2021-2022學(xué)年山東省東營(yíng)市李鵲第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)y=sin（x+）+cos（﹣x）的最大值為（）A． B． C． D．參考答案：C考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：將函數(shù)y解析式第一項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，整理后，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域，即可得出y的最大值．解答：解：y=sin（x+）+cos（﹣x）=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx=（cosx+sinx）=sin（x+θ）（其中sinθ=，cosθ=），∵﹣1≤sin（x+θ）≤1，∴函數(shù)y的最大值為．故選C點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．2.設(shè)α，β都是銳角，且cosα=，sin（α﹣β）=，則cosβ=（） A． B．﹣ C．或﹣ D．或參考答案：A【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦函數(shù)． 【專題】三角函數(shù)的求值． 【分析】注意到角的變換β=α﹣（α﹣β），再利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得結(jié)果． 【解答】解：∵α，β都是銳角，且cosα=，sin（α﹣β）=， ∴sinα==； 同理可得， ∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=+=， 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和與差的余弦公式，考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系式的應(yīng)用，屬于中檔題． 3.下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性相同，且在上單調(diào)性也相同的是A. B.C. D.參考答案：B4.已知a>0且a≠1，若函數(shù)f（x）=loga（ax2–x）在[3，4]是增函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.設(shè)復(fù)數(shù)且，則復(fù)數(shù)z的虛部為A． B． C． D．

參考答案：B6.函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是

參考答案：7.已知1+i是關(guān)于x的方程（）的一個(gè)根，則a+b=A、－1

B、1

C、－3

D、3參考答案：A實(shí)系數(shù)的一元二次方程虛根成對(duì)（互為共軛復(fù)數(shù)）.易得：8.某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，每件銷售收入分別為0.3萬元、0.2萬元．甲、乙兩種產(chǎn)品都需在A、B兩種設(shè)備上加工，在每臺(tái)A、B設(shè)備上加工1件甲產(chǎn)品設(shè)備所需工時(shí)分別為1h、2h，加工1件乙產(chǎn)品設(shè)備所需工時(shí)分別為2h、1h，A、B兩種設(shè)備每月有效使用臺(tái)時(shí)數(shù)分別為400h、500h．則月銷售收入的最大值為（A）50萬元

（B）70萬元

（C）80萬元

（D）100萬元參考答案：C9.已知“命題”是“命題”成立的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________________.參考答案：略10.某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的值是()A.

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若集合A={x|ax2+ax+1=0}中只有一個(gè)元素，則滿足條件的實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合為．參考答案：{4}【考點(diǎn)】15：集合的表示法．【分析】由已知得，由此能求出滿足條件的實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合．【解答】解：∵集合A={x|ax2+ax+1=0}中只有一個(gè)元素，∴，解得a=4．∴滿足條件的實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合為{4}．故答案為：{4}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式的合理運(yùn)用．12.對(duì)于集合，如果定義了一種運(yùn)算“”，使得集合中的元素間滿足下列4個(gè)條件：（?。?，都有；（ⅱ），使得對(duì)，都有；（ⅲ），，使得；（ⅳ），都有，則稱集合對(duì)于運(yùn)算“”構(gòu)成“對(duì)稱集”．下面給出三個(gè)集合及相應(yīng)的運(yùn)算“”：①，運(yùn)算“”為普通加法；②，運(yùn)算“”為普通減法；③，運(yùn)算“”為普通乘法．其中可以構(gòu)成“對(duì)稱集”的有

．（把所有正確的序號(hào)都填上）參考答案：①③13.已知函數(shù)y=x2+（a∈R）在x=1處的切線與直線2x﹣y+1=0平行，且此切線也是圓x2+y2+mx﹣（3m+1）y=0的切線，則m=．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；直線與圓．分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件可得a，求得切點(diǎn)，求出切線方程，求出圓的圓心和半徑，應(yīng)用直線與圓相切則d=r，由點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，解出m即可．解答：解：∵函數(shù)y=x2+（a∈R）在x=1處的切線與直線2x﹣y+1=0平行，∴f′（1）=2，由于f′（x）=2x﹣，即f′（1）=2﹣a=2，解得a=0，函數(shù)y=x2，則切點(diǎn)為（1，1），切線方程為：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0，由于圓x2+y2+mx﹣（3m+1）y=0的圓心為（﹣，），半徑為，由直線與圓相切得，=，化簡(jiǎn)，解得m=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求切線方程，考查直線與圓相切的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．14.有張卡片，每張卡片上分別標(biāo)有兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，其中．從這張卡片中任取一張，記事件“該卡片上兩個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和（例如：若取到標(biāo)有的卡片，則卡片上兩個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和為）不小于”為，則

．參考答案：解析：對(duì)于大于14的點(diǎn)數(shù)的情況通過列舉可得有5種情況，即，而基本事件有20種，因此15.函數(shù)f（x）=sinx﹣acosx的圖象的一條對(duì)稱軸是x=，則g（x）=asinx+cosx=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤）的初相是．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義．【專題】函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】化簡(jiǎn)得f（x）=sin（x﹣θ），由對(duì)稱軸得f（）=±求出a，代入g（x）化簡(jiǎn)可得答案．【解答】解：f（x）=sinx﹣acosx=sin（x﹣θ），（θ為輔助角），∵x=是f（x）的一條對(duì)稱軸，∴sin﹣acos=±，即﹣﹣=±，化簡(jiǎn)得a2﹣2a+1=0，解得a=1，∴g（x）=sinx+cosx=sin（x+），∴g（x）的初相為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性，考查輔助角公式和兩角和差的正弦及余弦公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．16.已知函數(shù)f(x)是以4為周期的函數(shù)，且當(dāng)－1＜x≤3時(shí)，若函數(shù)y＝f(x)－m|x|恰有10個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

．參考答案：作出函數(shù)f(x)與y＝m|x|的圖象．【說明】考查函數(shù)的零點(diǎn)，利用分段函數(shù)的性質(zhì)與圖象數(shù)形結(jié)合，分析兩個(gè)函數(shù)圖象的位置關(guān)系．17.設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)F1、F2，其焦距為，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是

．參考答案：點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，，，即，，解得，又，且，要恒成立，即，，則橢圓離心率的取值范圍是，故答案為.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）(1)m為何值時(shí)，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；(2)若函數(shù)f(x)＝|4x－x2|＋a有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：解:(1)f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且僅有一個(gè)零點(diǎn)?方程f(x)＝0有兩個(gè)相等實(shí)根?Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.…6分

(2)令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，即|4x－x2|＝－a.令g(x)＝|4x－x2|，

h(x)＝－a.作出g(x)、h(x)的圖象．由圖象可知，當(dāng)0<－a<4，即－4<a<0時(shí)，g(x)與h(x)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，即f(x)有4個(gè)零點(diǎn)．故a的取值范圍為(－4,0)．

………12分19.（本小題滿分13分）

在中，，.

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）設(shè)，求的面積.參考答案：

（Ⅰ）解：由，，

得，

所以

…3分

6分

且，

故

…7分

（Ⅱ）解：據(jù)正弦定理得，…10分

所以的面積為

……13分

略20.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜x﹣1（Ⅲ）確定實(shí)數(shù)k的所有可能取值，使得存在x0＞1，當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，恒有f（x）＞k（x﹣1）參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，解出即可；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）﹣x+1，先求出函F（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；（Ⅲ）通過討論k的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可．【解答】解：（I）f′（x）=﹣x+1=，x∈（0，∞），由f′（x）＞0得：，解得0＜x＜，故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（0，）；（II）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），x∈（0，+∞），則有F′（x）=，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，所以F′（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，故當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜F（x）＜，即當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜x﹣1；（III）由（II）知，當(dāng)k=1時(shí)，不存在x0＞1滿足題意，當(dāng)k＞1時(shí)，對(duì)于x＞1，有f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），則f（x）＜k（x﹣1），從而不存在xx0＞1滿足題意，當(dāng)k＜1時(shí)，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1），x∈（0，∞），則有G′（x）=﹣x﹣k=，由G′（x）=0得：﹣x2+（1﹣k）x+1=0，得x1=＜0，x2=＞1，當(dāng)x∈（1，x2）時(shí)，G′（x）＞0，故G（x）在[1，x2）內(nèi)單調(diào)遞增，從而當(dāng)x∈（1，x2）時(shí)，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x﹣1），綜上，k的取值范圍是（﹣∞，1）．21.已知數(shù)列，，，，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（Ⅲ）求證：.參考答案：解：（Ⅰ）法一：…3分

………………5分法二：

………………3分

……4分

………………5分（Ⅱ）…7分

9分

…………10分（Ⅲ）證明：

……12分

；……14分略22.(本小題滿分14分)已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的圖像在x=1處的切線方程;(Ⅱ)求證:存在,使;(Ⅲ)對(duì)于函數(shù)與定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,b,使得和都成立,則稱直線為函數(shù)與的分界線.試探究函數(shù)與是否存在“分界線”?若存在,請(qǐng)證明,并求出k,b的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.參考答案：(Ⅰ)當(dāng)x=1時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），切線斜率為，∴此時(shí)切線方程為：……………3分(Ⅱ)由(Ⅰ)令解得令解得.知在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,令∴取則故存在使即存在使………………7分(說明:的取法不唯一,只要滿足且即可)(Ⅱ)