2021-2022學年湖南省岳陽市市第十中學高三數(shù)學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則的值為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C2.已知的展開式中的系數(shù)為，則a=（

）A.1 B. C. D.參考答案：D【分析】由題意可得展開式中x2的系數(shù)為前一項中常數(shù)項與后一項x的二次項乘積，加上第一項x的系數(shù)與第二項x的系數(shù)乘積的和，由此列方程求得a的值．【詳解】根據(jù)題意知，的展開式的通項公式為，∴展開式中含x2項的系數(shù)為a＝，即10﹣5a＝，解得a＝．故選：D．【點睛】本題主要考查了二項式定理的應用問題，利用二項式展開式的通項公式是解決此類問題的關鍵．3.若規(guī)定E=的子集為E的第k個子集，其中

，則是E的第

個子集；E的第211個子集是

.

參考答案：5，4.設函數(shù)f（x）=在區(qū)間[0，e]上隨機取一個實數(shù)x，則f（x）的值不小于常數(shù)e的概率是（）A． B．1﹣ C． D．參考答案：B【考點】幾何概型．【分析】1≤x≤e，e≤f（x）≤1+e，以長度為測度，即可求出概率．【解答】解：由題意，0≤x＜1，f（x）＜e，1≤x≤e，e≤f（x）≤1+e，∵f（x）的值不小于常數(shù)e，∴1≤x≤e，∴所求概率為=1﹣，故選B．5.如圖是一臺微波爐的操作界面.若一個兩歲小孩觸碰五個按鈕是等可能的，則他不超過兩次按鈕啟動微波爐的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B6.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2，2]表示的曲線過原點，且在x＝±1處的切線斜率均為－1，給出以下結論：①f(x)的解析式為f(x)＝x3－4x，x∈[－2，2]；②f(x)的極值點有且僅有一個；③f(x)的最大值與最小值之和等于0．其中正確的結論有A．0個

B．1個

C．2個

D．3個參考答案：CC函數(shù)圖像過原點，則c＝0，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由f′(±1)＝－1，解得a＝0，b＝－4，因此①正確；對于②，f′(x)＝0在[－2,2]上有兩個不相等的實數(shù)根，因此錯誤；又函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質可知③正確．7.函數(shù)的定義域是

（

）A．[-1，4] B．

C．[1，4]

D． 參考答案：D【知識點】函數(shù)定義域的求法；一元二次不等式的解法.

B1

E3解析：由，故選D.【思路點撥】根據(jù)函數(shù)定義域的意義，得關于x的不等式組，解此不等式組即可.8.函數(shù)y=logmx+1（m＞0，m≠1）的圖象恒過定點M，若點M在直線ax+by=1（a＞0，b＞0）上，則+的最小值為(

)A．8 B．9 C．10 D．12參考答案：B【考點】對數(shù)函數(shù)的圖像與性質．【專題】函數(shù)的性質及應用．【分析】找到定點得：a+b=1，再代入+整理利用基本不等式就能求出．【解答】解；∵y=+1恒過定點（1，1），∴把M（1，1）代入ax+by=1得：a+b=1，∴+=（a+b）（+）=5++≥5+2=9，當且僅當=時等號成立，故答案選：B．【點評】本題主要考查直線過定點問題和基本不等式的運用．考查基礎知識的綜合運用．9.已知:

,：，則的(

)

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B10.已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的一個單調遞增區(qū)間是()A.B.

C.

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)的周期為2,當時,,如果，則函數(shù)的所有零點之和為（

）16函數(shù)，給出下列命題：（1）在同一直角坐標系中，函數(shù)與的圖象關于直線對稱；（2）若，則函數(shù)的圖象關于直線對稱；（3）若，則函數(shù)是周期函數(shù)；（4）若f(x＋2)＝－f(6-x)，則函數(shù)的圖象關于點（4,0）對稱。（5）偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，則f(x)是周期函數(shù)；且f(x)的圖象關于x＝1對稱；其中所有正確命題的序號是

。參考答案：（3）（4）（5）12.若向量,,則的最大值為

.參考答案：因為向量,,所以，所以，所以的最大值為16，因此的最大值為4.13.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，則直線AM與BN所成角的余弦值為

.

參考答案：如圖，取的中點，分別連接，易知（或其補角）是異面直線與所成的角，不妨設正方體的棱長為，則，，在中，由余弦定理，得，故答案為.

14.如圖，在平行四邊形ABCD中，E和F分別在邊CD和BC上，且，若，其中，則

_________.參考答案：15.符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[π]=3，[﹣10.3]=﹣11，定義函數(shù){x}=x﹣[x]，那么下列結論中正確的序號是．①函數(shù){x}的定義域為R，值域為[0，1]；②方程有無數(shù)解；③函數(shù){x}是周期函數(shù)；④函數(shù){x}在[n，n+1]（n∈Z）是增函數(shù)．參考答案：②③【考點】函數(shù)的概念及其構成要素．【分析】此題為函數(shù)定義方面的創(chuàng)新題，【解答】①當x取整數(shù)時，{x}=0恒成立．當x∈（n，n+1）（n∈Z）時，{x}不可能取到1．{x}函數(shù)值域為[0，1）．故①不正確．②當取x=n+，且n為正整數(shù)時，{x}=x﹣[x]=n+﹣n=，故這樣的正整數(shù)n有無數(shù)多個，所以②正確．③因為{x+1}=（x+1）﹣[x+1]=x﹣[x]={x}，故函數(shù){x}是周期為1的函數(shù)．所以③正確；④函數(shù)定義域為R，取n為正整數(shù)．當x=n時，{x}=n﹣[n]=0；當x=n+1時，{x}=n+1﹣[n+1]=0；所以{x}在區(qū)間[n，n+1]（n∈Z）不是增函數(shù)．16.已知，若單位向量與共線，則向量的坐標為

參考答案：

答案：

17.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c，重心為G，若則∠A=

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，，側面PAB⊥底面ABCD，，.（1）求證：平面PBD⊥平面PAC；（2）過AC的平面交PD于點M，若平面AMC把四面體P-ACD分成體積相等的兩部分，求二面角的正弦值.參考答案：(1)證明見解析；(2)【分析】（1）先證明面，再證明，最后得到平面平面.（2）以，，為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別計算法向量，利用向量的夾角公式得到答案.【詳解】解：（1）證明：因為，則，又側面底面，面面，面，則面面，則又因為，為平行四邊形，則，又，則為等邊三角形，則為菱形，則又，則面，面，則面面（2）由平面把四面體分成體積相等的兩部分，則為中點，取中點，連接，由知由（1）知平面，以，，為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，則中點為設面的法向量為，則，可取設面的法向量為，則，可取設二面角的大小為，則，則二面角的正弦值為.【點睛】本題考查了面面垂直，二面角，通過建立空間直角坐標系可以簡化技巧，容易讓同學掌握，其計算量較大，需要同學們加強這方面的訓練.19.（本小題滿分13分）將正整數(shù)（）任意排成行列的數(shù)表.對于某一個數(shù)表，計算各行和各列中的任意兩個數(shù)（）的比值，稱這些比值中的最小值為這個數(shù)表的“特征值”.（Ⅰ）當時，試寫出排成的各個數(shù)表中所有可能的不同“特征值”；（Ⅱ）若表示某個行列數(shù)表中第行第列的數(shù)（，），且滿足請分別寫出時數(shù)表的“特征值”，并由此歸納此類數(shù)表的“特征值”（不必證明）；（Ⅲ）對于由正整數(shù)排成的行列的任意數(shù)表，記其“特征值”為，求證：.參考答案：證明：（Ⅰ）顯然，交換任何兩行或兩列，特征值不變.可設在第一行第一列，考慮與同行或同列的兩個數(shù)只有三種可能，或或.得到數(shù)表的不同特征值是或

………………3分714582369（Ⅱ）當時，數(shù)表為

此時，數(shù)表的“特征值”為

……………………4分13159101426711153481216

當時,數(shù)表為

此時，數(shù)表的“特征值”為.

………5分21161116172227121318233891419244510152025

當時,數(shù)表為

此時，數(shù)表的“特征值”為.

…………6分猜想“特征值”為.

……………7分

（Ⅲ）對于一個數(shù)表而言，這個較大的數(shù)中，要么至少有兩個數(shù)在一個數(shù)表的同一行（或同一列）中，要么這個較大的數(shù)在這個數(shù)表的不同行且不同列中.

①當這個較大的數(shù)，至少有兩個數(shù)在數(shù)表的同一行（或同一列）中時，設（）為該行（或列）中最大的兩個數(shù)，則，因為所以，從而

…………10分②當這個較大的數(shù)在這個數(shù)表的不同行且不同列中時，當它們中的一個數(shù)與在同行（或列）中，設為與在同行、同列中的兩個最大數(shù)中的較小的一個.則有.綜上可得.

………………13分20.已知函數(shù)，．（I）討論的單調性； （II）當時，證明對任意成立．參考答案：（I），…………1分若，，在上單調遞減；……2分若,令，，，，…………3分在上單調遞減，在上單調遞增…4分綜上，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.…………………5分（II）證明：設，設，

………………6分令，在上單調遞增，；………………7分令，，設，對稱軸，在上單調遞減，………8分且，所以在存在使得時，，時，.故在上單調遞增，在上單調遞減，………………9分，，………………10分，所以

………………12分21.函數(shù)f（x）=．（Ⅰ）若a=5，求函數(shù)f（x）的定義域A；（Ⅱ）設a，b∈（﹣1，1），證明：＜|1+|．參考答案：【考點】函數(shù)的定義域及其求法．【專題】函數(shù)的性質及應用；不等式的解法及應用．【分析】（Ⅰ）把a=5代入，然后由根式內部的代數(shù)式大于等于0，求解絕對值的不等式得答案；（Ⅱ）把要證的不等式轉化為2|a+b|＜|4+ab|，然后利用平方作差證得答案．【解答】（Ⅰ）解：由|x+1|+|x+2|﹣5≥0，得x≤﹣4或x≥1．∴A={x|x≤﹣4或x≥1}；（Ⅱ）證明：∵，而4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=4a2+4b2﹣a2b2﹣16=a2（4﹣b2）+4（b2﹣4）=（b2﹣4）（4﹣a2），又∵a，b∈（﹣1，1），∴（b2﹣4）（4﹣a2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，故．【點評】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查了絕對值不等式的解法，訓練了利用作差法證明不等