§5從力做的功到向量的數(shù)量積FsW=|F||s|cos如果物體在力F下產(chǎn)生位移S則可得力F所做的功已知兩個(gè)非零向量a和b,作OA=a,OB=b,∠AOB=θ(0≤θ≤180)叫作向量a與b的夾角.abOABθ兩個(gè)非零向量的夾角的定義：

OABOABAOB┓a⊥b當(dāng)θ=0時(shí),a與b同向當(dāng)θ=180時(shí),a與b反向當(dāng)θ=90時(shí),a與b垂直，記作a⊥b我們規(guī)定零向量可與任一向量垂直.0·a=0OABθ如圖，OA=a,OB=b,過點(diǎn)B作BB1⊥OA于B1B1則OB1=|b|cosθ|b|cosθ叫作向量b在a方向上的射影射影的定義當(dāng)θ為銳角時(shí),|b|cosθ>0當(dāng)θ為鈍角時(shí),|b|cosθ<0當(dāng)θ為直角時(shí),|b|cosθ=0當(dāng)θ=180時(shí),|b|cosθ=-|b|當(dāng)θ=0時(shí),|b|cosθ=|b|Oθba已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角為θ,我們把|a||b|cosθ叫作向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積).記作a·ba·b=|a||b|cosθ向量的數(shù)量積的幾何意義：

向量a與b的數(shù)量積等于a的長度|a|與b在a方向上射影|b|cosθ的乘積,或b的長度|b|與a在b方向上射影|a|cosθ的乘積.當(dāng)兩個(gè)向量相等時(shí),兩個(gè)向量的數(shù)量積等于向量長度的平方:a·a=|a|2當(dāng)兩個(gè)向量都是單位向量時(shí),它們的數(shù)量積等于它們夾角的余弦值:e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ向量的數(shù)量積的物理意義：

如果力對(duì)物體做功,就是力F與其作用下物體的位移s的數(shù)量積F·s.由向量的數(shù)量積的定義和幾何意義，我們得到如下性質(zhì)：（1）若是單位向量，則

（2）若，則

；反之，若

則

.通常記作：

（3）

（4）

（5）對(duì)任意兩個(gè)向量，有

運(yùn)算律：1．2．3．思考：=12(-)233=-6解a·b=

|a||b|cosθ=3×4×cos150例1.|a|=3,|b|=4,且a與b的夾角θ=150,求a·b例2在三角形ABC,設(shè)邊BC,CA,AB的長度分別為a,b,c,證明:a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosCABCabc同理可證其他二式.我們把這個(gè)結(jié)果稱為余弦定理.證明如圖,設(shè),則例3證明菱形的兩條對(duì)角線互相垂直.ABCDO證明菱形ABCD中,AB=AD即菱形的兩條對(duì)角線互相垂直.a·b=(e1+e2)·(e2-2e1)

=-2e1

·

e1-e1

·

e2+e2

·

e2

=-所以23①例4已知單位向量e1,e2的夾角為60,求向量a=e1+e2,b=e2-2e1夾角.解由單位向量e1,e2的夾角為60,得e1·e2

=由①②可得cosθ===a·b|a|·|b|33×2321又

|a|2=|e1+e2|2=|e1|2+2e1

·

e2

+|e2|2=3|b|2=|e2-2e1|2=4|e1|2-4e1

·

e2

+|e2|2=3②所以

|a|=|b|=又0<θ<π,所以θ=120

（1）（5）若，則對(duì)于任一非零有（2）（3）（7）對(duì)于任意向量都有（6）若，則至少有一個(gè)為判斷下列命題是否正確：公式變形對(duì)功W=|F||s|cos結(jié)構(gòu)分析抽象平面向量數(shù)量積的定義a