vandermonde)行列式說(shuō)明:第十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一關(guān)于范德蒙行列式注意兩點(diǎn)形式——↓按升冪排列，形成等比數(shù)列,且從0次方開(kāi)始；結(jié)果——共n(n-1)/2

項(xiàng)的乘積,可正可負(fù)可為零.對(duì)于范德蒙行列式,我們的任務(wù)就是：利用它計(jì)算行列式因此要牢記范德蒙行列式的形式和結(jié)果.第二十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一▋▋▋?nèi)绲诙豁?yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一下面我們來(lái)證明范德蒙(Vandermonde)行列式.證明:用數(shù)學(xué)歸納法.因?yàn)榈诙?yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一第二十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一按歸納法假設(shè),有故第二十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一２利用范德蒙行列式計(jì)算例４計(jì)算利用范德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。第二十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一解第二十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知第二十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一題：計(jì)算第二十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一７用數(shù)學(xué)歸納法例5證明第二十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一證對(duì)階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法第三十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一第三十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一評(píng)注第三十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一第三十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用．在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)對(duì)它進(jìn)行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法．小結(jié)第三十四頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一§3克萊姆法則一、克萊姆法則二、齊次線性方程組有 非零解的充要條件第三十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一(14)定理二（克來(lái)姆法則）設(shè)線性方程組的系數(shù)行列式一、克萊姆法則(15)第三十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一則線性方程組(14)有唯一解:(16)其中(第i行)(第j列)第三十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一證明:先驗(yàn)證(16)是(14)的解,即驗(yàn)證:D≠0?按第1列展開(kāi)按第2列展開(kāi)按第n列展開(kāi)因?yàn)?17)第三十八頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一由定理一及引理再證(14)只有一個(gè)解.000第三十九頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一將以上n個(gè)恒等式相加,就有第四十頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一根據(jù)定理一及其推論,上式為證畢.第四十一頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一

用克萊姆法則解線性方程組時(shí),必須具備兩個(gè)條件:注意1.未知數(shù)個(gè)數(shù)=方程個(gè)數(shù);2.系數(shù)行列式≠0.第四十二頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一例1.解線性方程組解:第四十三頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一又因?yàn)榈谒氖捻?yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一第四十五頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一設(shè)線性方程組則稱(chēng)此方程組為

非齊次線性方程組;此時(shí)稱(chēng)方程組為齊次線性方程組.一、非齊次與齊次線性方程組的概念第四十六頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一齊次線性方程組:(18)

定理三.

若齊次線性方程組(18)有非零解,則(18)的系數(shù)行列式D=0.證明:

反證.若D≠0,由克萊姆法則知(18)只有零解.矛盾!證畢.二、齊次線性方程組有非零解的充要條件第四十七頁(yè)，共五十一頁(yè)，編輯于2023年，星期一

註:

由定理三可知,方程組(18)的系數(shù)行列式D=0是方程組(18)有非零解的必要條件.在第四章將會(huì)看到,D=0也是齊次線性方程組(18)有非零解的充要條件.

齊次線性方程組(18)有非零解的充要條件是系數(shù)行列式D=0.說(shuō)明:(1).D≠0(18)有唯一解,即零解.(3).(18)有非零解(有無(wú)窮多組解).綜合上述,得到:(2)