高一數(shù)學（滬教版2020選修第二冊）

第7章

概率初（續(xù)）7.２期望（第2課時）

２期望

隨機變量的分布體現(xiàn)的是隨機變量取值的概率分布．把概率作為權(quán)重，對隨機變量的相應取值進行加權(quán)平均后所得到的值，稱為隨機變量的期望（ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ）：定義如果隨機變量X的分布是那么它的期望定義為如下的加權(quán)平均：

例４

（１）擲一顆骰子，求擲得點數(shù)的期望；（２）擲兩顆骰子，求擲得點數(shù)和的期望解（１）擲一顆骰子，擲得點數(shù)X的期望是（２）擲兩顆骰子，擲得點數(shù)和X的分布為其期望為

其中，括號里的每一個表示每一枚硬幣拋擲的結(jié)果：正面朝（H）或者反面朝上（T）．所以，拋擲n枚硬幣的隨機試驗的樣本空間中有

個元素．事件X＝k表示“出現(xiàn)k個正面朝上”，即其中有k個H、（n－k）個T的基本事件全體．用選擇性必修課程第６章介紹的排列組合方法，X＝K這個事件含有的基本事件數(shù)為在n個位置上取k個位置放置H的組合數(shù)

X的取值范圍是K＝０，１，２，…，n，有

例５

拋擲n枚硬幣，用X表示正面朝上的硬幣數(shù)．求它的分布及期望．

解拋擲n枚硬幣是一個古典概率模型，其基本事件是有了X的分布，就可以得到X的期望，為

當K≥１時，有

由選擇性必修課程６．５節(jié)中所介紹的二項式定理，得所求的期望為

擲一顆骰子，擲得點數(shù)的期望是３．５，甚至不是一個整數(shù)，那么，期望到底有什么意義呢？實際上，期望的意義在多次重復試驗中可以明顯地體現(xiàn)出來．例如，重復擲一顆骰子n次，所得到的點數(shù)分別記為X１，X２，…，Xn，那么，當n很大時，平均點數(shù)必定逼近于期望，即成立

這個結(jié)果類似于在必修課程１２．３節(jié)中所述的伯努利大數(shù)定律隨機變量的期望是一個確定的數(shù)，它滿足下面兩個性質(zhì)．

期望的線性性質(zhì)

１．如果X是一個隨機變量，

是一個實數(shù)，那么

E［aX］＝aE［X］．２．如果X、Y是兩個隨機變量，那么

E［X＋Y］＝E［X］＋E［Y］．

性質(zhì)１的證明是容易的，性質(zhì)２的證明超出所學的知識范圍．這兩個性質(zhì)的證明這里均略去，只列出它們的結(jié)論．為了方便，我們把一個確定的常數(shù)也看作一個隨機變量，稱為常數(shù)隨機變量．常數(shù)隨機變量是確定的，沒有隨機性，它的期望等于它本身

例４（２）中求得點數(shù)之和的期望是７，這是通過分布來計算的．更方便的方法是利用期望的性質(zhì)來計算．用X１、X２分別表示擲第一顆及第二顆骰子得到的點數(shù)，那么X１＋X２就是兩顆骰子的點數(shù)之和．這樣，根據(jù)期望的線性性質(zhì)，并利用例４（１）的結(jié)果，就得到課本練習練習７．２（２）

１．拋擲４枚硬幣，用X表示正面朝上的枚數(shù)．求X的期望．

２．從一個放有大小與質(zhì)地相同的５個白球、４個黑球的罐子中不放回地摸３個球，用X表示摸到的白球數(shù)．求X的期望隨堂檢測1在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運動員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分X的期望是多少?由題意得，X的分布列為解：即該運動員罰球1次的得分X的期望是0.8.一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么2拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設出現(xiàn)的點數(shù)為X，求X的期望.由題意得，X的分布列為解：即點數(shù)X的期望是3.5.課堂練習3．盒子中裝有編號為1，2，3，4，5，6的六個球.（1）從中任意取出兩個球，求這兩個球的編號之和為偶數(shù)的概率；（2）從中任意取出三個球，記X為編號為偶數(shù)的球的個數(shù)，求X的