高一數(shù)學(xué)（滬教版2020選修第二冊）

第7章

概率初步（續(xù)）

7.３超幾何分布（第2課時）1.通過具體實例，了解超幾何分布及其均值.2.能用超幾何分布解決簡單的實際問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)

2超幾何分布再看另外一個常見的概率模型．

例３設(shè)袋中裝有大小與質(zhì)地相同的６個白球、４個黑球．現(xiàn)在依次不放回地摸５個球，用X表示摸出的白球個數(shù)．求X的分布．解首先，因為所考慮的是白球的個數(shù)，與摸球的順序無關(guān)，而且是不放回地摸球，所以從隨機性的角度講，依次摸出５個球和一次摸出５個球是一樣的．其次，由于是不放回地摸球，前面摸球的結(jié)果會影響后面摸球的結(jié)果，因此考慮問題的方法應(yīng)該不同于放回摸球的情況．所以，一般地說，其中，K的取值范圍由以下幾個條件決定：取得的白球個數(shù)不能超過n，也不能超過a；同時，取得的黑球個數(shù)不能超過b，即成立因此，如果一袋中裝有大小與質(zhì)地相同的a個白球、b個黑球，依次隨機且不放回地取n個球，用X表示其中的白球數(shù)，那么X的分布可由下式給出：

定義從一個裝有大小與質(zhì)地相同的a個白球、b個黑球的袋中隨機且不放回地取n個球，其中的白球數(shù)的分布稱為超幾何分布（ｈｙｐｅｒ-ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ）

例４計算例３中X的期望．

解我們將利用期望的性質(zhì)來進(jìn)行計算．

從裝有大小與質(zhì)地相同的a個白球、b個黑球的袋子中不放回地隨機取n個球，n不能超過總個數(shù)a＋b．用X表示其中的白球個數(shù)．這可以想象成依次取球，用XK

表示第K次取球的結(jié)果：如果是白球，XK＝１；如果是黑球，XK＝０．那么本章７．１節(jié)中例４已經(jīng)證明，抽簽概率與順序無關(guān)，所以因此從而即X的期望為取球的個數(shù)乘白球的比例．這與放回摸球情況下取得白球個數(shù)的期望是一樣的．

從二項分布的期望計算到超幾何分布的期望計算，可以看出，雖然期望和方差是用分布來定義的，但是其計算過程實際上不一定要用到分布，而只要使用期望和方差的性質(zhì)即可．二項分布和超幾何分布的區(qū)別，實質(zhì)上就是摸球模型中放回摸球和不放回摸球的區(qū)別．當(dāng)a＋b遠(yuǎn)大于n時，放回與不放回兩種情況下的分布之間差別不大，即二項分布與超幾何分布之間差別不大．課本練習(xí)練習(xí)７．３（２）

１．盒子中有大小與質(zhì)地相同的３個白球、１個黑球，若從中隨機地摸出２個球，求它們顏色不同的概率．

２．從放有６黑２白共８顆珠子的袋子中抓３顆珠子，分別求黑珠顆數(shù)X與白珠顆數(shù)Y的分布、期望與方差．

３．從一副去掉大小王牌的５２張撲克牌中任?。祻埮?，求：

（１）至少有一張黑桃的概率；

（２）至少有一個對子（兩張牌的數(shù)字一樣）的概率隨堂檢測1.一箱24罐的飲料中4罐有獎券，每張獎券獎勵飲料一罐，從中任意抽取2罐，求這2罐中有獎券的概率.

設(shè)抽出的2罐中有獎券的罐數(shù)為X，則X服從超幾何分布，從而抽取2罐中有獎券的概率為：解：2.學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會，已知有4名候選人來自甲班.假設(shè)每名候選人都有相同的機會被選到，求甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率.

設(shè)選到的4人中甲班同學(xué)的人數(shù)為X，則X服從超幾何分布，從而甲班恰有2人被選到的概率為：解：3．交5元錢，可以參加一次摸獎，一袋中有同樣大小的球10個，其中8個標(biāo)有1元錢，2個標(biāo)有5元錢，若摸獎?wù)咧荒軓闹腥稳?個球，他所得獎勵是所抽2球的錢數(shù)之和，求抽獎人所得錢數(shù)的分布列．

解設(shè)抽獎人所得錢數(shù)為隨機變量X，則X＝2，6，10.故X的分布列為4.

從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù).(1)求X的分布列與均值；(2)