紅山區(qū)2022?2023學(xué)年第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試卷

高二數(shù)學(xué)（理科）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.考生作答時(shí)，請(qǐng)將第I卷

選擇題的答案用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)用橡皮擦干凈后

重新填涂；請(qǐng)將第H卷的答案用黑色中性筆答在答題卡指定答題區(qū)域內(nèi)，在本試卷上答題

無(wú)效.考試結(jié)束后，將答題卡交回，試卷自行保留.

2.所有同學(xué)們答卷時(shí)請(qǐng)注意：

（1）題號(hào)后標(biāo)注學(xué)校的，相應(yīng)學(xué)校的學(xué)生解答；

（2）沒(méi)有標(biāo)注學(xué)校的題所有學(xué)生均需解答.

3.本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的）

1.方程（2x—3丫+&+2）2=0表示的曲線是（）.

A.一個(gè)點(diǎn)B.兩條直線C.一個(gè)圓D.兩個(gè)點(diǎn)

2.把二進(jìn)制數(shù)11%）化為十進(jìn)制數(shù)為

A.2B.7C.4D.8

3.甲、乙兩名同學(xué)12次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是

A.甲同學(xué)比乙同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，且平均成績(jī)也比乙同學(xué)高

B.甲同學(xué)比乙同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，但平均成績(jī)比乙同學(xué)低

C.乙同學(xué)比甲同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，且平均成績(jī)也比甲同學(xué)高

D.乙同學(xué)比甲同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，但平均成績(jī)比甲同學(xué)低

4.澳大利亞的心理學(xué)家MichaelWhite設(shè)計(jì)出了一種被人稱為“懷特錯(cuò)覺(jué)”的圖片.這種

圖片只有三種顏色：黑、白、灰，但大多數(shù)人都會(huì)看到四種顏色.這是因?yàn)榛疑纳珘K嵌

入了白色和黑色條紋中，從視覺(jué)上看，原本完全相同的灰色因亮度不同而仿佛變成了兩

種.某班同學(xué)用下邊圖片驗(yàn)證懷特錯(cuò)覺(jué)，在所調(diào)查的100名調(diào)查者中，有55人認(rèn)為圖中有

4種顏色，有45人認(rèn)為圖中有3種顏色，而在被調(diào)查者所列舉的顏色中，有40人沒(méi)有提

到白色（他們認(rèn)為白色是背景顏色，不算在圖片顏色之中），根據(jù)這個(gè)調(diào)查結(jié)果，估計(jì)在人

群中產(chǎn)生懷特錯(cuò)覺(jué)的概率約為

A.0.45B.0.55C.0.05D.0.95

5.命題“存在實(shí)數(shù)x,使X〉l”的否定是

A.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有X>1B.不存在實(shí)數(shù)x,使XW1

C.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有XW1D.存在實(shí)數(shù)x,使

6.己知x,y的取值如表所示:

X234

y645

A13八

如果y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為方=灰+則6等于

1111

A.一B.-C.——D.

221010

7.如圖所示的算法源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該算法

框圖，若輸入的°、6分別為36、96,則輸出的。=

A.0B.8C.12D.24

8.（四中）從單詞“equation”中選取5個(gè)不同的字母排成一排，含有q、u（其中q、u相

連）的不同排法共有

A.120種B.480種C.720種D.960種

8.（實(shí)驗(yàn)）已知空間四邊形?！?8C,點(diǎn)/，N分別是6C的中點(diǎn)，且。/=G,

OB=b,OC=c,用b,5表示向量拓？為

1_1r1-

A.—a+—b+—cB.-a--b+-c

222222

c1-1E1-

C.—a+—b+—cD.--a+-b--c

222222

9.希爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家希爾賓斯基在1915年提出，先作一個(gè)正

三角形，挖去一個(gè)“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形），然后在剩

下的小三角中又挖去一個(gè)“中心三角形”，我們用白色代表挖去的面積，那么黑三角形為剩

下的面積（我們稱黑三角形為希爾賓斯基三角形）.在如圖第3

個(gè)大正三角形中隨機(jī)取點(diǎn)，則落在黑色區(qū)域的概率

(1)(2)(3)

10.已知拋物線C:y2=8x焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△PO9的面

積為2,則歸可等于

57

A.—B.3C.—D.4

22

11.若直線y=x+b與曲線y=，4一/有公共點(diǎn),則6的取值范圍為

A.[-2,2]B.[-2,2回C.[-2祀,2旬D.卜2,2夜)

/、XH--

12.（四中）函數(shù)/（x）=,x關(guān)于X的方程/2（x）+"（x）+c=0有5個(gè)不

0,x=0

等的實(shí)數(shù)根的充要條件是

A.6<—2且。>0B.A>-2Mc<0

C.6<-2且c=0D.6之一2且c=0

12.（實(shí)驗(yàn)）/（x）=x2-2x,g（x）=QX+2（Q>0）,若對(duì)任意的王e[—1,2],存在

/w[-1,2],使g（xj=/'（xo）,則a的取值范圍是

A.1。,,B.—,3C.[3,+8）D.（0,3]

第II卷（非選擇題，共90分）

二、填空題（共4小題，每小題5分，本題共20分.請(qǐng)把正確答案填在答題卡中相應(yīng)題號(hào)

的橫線上）

13.某中學(xué)有高中生3500人，初中生1500人，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方

法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為100的樣本，則應(yīng)從高中生中抽取人.

14.（四中）（x—L）的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是.（用數(shù)字作答）

14.（實(shí)驗(yàn)）圓產(chǎn)+》2-28一5=0和圓*2+>>2+2%一4丁一4=0的交點(diǎn)為4,B,則線段

AB的垂直平分線的方程為.

15.在正方體中M、N分別為NO,G2的中點(diǎn)，。為側(cè)面

8CG4的中心，則異面直線施V與OR所成角的余弦值為.

16.（四中）已知雙曲線C:下一*=1（。>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,點(diǎn)、P

為雙曲線C右支上一點(diǎn)，直線P片與圓/+/=/相切，且NF]PF2=NPFR，則雙曲

線C的離心率為.

X2v2

16.（實(shí)驗(yàn)）雙曲線——Z=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，居，尸為雙曲線右支上一點(diǎn)，/

16912

是片用的內(nèi)心，且S△企念=SIPF<-AS班F,，則彳=.

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）

已知p:—2<a<2,q：關(guān)于x的方程—一X+。=0有實(shí)數(shù)根.

（1）若4為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若pvq為真命題，「q為真命題，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

18.（本小題滿分12分）

求解下列問(wèn)題:

（1）求過(guò)直線X—y—5=0與直線x+y—3=0的交點(diǎn)，且與直線3x-4y+6=0平行的

直線方程；

（2）求以點(diǎn)（1,2）為圓心，與直線4x+3_y-35=0相切的圓的方程.

19.（本小題滿分12分）

開(kāi)學(xué)初某校進(jìn)行了一次摸底考試，物理老師為了了解自己所教的班級(jí)參加本次考試的物理

成績(jī)的情況，從參考的本班同學(xué)中隨機(jī)抽取〃名學(xué)生的物理成績(jī)（滿分100分）作為樣本,

將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析整理后畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示，已知抽取的學(xué)生中成績(jī)?cè)?/p>

［50,60）內(nèi)的有3人.

（1）求〃的值：

（2）已知抽取的〃名參考學(xué)生中，在［90,100］的人中，女生有甲、乙兩人，現(xiàn)從

［90,100］的人中隨機(jī)抽取2人參加物理競(jìng)賽，求女學(xué)生甲被抽到的概率.

20.（本小題滿分12分）

某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)

院抄錄了1至6月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料:

1月102月103月104月106月10

日期5月10日

HB日日B

晝夜溫差X（℃）

1011131295

就診人數(shù)y（人

222529261614

數(shù)）

（1）求出y關(guān)于x的線性回歸方程￡=宸+4；

（2）如果7月10號(hào)晝夜溫差為8℃,預(yù)測(cè)因患感冒而就診的人數(shù)（結(jié)果四舍五入保留整

數(shù)）.

附：回歸方程？=Bx+d中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:

E(x/-J)(x--J)E七乂一〃百

A=---------------=月-------------,a=y-hx.

為(％-亍丫￡x；-府2

/=!/=!

21.(本小題滿分12分)

如圖，四邊形/8CD為正方形，E,尸分別為NO,5c的中點(diǎn)，以。E為折痕把

C折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PRJ-BE.

（1）證明：平面PE/7J_平面25尸。；

（2）求。。與平面/6ED所成角的正弦值.

22.（四中）（本小題滿分12分）

己知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)1,—,直線/與橢圓交于4B兩

I2）

點(diǎn)（48兩點(diǎn)不是左、右頂點(diǎn)），當(dāng)直線/的斜率為，時(shí)，弦Z8的中點(diǎn)。在直線

2

1,

V=——X上.

2

（1）求橢圓C的方程；

（2）若以線段Z8為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，判斷直線/是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求

出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.（實(shí)驗(yàn)）（本小題滿分12分）

四個(gè)點(diǎn)6(1,1),6(0/)，月-1,^-,

7

（1）求橢圓C的方程;

（2）設(shè)直線/:y=區(qū)+機(jī)（〃［工1）與橢圓C相交于4,B兩點(diǎn).若直線鳥(niǎo)/與直線鳥(niǎo)3的

斜率的和為-1,判斷直線/是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

紅山區(qū)2022?2023學(xué)年第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試卷

高二數(shù)學(xué)（理科答案）

一、選擇題

123456789101112

四中D四中c

ABCDCACBAB

實(shí)驗(yàn)C實(shí)驗(yàn)A

二、填空題

13.7014.（四中）-20（實(shí)驗(yàn)）x+y-l=0

14

15.一16.（四中）-（實(shí)驗(yàn)）一

635

1.【答案】A

3

2x—3=0x——

【解析】由已知得，解得彳2，

y+2=0|歹=-2

所以方程表示一個(gè)點(diǎn)（g,-2

2.【答案】B

【解析】lU”\=lx22+lx2i+l=7.故選：B.

3.【答案】C

【解析】由莖葉圖的性質(zhì)可知乙同學(xué)比甲同學(xué)發(fā)揮穩(wěn)定，且平均成績(jī)比甲同學(xué)高.

4.【答案】D

【解析】因?yàn)樵谒{(diào)查的100名調(diào)查者中，55人認(rèn)為圖中有4種顏色，有45人認(rèn)為圖中

有3種顏色，而在被調(diào)查者所列舉的顏色中，有40人沒(méi)有提到白色（他們認(rèn)為白色是背景

顏色，不算在圖片顏色之中），

所以100名調(diào)查者中，產(chǎn)生懷特錯(cuò)覺(jué)的人數(shù)為55+40=95,

因此估計(jì)在人群中產(chǎn)生懷特錯(cuò)覺(jué)的概率約為一=0.95.

100

故選：D

5.【答案】C

【解析】利用存在量詞命題的否定是全稱量詞命題求解.

“存在實(shí)數(shù)X,使x>l”的否定是“對(duì)任意實(shí)數(shù)X,都有x<l”.故選C.

6.【答案】A

2+3+46+4+5

【解析】,.%==3,y=5,

AIS

回歸直線過(guò)點(diǎn)（3,5）,二5=36+萬(wàn),

6=--.故選A.

2

7.【答案】C

【解析】第一步：初始值。=36,6=96；此時(shí)a/b；進(jìn)入循環(huán)；

第二步：a=36<96,計(jì)算6=96—36=60,此時(shí)36/60,進(jìn)入循環(huán)；

第三步：a=36<60,計(jì)算6=60—36=24,此時(shí)36*24,進(jìn)入循環(huán)；

第四步：a=36>24,計(jì)算。=36—24=12,此時(shí)12H24,進(jìn)入循環(huán)；

第五步：a=12<24,計(jì)?算6=24-12=12,此時(shí)12=12,結(jié)束循環(huán)，輸出a=12.

故選：C.

8.（四中）【答案】D

8.（實(shí)驗(yàn)）【答案】C

【解析】如圖所示，連接ON,AN,

0

而△侔+反）」g+e）,

麗=；軟+存）=；胸—2而+礪）=；G2/+B+H）=—

所以麗=，側(cè)+而）=-12+43+1了.故選c.

2、7222

9.【答案】B

【解析】解：由題意可知：每次挖去的面積為前一個(gè)三角形剩下面積的工，不妨設(shè)第一個(gè)

4

三角形的面積為1.

.?.第三個(gè)三角形的面積為1.

則陰影部分的面積之為（1-*1-；卜看，

2

第3個(gè)大正三角形中隨機(jī)取點(diǎn)，則落在黑色區(qū)域的概率：m=2.

116

故選：B.

10.【答案】A

【解析】由己知得尸（2,0）,設(shè)Pg,%）,則;2閭=2,

所以尻|=2,于是/=；，于是陽(yáng)=/+勺g.

11.【答案】B

【解析】由歹二54-X?可得/+V=4（、20）,表示圓心（0,0）,〃=2的半圓,

當(dāng)y=x+b經(jīng)過(guò)（2,0）時(shí)，此時(shí)6=-2；

當(dāng)y=x+b與此半圓相切時(shí)，r=2=上上竺以=6=20,

作出半圓與直線的圖象如下,

由圖象可知，要使直線歹=x+b與曲線^=，二彳有公共點(diǎn)，則2,2&].

故選：B

12.(四中)【答案】C

【解析】當(dāng)x=0時(shí)/(x)=0,

當(dāng)x=0為/2(x)+bf\x)+c=0的一個(gè)根時(shí)可得c=0.

所以/2(》)+"?(x)+c=O,即/2(x)+勿(x)=0有4個(gè)不同的根，

???/'(x)￥0,.../卜)=一6有4個(gè)根.

"星卜兇+小2郵=2,

xH0時(shí),圖象如圖所示:

由圖可知一6>2=>6<-2.

綜上可得6<-2,c=0.

故選：C.

12.(實(shí)驗(yàn))

【答案】A

【解析】函數(shù)/(x)=x2_2x=(x—l)2-1,

因?yàn)閤w[-l,2],所以/(x)在[-1,2]的值域?yàn)閇-1,3],

函數(shù)g(x)=ax+2(a>0)在[-1,2]的值域?yàn)閇2-a,2+2a],

因?yàn)閷?duì)任意的演e[—1,2],存在玉)￡[一1,2],使g(xj=/(xo),

所以[2-a,2+2“k[—l,3],

2-a>-1

所以12+2〃43,解得故選：A.

2

a>0

13.【答案】70

14.（四中）【答案】-20

【解析】（x—展開(kāi)式的通項(xiàng)為籌+1=。：（一I）'/”"r=0,1,-??,6,

令6—2r=0nr=3,所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為C；x（-1）3=-20.

14.（實(shí)驗(yàn)）【答案】x+y-1=0

【解析】將》2+/—2x—5=0化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x—17+/=6,其圓心是（1,0）.

兩圓的方程相減得公共弦AB所在直線方程為4x-4y+1=0.

又線段48的垂直平分線就是過(guò)兩圓圓心的直線，且其斜率為-1,

故所求直線方程為y-0=—（x+l）,即x+y—1=0.

15.【答案】-

6

【解析】如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,DC,所在直線為x,y,z軸建立空

間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則“（1,0,0）,N（0,l,2）,0（1,2』），0（0,0,2）,

：.MN=（-1,1,2）,西=（-1,_2,1）.

則n.c°/-?"n）=畫(huà)MN,西OD1=而1寸1?

異面直線MN與OD、所成角的余弦值為7.

6

16.（四中）【答案】-

3

【解析】如圖，/?\

設(shè)直線尸耳與圓f+j?=/相切于點(diǎn)則Q河|=a,OMLPFt,

取產(chǎn)”的中點(diǎn)N,連接NR,

由NRPg=/尸7工，可得|P段=|片段=2c,

則片，加。|=|州|,

^\NF2\=2\OM\=2a,

貝“NP|=J|明2T附2=1噸—吟=2b,即有歸凰=劭，

由雙曲線的定義可得|咫|一|「閭=2a,即：4b-2c=2a,2b=c+a,

可得4b2=（c+a）2,即4（?一/）=?+4）2,解得￡=：,即e=g.

4

16.（實(shí)驗(yàn)）【答案】一

5

【解析】如圖，設(shè)△/與巴內(nèi)切圓的半徑為，?.

由工倏=5IPF、-入S小丙，得5，|尸閭"=5，|尸片卜一,出工卜廠,

整理得|尸41Tp用=4片段.

因?yàn)镻為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以|戶用一忸用=24=8,忻用=10,

84

所以/［=-=—.

105

三、解答題

17.（本小題滿分10分）

【解析】（1）???方程-x+a=0有實(shí)數(shù)根，得：q:A=l-4a20,^a＜-.

4

（2）,.,pvq為真命題，一＞夕為真命題，

—2＜。＜2

???夕為真命題，q為假命題，即得‘1，得

a＞—4

4

18.（本小題滿分12分）

3

【解析】（1）交點(diǎn)（4,—1）,因?yàn)?%一4歹+6=0的斜率為7，

故所求直線的方程為y+l=G（x-4）,即3x—4y—16=0.

（2）半徑r=Rxl：3x2—35|=5,又圓心（12）.

圓的方程為（x—廳+（尸2）2=25.

19.（本小題滿分12分）

【解析】（1）由頻率分布直方圖知，成績(jī)?cè)冢?0,60）內(nèi)的頻率為

1-（0.0400+0.0300+0.0125+0.0100）x10=0.075.

因?yàn)槌煽?jī)?cè)冢?0,60）內(nèi)的頻數(shù)為3,

所以抽取的樣本容量〃=J—=40.

0.075

（2）由頻率分布直方圖知，抽取的學(xué)生中成績(jī)?cè)冢?0,100］的人數(shù)為0.0100x10x40=4,

因?yàn)橛屑?、乙兩名女生，所以有兩名男?

用/,8表示兩名男生，從4人中任取2人的所有情況為甲乙，甲4甲8,乙Z,乙B,

AB,共6種，其中女學(xué)生甲被抽到的情況共3種.

31

所以隨機(jī)抽取2人參加物理競(jìng)賽，其中女學(xué)生甲被抽到的概率為一=

62

20.（本小題滿分12分）

【解析】（1）Vx=10,歹=22,

八3939

由公式可求得6=二=1.95,a=22-—xl0=2.5,

2020

.??回歸直線方程是y=1.95x+2.5.

（2）當(dāng)x=8時(shí)，y—1.95x8+2.5=18.1?18,

,如果7月10號(hào)晝夜溫差為8℃,預(yù)測(cè)因患感冒而就診的人數(shù)約為18人.

21.（本小題滿分12分）

【解析】（I）由己知可得,BFLEF,

又PFcEF=F,J_平面QEE.

又B/u平面b。，...平面PE尸，平面

（H）作P”工EE,垂足為H.

由（I）得，PH上平面4BFD.

以”為坐標(biāo)原點(diǎn)，而的方向?yàn)閥軸正方向，|礪|為單位長(zhǎng),

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系〃-盯z.

由（I）可得DELPE.

又DP=2,DE=l,:.PE=6

/a3

又PF=1,EF=2,：.PEA.PF,：.PH=—,EH=-,

22

則“(0,0,0),pfo.o,

麗=卜,9,1],HP=[0,0,3]為平面Z6ED的法向量.

I22)I2)

設(shè)。尸與平面ABFD所成角為8,

_一3

則sin。=cos(DP,UP)==與=3

1'71DP^HPV34

DP與平面ABFD所成角的正弦值為—.

4

22.（四中）（本小題滿分12分）

丫2V2

【解析】（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為與+彳=1（?！?〉0）,

ab

/（X]，x）,B（x2,y2）.

因?yàn)橹本€/的斜率為g時(shí)，弦Z8的中點(diǎn)。在直線^=—gx上,

所以!!_』=!乂+8=1

x}-x22xx+x22

x：+y'

/5俎22

由＜HF二,所以/=4〃.①

22侍

五+匹=1a

b2

因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)1,—,所以=+二=1.②

[2）a24h2

由①②得a=2,6=1,

2

所以橢圓C的方程為二+/=1.

4-

（2）易得橢圓的右頂點(diǎn)為4（2,0），AA21BA2.

①當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為x=/（-2<x0<2）,

此時(shí)要使以Z8為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，

則有Jl-g=[2一,解得或%=2（舍去）,

此時(shí)直線/的方程為x=：.

②當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為丁=依+從

因?yàn)锳A2?BA2=0,所以4+xxx2-2（^+/）+NM=。，

將必=+b,y2=kx2^b代入并整理

得/2+1）演工2+（粕-2）（再+工2）+/+4=0.