2022年山東省青島市經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)致遠中學(高中部)高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如果a，b，c滿足c＜b＜a且ac＜0，那么下列選項中不一定成立的是（）A．a(chǎn)b＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ab2 D．a(chǎn)c（a﹣c）＜0參考答案：C【考點】不等關(guān)系與不等式．【分析】本題根據(jù)c＜b＜a，可以得到b﹣a與a﹣c的符號，當a＞0時，則A成立，c＜0時，B成立，又根據(jù)ac＜0，得到D成立，當b=0時，C不一定成立．【解答】解：對于A，∵c＜b＜a且ac＜0，∴則a＞0，c＜0，必有ab＞ac，故A一定成立對于B，∵c＜b＜a∴b﹣a＜0，又由c＜0，則有c（b﹣a）＞0，故B一定成立，對于C，當b=0時，cb2＜ab2不成立，當b≠0時，cb2＜ab2成立，故C不一定成立，對于D，∵c＜b＜a且ac＜0∴a﹣c＞0∴ac（a﹣c）＜0，故D一定成立故選C．2.兩個圓C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0與C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切線有且僅有（） A．1條 B．2條 C．3條 D．4條參考答案：B【考點】圓的切線方程． 【分析】先求兩圓的圓心和半徑，判定兩圓的位置關(guān)系，即可判定公切線的條數(shù)． 【解答】解：兩圓的圓心分別是（﹣1，﹣1），（2，1），半徑分別是2，2 兩圓圓心距離：，說明兩圓相交， 因而公切線只有兩條． 故選B． 【點評】本題考查圓的切線方程，兩圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題． 3.a、b、c是空間三條直線，a//b,a與c相交，則b與c的關(guān)系是

（

）A．相交

B．異面

C．共面

D．異面或相交

參考答案：D略4.已知復數(shù)，若是純虛數(shù)，則實數(shù)等于

A．

B．

C．

D．高參考答案：B略5.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個新的三角形的形狀為(

)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．由增加的長度決定參考答案：A【考點】余弦定理．【專題】計算題．【分析】先設(shè)出原來的三邊為a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同樣的長度為x，得到新的三角形的三邊為a+x、b+x、c+x，知c+x為最大邊，所以所對的角最大，然后根據(jù)余弦定理判斷出余弦值為正數(shù)，所以最大角為銳角，得到三角形為銳角三角形．【解答】解：設(shè)增加同樣的長度為x，原三邊長為a、b、c，且c2=a2+b2，c為最大邊；新的三角形的三邊長為a+x、b+x、c+x，知c+x為最大邊，其對應角最大．而（a+x）2+（b+x）2﹣（c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，則為銳角，那么它為銳角三角形．故選A【點評】考查學生靈活運用余弦定理解決實際問題的能力，以及掌握三角形一些基本性質(zhì)的能力．6.如圖ABCD－A1B1C1D1是正方體，B1E1＝D1F1＝，則BE1與DF1所成角的余弦值是()

A．

B．

C．

D．參考答案：A略7.已知偶函數(shù)與奇函數(shù)的定義域都是（-2,2），它們在[0,2]上的圖象如圖所示，則使關(guān)于x的不等式成立的x的取值范圍為(

)

A.(-2,-1)(1,2)

B.(-1,0)(0,1)

C[

D.參考答案：C略8.在等差數(shù)列{an}中，若，，則（

）A. B.1 C. D.參考答案：C【分析】運用等差數(shù)列的性質(zhì)求得公差d，再運用通項公式解得首項即可．【詳解】由題意知，所以.故選C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式的運用，等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．9.下列結(jié)論正確的是（

）A.當且時，；

B.當時，；C.當時，的最小值為2；

D.當時，無最大值；參考答案：B略10.在3和9之間插入兩個正數(shù),使前三個數(shù)成等比數(shù)列,后三個數(shù)成等差數(shù)列,則插入的這兩個正數(shù)之和為

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知空間三點，，，，若向量分別與，垂直則向量的坐標為_

；參考答案：略12.正方體中，與所成角為__________度。參考答案：90略13.下列命題中：①若函數(shù)的定義域為R，則一定是偶函數(shù)；②若是定義域為R的奇函數(shù),對于任意的R都有,則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；③已知是函數(shù)定義域內(nèi)的兩個值,且，若,則是減函數(shù)；④若是定義在R上的奇函數(shù),且也為奇函數(shù)，則是以4為周期的周期函數(shù).其中正確的命題序號是________．參考答案：①④14.計算

.參考答案：i15.觀察下列不等式

……

照此規(guī)律，第五個不等式為________．參考答案：16.閱讀如圖的框圖，運行相應的程序，輸出S的值為．參考答案：﹣4【考點】程序框圖．【專題】算法和程序框圖．【分析】寫出前二次循環(huán)，滿足判斷框條件，輸出結(jié)果．【解答】解：由框圖知，第一次循環(huán)得到：S=﹣8，n=2；第二次循環(huán)得到：S=﹣4，n=1；退出循環(huán)，輸出﹣4．故答案為：﹣4．【點評】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，判斷框中n≤1退出循環(huán)是解題的關(guān)鍵，考查計算能力．17.設(shè)一個回歸方程為，則當時，y的估計值是

.參考答案：8.2

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知A，B，C為△ABC的三內(nèi)角，且其對邊分別為a，b，c，若m＝，n＝，且m·n＝．(1)求角A的大??；(2)若b＋c＝4，△ABC的面積為，求a的值．參考答案：(1)由m·n＝得－2cos2＋1＝?cosA＝－，所以A＝120°.(2)由S△ABC＝bcsinA＝bcsin120°＝，得bc＝4，故a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2＋bc＝(b＋c)2－bc＝12，所以a＝2．19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面,,,E是線段PB的中點.（1）求證：EC∥平面APD；（2）求PB與平面ABCD所成的角的正切值；（3）求二面角P-AB-D的余弦值.參考答案：（Ⅰ）如圖，取PA中點F，連結(jié)EF、FD，∵E是BP的中點，∴EF//AB且，又∵∴EFDC∴四邊形EFDC是平行四邊形，故得EC//FD又∵EC平面PAD，F(xiàn)D平面PAD∴EC//平面ADE（Ⅱ）取AD中點H，連結(jié)PH，因為PA＝PD，所以PH⊥AD∵平面PAD⊥平面ABCD于AD

∴PH⊥面ABCD∴HB是PB在平面ABCD內(nèi)的射影∴∠PBH是PB與平面ABCD所成角

∵四邊形ABCD中，∴四邊形ABCD是直角梯形，設(shè)AB=2a，則，在中，易得，，又∵，∴是等腰直角三角形，∴∴在中，（Ⅲ）在平面ABCD內(nèi)過點H作AB的垂線交AB于G點，連結(jié)PG，則HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a

，又∴，在中，∴二面角P-AB-D的的余弦值為20.如圖，拋物線關(guān)于軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P(1,2),,均在拋物線上.（1）求該拋物線方程；（2）若AB的中點坐標為，求直線AB方程參考答案：（1）（2）.略21.在平面直角坐標系中，曲線：，以原點為極點，軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線：將曲線上的所有點的橫坐標，縱坐標分別伸長為原來的、倍后得到曲線，寫出直線的直角坐標方程和曲線的參數(shù)方程；在曲線上求一點，使點到直線距離最大，并求出最大值.參考答案：（Ⅰ）由題意知，直線l的直角坐標方程為：2x-y-6=0.∵C2：（=1∴C2：的參數(shù)方程為：（θ為參數(shù)）……5分（Ⅱ）設(shè)P（cosθ，2sinθ），則點P到l的距離為：d=，∴當sin(60°-θ)＝-1即點P（-,1）時，此時dwax=[=2……10分

22.在空中，取直線l為軸，直線l與l′相交于O點，夾角為30°，l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點，l′為母線的圓錐面．已知直線l∥平面α，l與α的距離為2，平面α與圓錐面相交得到雙曲線Γ．在平面α內(nèi)，以雙曲線Γ的中心為原點，以雙曲線的兩個焦點所在直線為y軸，建立直角坐標系．（Ⅰ）求雙曲線Γ的方程；（Ⅱ）在平面α內(nèi)，以雙曲線Γ的中心為圓心，半徑為2的圓記為曲線Γ′，在?！渖先稳∫稽cP，過點P作雙曲線Γ的兩條切線交曲線Γ′于兩點M、N，試證明線段MN的長為定值，并求出這個定值．參考答案：【考點】平面與圓柱面的截線．【分析】（Ⅰ）由已知推導出雙曲線的實半軸長為2，且過點（2，4），由此能求出雙曲線的標準方程．（Ⅱ）設(shè)點P的坐標為（x0，y0），令過點P的切線方程為y=k（x﹣x0）+y0，與橢圓聯(lián)立，再利用根的判別式、韋達定理、圓的性質(zhì)，結(jié)合已知條件能證明線段MN的長為定值，并能求出這個定值．【解答】（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）如右圖，O'為雙曲線的中心，OO'為軸l與平面α的距離|OO'|=2，A為雙曲線的頂點，∠AOO'=60°，∴．…在軸l上取點C，使得|OC|=4，過C作與軸l垂直的平面，交圓錐面得到圓C，圓C與雙曲線相交于D、E，DE的中點為B，由題意知，|CB|=2，|CD|=4，得|BD|=2，從而雙曲線的實半軸長為2，且過點（2，