2022衡水名師原創(chuàng)數學專題卷

專題十五《概率》

考點47：古典概型、幾何概型（1-6題，9題，13,14題）

考點48：事件的獨立性與條件概率（7題，15題，19題）

考點49：獨立重復試驗與二項分布、正態(tài)分布（9-12題，18題，20題，22題）

考點50：離散型隨機變量的分布列、期望與方差（8題，11,12題，16題，17題，19題,

21,22題）

試時間：120分鐘滿分：150分

說明：請將選擇題正確答案填寫在答題卡上，主觀題寫在答題紙上

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。）

1.設O為正方形"88的中心，在0,4民C,。中任取3點，則取到的3點共線的概率為（）

A.lB.2C，1D.1

5525

2.從3名男生和1名女生中選出2人去參加社會實踐活動，則這名女生被選中的概率是（）

A.1B.1C.-D.2

3234

3.在1,2,3,6這組數據中隨機取出3個數,則數字2是這3個不同數字的平均數的概率是（）

A.lB，1C.lD.2

4324

4.如圖，邊長為2的正方形中有一陰影區(qū)域，在正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)

域內的概率為2.則陰影區(qū)域的面積約為（）

3

D.無法計算

5.如圖，若在矩形0/5C中隨機撒一粒豆子，則豆子落在圖中陰影部分的概率為（）

22C22

A.1--B.上D.1

71兀,7

6.已知正方體力BCD-481GA的棱長為1，則在該正方體內任取一點M，則其到頂點力

的距離小于1的概率為（）

7Te兀-3兀e兀

A.—B.—C.—D.-

2412326

7.盒內有5個紅球、11個藍球，紅球中有2個玻璃球、3個塑料球，藍球中有4個玻璃球、

7個塑料球，假設每個球被摸到的可能性相同，現從中任取一球，若己知取到的球是玻璃

球，則它是藍球的概率是（）

A.-2B.11C.I-D.3士

3344

8.已知某離散型隨機變量X的分布列為

X0123

P84m1

27927

則X的數學期望以町=（）

23

A.rB.1C.-D.2

32

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。）

9.下列結論正確的有（）

A.公共汽年上有10位乘客，沿途5個車站，乘客下車的可能方式有ips種.

B.兩位男生和兩位女生隨機排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是J_;

2

C.若隨機變量X服從二項分布x?夕5,；），則=

D.已知一組數據丟失了其中一個，剩下的六個數據分別是3,3,5,3,6,11,若這組數

據的平均數、中位數，眾數依次成等差數列，則丟失數據的所有可能值的和為12.

10.下面給出了關于正態(tài)曲線的4個說法，其中正確的說法是（）

A.曲線在x軸上方且與x軸不相交；

B.當X>H時，曲線下降，當x<〃時，曲線上升

C.當〃一定時，越小，總體分布越分散，越大，總體分布越集中；

D.曲線關于直線工=〃對稱，且當x=〃時位于最高點.

11.隨機變量X服從正態(tài)分布N（90,52），則下述正確的是（）

A.E（X）=90B.O（X）=5

C.P（X>100）=尸（X<80）D.P（X>100）>P（X<100）

12.江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地鐵加步行.江先生從家到公交站

或地鐵站都要步行5分鐘.公交車多且路程近一些，但乘坐公交路上經常擁堵，所需時間Z（單

位:分）服從正態(tài)分布N（33.42），下車后從公交站步行到單位要12分鐘;乘坐地鐵暢通，但路線

長且乘客多，所需時間Z（單位:分）服從正態(tài)分布N（44,2Z），下地鐵后從地鐵站步行到單位要5

分鐘.從統(tǒng)計的角度看，下列說法合理的是（）

參考數據:若z?N（4，cr2），貝1P（4-b<Z<;/4-cr）?0.6827，尸（〃-2cr<Z<//+2（T）?0.9545，

P（JLI-3cr<Z</z+3cr）?0.9973.

A.若8:00出門，則乘坐公交上班不會遲到

B.若8:02出門，則乘坐地鐵上班不遲到的可能性更大

C.若8:06出門，則乘坐公交上班不遲到的可能性更大

D.若8:12出門,則乘坐地鐵上班幾乎不可能不遲到

第II卷（非選擇題）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）

13.某學校有兩個食堂，甲、乙、丙三名學生各自隨機選擇其中的一個食堂用餐，則他們在

同一個食堂用餐的概率為.

14.如圖所示的三角形稱為希爾賓斯基三角形，現分別從圖（2）和圖（3）中各隨機選取一個點，則

此兩點均取自陰影部分的概率為

▲▲

▲▲

▲▲▲▲

▲▲▲▲

▲A盒▲▲▲▲▲▲▲▲

（1）（2）（3）（4）

15.甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時;該隊獲勝，決賽

結束）.根據前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場

取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以4：1獲勝

的概率是.

16.隨機變量0的取值為若p代=0）=（E圖=1,則。偌）=

四、解答題（本題共6小題，共70分。）

17.（本題滿分10分）拋擲一枚質地均勻的硬幣2次，記正面朝上的次數為X.

（1）求隨機變量X的分布列；

（2）若隨機變量y=2X+i，求隨機變量y均值、方差.

18.（本題滿分12分）第7屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行,

賽期10天，共設置射擊、游泳、田徑、籃球等27個大項，329個小項.共有來自100多個

國家的近萬名現役軍人同臺競技.前期為迎接軍運會順利召開，武漢市很多單位和部門都開

展了豐富多彩的宣傳和教育活動，努力讓大家更多的了解軍運會的相關知識，并倡議大家

做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對軍運會知識的知曉情況，在全市開展了網上問

卷調查，民眾參與度極高，現從大批參與者中隨機抽取200名幸運參與者，他們得分（滿

分100分）數據，統(tǒng)計結果如下：

組別

[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數5304050452010

（1）若此次問卷調查得分整體服從正態(tài)分布，用樣本來估計總體，設〃.分別為這200人

得分的平均值和標準差（同一組數據用該區(qū)間中點值作為代表），求〃Q的值（〃口的值

四舍五入取整數），并計算尸（51<X<93）；

（2）在（1）的條件下，為感謝大家參與這次活動，市體育局還對參加問卷調查的幸運市

民制定如下獎勵方案：得分低于〃的可以獲得1次抽獎機會，得分不低于〃的可獲得2次

抽獎機會，在一次抽獎中，抽中價值為15元的紀念品A的概率為2,抽中價值為30元的

3

紀念品B的概率為L現有市民張先生參加了此次問卷調查并成為幸運參與者，記丫為他參

3

加活動獲得紀念品的總價值，求丫的分布列和數學期望.

尸（〃—b<XW〃+b）*0.6827P（/J-25<X<^i+2S）^0.9545

（參考數據：；；

-33<XW4+3b卜0.9973

?）

19.（本題滿分12分）空氣質量指數P”2.5（單位：〃g/n?）表示每立方米空氣中可入肺

顆粒物的含量，這個值越高，就代表空氣污染越嚴重：

PM2.50?3535?7575?115115?150150~250>250

日均濃度

空氣質量級別一級二級三級四級五級六級

空氣質量類型優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染

甲、乙兩城市2020年5月份中的15天對空氣質量指數尸用2.5進行監(jiān)測，獲得尸例2.5日均

濃度指數數據如莖葉圖所示:

2。4

5

4

697

807

1809

(1)根據你所學的統(tǒng)計知識估計甲、乙兩城市15天內哪個城市空氣質量總體較好？并簡

要說明理由.

(2)在15天內任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質量類別均為優(yōu)或良的概率：

(3)在乙城市15個監(jiān)測數據中任取2個，設X為空氣質量類別為優(yōu)或良的天數，求X

的分布列及數學期望.

20.(本題滿分12分)某工廠生產某種電子產品，每件產品不合格的概率均為0,現工

廠為提高產品聲譽，要求在交付用戶前每件產品都通過合格檢驗，已知該工廠的檢驗儀器

一次最多可檢驗5件該產品，且每件產品檢驗合格與否相互獨立.若每件產品均檢驗一

次，所需檢驗費用較多，該工廠提出以下檢驗方案：將產品每k個(后45)一組進行

分組檢驗，如果某一組產品檢驗合格，則說明該組內產品均合格，若檢驗不合格，則說明

該組內有不合格產品，再對該組內每一件產品單獨進行檢驗，如此，每一組產品只需檢驗

1次或1+%次.設該工廠生產1000件該產品，記每件產品的平均檢驗次數為

(1)求X的分布列及其期望；

(2)(i)試說明，當P越小時，該方案越合理，即所需平均檢驗次數越少；

(ii)當p=0.1時，求使該方案最合理時k的值及100。件該產品的平均檢驗次數.

21.(本題滿分12分)隨著經濟的發(fā)展，個人收入的提高。自2018年10月1日起，個人所

得稅起征點和稅率的調整。調整如下：納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減除

5000元后的余額為應納稅所得額。依照個人所得稅稅率表，調整前后的計算方法如表：

個人所得稅稅率表(調整前)個人所得稅稅率表(調整后)

免征額3500元免征額5000元

級全月應納稅所得額稅率級全月應納稅所得額稅率

數(%)數(%)

1不超過1500元的部分31不超過3000元的部分3

2超過1500元至4500元的102超過3000元至12000元的10

部分部分

3超過4500元至9000元的203超過12000元至25000元的20

部分部分

??????.???a???????

（1）假如小李某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記x表示總收入，y

表示應納的稅，試寫出調整前后y關于x的函數表達式;

（2）某稅務部門在小李所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個不同層次員工的稅前收入,

并制成下面的頻數分布表：

收人[3000,5000)[5000,7000)[7000,9000)[9000,11000)[11000,13000)[13000,15000)

（元）

人數304010875

①先從收入在［3000,5000）及［5000,7000）的人群中按分層抽樣抽取7人，再從中選4人作為

新納稅法知識宣講員，用a表示抽到作為宣講員的收人在［3000,5000）元的人數，6表示抽到

作為宣講員的收入在［5000,7000）元的人數，隨機變量Z=|4_b|，求Z的分布列與數學期

望；

②小李該月的工資、薪金等稅前收入為7500元時，請你幫小李算一下調整后小李的實際收

人比調整前增加了多少？

22.（本題滿分12分）為進一步深化“平安校園”創(chuàng)建活動，加強校園安全教育宣傳,某高中

對該校學生進行了安全教育知識測試（滿分100分），并從中隨機抽取了200名學生的成績，經

過數據分析得到如表所示的頻數分布表，并繪制了得分在［30,40）以及［90,100］的莖葉圖，分

別如圖1、2所示.

成績[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數5304050452010

@正岫有

901122358

03588

3w00

圖1圖2

（1）求這200名同學得分的平均數;（同組數據用區(qū)間中點值作代表）

（2）如果變量X滿足尸2<r<X<〃+2。）>0,9544且尸（〃一3<T<X<〃+3b）>0.9974，則

稱變量X"近似滿足正態(tài)分布N仇,，）的概率分布”。經計算知樣本方差為210,現在取“

和,分別為樣本平均數和方差，以樣本估計總體，將頻率視為概率,如果該校學生的得分“近

似滿足正態(tài)分布的概率分布”，則認為該校的校園安全教育是成功的，否則視為

不成功。試判斷該校的安全教育是否成功，并說明理由。

（3）學校決定對90分及以上的同學進行獎勵，為了體現趣味性，采用抽獎的方式進行，其

中得分不低于94的同學有兩次抽獎機會，低于94的同學只有一次抽獎機會，每次抽獎的

獎金及對應的概率分別為:__________________________________________________________

獎金50100

概率3414

現在從不低于90同學中隨機選一名同學，記其獲獎金額為g,以樣本估計總體，將頻率視為

概率，求J的分布列和數學期望.（參考數據：7210?14.5）

參考答案及解析

L答案：A

解析：根據題意作出圖形，如圖所示，在0,4BC。中任取3點，有10種可能情況,

分別為(O/8),(Q4C),(Q4D),(Q8C)(OBD)(OCD)(ABC)(ABD)(ACD)(BCD)，其中取到的

3點共線有(Q/C)和(080)2種可能情況，所以在。，4BC。中任取3點，則取到的3

2.答案：B

解析：基本事件總數為盤=6(種)，這名女生被選中的有0：=堤=3(種)故概率

413

62

3.答案：A

解析：在1,2,3,6這組數據中隨機取出3個數，基本事件總數有4個,分別為

(1,2,3),(1,2,6),(1,3,6),(2,3,6)，數字2是這3個不同數字的平均數所包含的基本事件只有

(1,2,3),共1個，所以數字2是這3個不同數字的平均數的概率是」.故選A.

4

4.答案：A

解析：正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內的概率，2=塌儂生=2,又???

S正方形3

SM形=4..與彩部產能選：A

5.答案：A

解析：$矩形=兀柄xdx=cesx￡=(eos7tcos-0)2=,‘與影=也，故豆子落在圖中陰

影部分的概率為上工=1-2.故選：A.

nit

6.答案：D

解析：由題意知，正方體的體積憶=1，其中滿足的區(qū)域是以力為球心，1為半徑

的球的L其體積為1級兀k3=_,所以所求概率為工

88366

7.答案：A

解析：記”取得籃球”為事件A,“取得玻璃球”為事件B,則已知取到的球為玻璃球,它時籃

球的概率就是B發(fā)生的條件下發(fā)生的概率記作P(A\B)

因為P(/8)=—=P(S)=-=-

164168

所以P(*8)=里坦=2

P(B)3

故選A

8.答案：B

解析：由題意可得：A+i+w+-L=i.

27927

日

可-r，得加=—2.

9

￡(X)=Ox—+lx-+2x-+3x—=1

279927

故選：B.

9.答案:BD

解析：解：對于A：公共汽年上有10位乘客，沿途5個車站，則每個乘客由5種下車的方

式，則根據分步乘法計數原理可得乘客下車的可能方式有下。種，故A錯誤；

對于B：兩位男生和兩位女生隨機排成一列共有人：=24（種）排法：兩位女生不相鄰的排法

有A；A；=12（種），故則兩位女生不相鄰的概率是即B正確;

2

對于C：若隨機變量*服從二項分布X?8（5」），則

37

P(尸寸P(X=2)+/(X=3)=C；故

C錯誤；

對于D：設這個數字是”,則平均數為31+x,眾數是3,若石'3,則中位數為3,此時

7

x=一10，

若3<x<5,則中位數為“,此時2》=31+.3,X=4,

7

若則中位數為1+所有可能值為7°，其和為

x"4,5,2X5^--+3>"=18,4,18,

7

12.

故D正確；

故選：BD.

10.答案：ABD

解析：根據正態(tài)曲線的性質知：正態(tài)曲線關于直線對稱，故A正確；

當x<〃曲線上升，當時曲線下降；B正確；

〃一定時，。越小，曲線越“瘦高”，表示取值越集中，故C不正確；

曲線關于x=〃對稱，D正確.

故答案為：ABD

11.答案：AC

解析：由隨機變量X服從正態(tài)分布N(90,52)，

所以4=90，<7=5，

所以E(X)=90，D(X)=25>故A正確；B錯誤；

根據正態(tài)分布密度曲線的對稱性，

P(X〉100)=P(X<80)，

P(X<100)=P(X<80)+尸(80<X<100)>

即P(X<100)=P(X>100)+P(80<X<100)

所以P(X>100)<P(X<100)-

故c正確；D錯誤；

故選：AC.

12.答案:CD

解析：對于選項A,江先生乘坐公交的時間不大于43分鐘才不會遲到，因為

P(Z<43)<P(Z<45)，且P(33-12<Z<33+12)?0.9973，所以

P(Z<43)<P(Z<45)?0.5+0,5x0.9973?0.9987,所以“江先生上班遲到“還是有可能發(fā)生

的，所以選項A不合理;對于選項B,若江先生乘坐地鐵上班,則其乘坐地鐵的時間不大于48分

鐘才不會遲到，因為尸(44-4<Z<44+4)?0.9545，所以

P(Z<48)=0.5+0,9545x0,5=0,9773，所以“江先生8:02出門，乘坐地鐵上班不遲到”發(fā)生

的可能性約為0.9773,若江先生乘坐公交上班,則其乘坐公交的時間不大于41分鐘才不會遲

到，因為尸(33-8<Z<33+8)?0.9545，所以尸(Z<41)?0.5+0.9545x0.5?0.9773，所以“江

先生8:02出門，乘坐公交上班不遲到”發(fā)生的可能性約為0.9773,二者可能性一樣，所以選項

B不合理;對于選項C,若江先生乘坐公交上班,則其乘坐公交的時間不大于37分鐘才不會遲

到，因為尸(33-4<Z<33+4)?0.6827,所以P(Z437)*0.5+0.5x0.6827x0.8414,所以“江

先生8:06出門，乘坐公交上班不遲到”發(fā)生的可能性約為0.8414,若江先生乘坐地鐵上班，則

其乘坐地鐵的時間不大于44分鐘才不會遲到，因為p(z<44)=0.5，所以“江先生8:06出門，

乘坐地鐵上班不遲到”發(fā)生的可能性約為05，又08414>0,5所以選項C是合理的;對于選項

D,江先生乘坐地鐵的時間不大于38分鐘才不會遲到,因為尸(44-6<Z<44+6)?0.9973，所

以P(Z438)=(1-0.9973)x0.5=0.0014,所以“江先生8:12出門，乘坐地鐵上班不遲到”發(fā)生

的可能性非常小，所以選項D合理,所以選CD.

13.答案：1

4

解析：由題意，三名學生各自隨機選擇兩個食堂中的一個用餐的情況共有2X2X2=8

(種)，其中他們在同一個食堂用餐的情況有2種，根據古典概型概率的計算公式得，所

求概率為2=_L.

84

14.答案：工

64

解析：依題意，設圖①陰影面積為1,設圖”的陰影面積為Sj則$=1，

則圖②陰影為圖①面積的3,$2=3，

圖③陰影為圖②面積的=32=2,

44416

分別從圖(2)和圖(3)中各隨機選取一個點，則此兩點均取自陰影部分的概率為3.2=義，

41664

故答案為：

64

15.答案:0.18

解析：甲隊以4:1獲勝，甲隊在第5場(主場)獲勝，前4場中有一場輸.

若在主場輸一場，則概率為2x0.6x04x0.5x0,5x0.6；

若在客場輸一場，則概率為2x0,6x0,6x0,5x0,5x0,6-

甲隊以4:1獲勝的概率p=2x0.6x0.5x0.5x(0.6+0.4)x0.6=0.18

16.答案：2

5

解析：本題主要考查方差與概率.

己知產(g=o)=g,設尸抬=D=x,P偌=2)=兒

故￡*@=0x[+lxx+2xy=x+2y=l,

171

又因為g+x+y=l,所以x=g,y=-,

故。⑷=3(0-1)2+|X(17)2+3(2-1)2=2

17.答案：（1）隨機變量X的取值可以為o，1，2?

尸(X=O)=(；J="(X=D=C；x9TP(X=2)=C；x?V

因此，隨機變量X的分布列為:

X012

P1\_

424

(2)由(1)知EX=0xL+lxL+2xL=l.

424

,1,1,11

DZ=(0-I)2X-+(1-1)2X-+(2-1)2X-=-

4242

(用X?則f(X)=2x；=l,Z)X=2xgx；=g也可以)

：.E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=3)：,D(Y)=D(2X+1)=4￡>(X)=2

解析：

18.答案：(1)由已知頻數表得：

￡(Z)=35x—+45x網+55xa+65x/+75x9+85x21+95x9=65

200200200200200200200

D(X)=(35-65)2x0.025+(45-65)2x0.15+(55-65)2x0.2+(65-65)2x0.25+(75-65)2x0.225

+(85-65)2x0.1+(95-65)2x0.05=210>

由196cb2<225,則14<cr<15,而14.5z=210.5>210，所以b=14,

則X服從正態(tài)分布N(65,14)，所以

P⑸<X<93)="(〃.b<X<〃+2b)=/〃2b<X<〃+2b；+P(〃<<X<〃+b)

螫"螫Z=o.8l86；

2

(2)顯然，P(X<〃)=P(XW〃)=0.5，

所以所有y的取值為15,30,45,60,

121111227

P(y=15)=-x-=-,P(y=30)=-x-+-x-x-=—,

2332323318

p(Y=45)=-x-x-+-x-x-=-,P(y=60)=-x-xl1

233233923318

所以丫的分布列為:

Y15304560

P721

3IX9

172

所以E（y）=15x—+30x—+45x-+60x—=30,

318918

解析：

19.答案：（1）由莖葉圖可知：甲城市空氣質量一級和二級共有10天，而乙城市空氣質量

一級和二級只有5天，因此甲城市空氣質量總體較好.

（2）甲城市在15天內空氣質量類別為優(yōu)或良的共有10天，任取1天，空氣質量類別為優(yōu)

或良的概率為3=2,

153

乙城市在15天內空氣質量類別為優(yōu)或良的共有5天，任取1天，空氣質量類別為優(yōu)或良的

概率為9=_1,

153

在15天內任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質量類別均為優(yōu)或良的概率為2x1=2

339

(3)X的取值為0，1，2,

c°c23ClCl10廢品=2

P(X=0)=-^=P(X=1)=黃=五’尸(X=2)=

C|5C；s21

X的分布列為:

X012

p3102

72?21

數學期望EY=0x3+lx竺+2x2=2.

721213

解析：

20.答案：⑴解：尸(x=n=(i-p)*由題，*的可能取值為，和匕A

Ik)kk

故X的分布列為

X1+)

~k~T~

P(l-p)”

E(X)=-(1-P)k]=1-(1-P)k+-r

KKK

(2)解：⑴由(1)記/(^)=1-(1_^)*+1,因為人>°,

k

所以〃p)在pe(O,l)上單調遞增，

故P越小，/(2)越小，即所需平均檢驗次數越少，該方案越合理

(ii)記g(Z：)=l-(l-/2/+-=1-0.9*+-

kk

當g(k)<l且取最小值時，該方案最合理，

因為g⑴=1.1,g⑵=0.69，g(3)?0.604,g(4)?0.594，g(5)?0.61

所以卜=4時平均檢驗次數最少，約為lOOOx0594=594次.

解析：

yx(