常數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)~般項級數(shù)*項級數(shù)冪級數(shù)三角級數(shù)收斂半徑R泰勒展開式數(shù)或函數(shù)函數(shù)數(shù)任意項級數(shù)傅氏展開式傅氏級數(shù)泰勒級數(shù)R

(

x)

fi

0nnu

為常數(shù)un為函數(shù)un

(x)滿足狄 氏條件取x

=x0在收斂 級數(shù)與數(shù)條件下 相互轉(zhuǎn)化￥

unn=1￥

unn=1;)n1n(1)例1

判斷級數(shù)斂散性:￥n=1

(n

+nn+1n解nnnnun

=n(n

+

1

)n1,1)n(1

+n21nn=nfi

￥n2)nn2)n1=

lim[(1

+nfi

￥1

lim(1

+21]n

=

e0

=

1;1

1nfi

￥

xfi

￥lim

nn

=

lim

x

xln

x}xfi

￥=

exp{lim1x1xxfi

￥=

exp{lim0}

=

e

=

1;nfi

￥\

lim

un

=

1

?

0,故原級數(shù)發(fā)散．23

;(2)￥n=1nncos2

np解2nncos2

npnu

=,2nn3

<

n

,

令

v

=n2nn

+

1

2nnvv2n+1nlim

n+1nfi

+￥=

limnfi

+￥2nn

+

1=

limnfi

+￥<

1,12=收斂,2￥n=1\nn據(jù)比較法，原級數(shù)收斂．￥n=1(a

>

0).(a

+)n1nln(n

+

2)(3)解a

+

1n從而有nln(n

+

2)nfi

+￥lim

n

un

=

limnfi

+￥1lim

nln(n

+

2),a

nfi

+￥=

n

?2

時,n

+2

<en

,1

<

n

ln(n

+

2)

<

n

n,由于

lim

n

n

=

1, lim

n

ln(n

+

2)

=

1,nfi

+￥

nfi

+￥anlim

n

u

=

1

.nfi

+￥1當(dāng)a

>0

即0

<a

<1

時,原級數(shù)收斂；a當(dāng)0

<a

<1

即1

>1

時,原級數(shù)發(fā)散；當(dāng)a

=1

時,,)n1n(1

+ln(n

+

2)￥原級數(shù)為n=1(1

+

1

)nnfi

+￥n

lim

ln(n

+

2)

=

+￥

,原級數(shù)也發(fā)散．是條件收斂還是絕對收斂？是否收斂？如果收斂，判斷級數(shù)￥n=1

n

-

ln

n(-1)n例２解>

1

,n

-

ln

n

n1而

1￥發(fā)散,n=1

n1發(fā)散,n

-

ln

n(-1)nn

-

ln

n￥n=1￥n=1=\即原級數(shù)非絕對收斂．是交錯級數(shù),n

-

ln

n(-1)n￥n=1由萊布尼茨定理：n

xxfi

+￥nfi

+￥

lim

ln

n

=

lim

ln

x

=

lim

1

=

0,xxfi

+￥1=

0,=

lim1\

limnnfi

+￥

ln

n1

-nfi

+￥

n

-

ln

nn

f

(

x)

=

x

-

ln

x

(

x

>

0),(

x

>

1),xf

￠(

x)

=

1

-

1

>

0\

在(1,+￥

)

上單增,

即單減,x

-

ln

x1當(dāng)n

>1

時單減,n

-

ln

n1故=

u

(n

>

1),11n+1>n

-

ln

n

(n

+

1)

-

ln(n

+

1)\

u

=n所以此交錯級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂．￥求級數(shù)(n

+1)(x

-1)n

收斂域及和函數(shù).n=0￥例３解

(n

+1)(x

-1)n

的收斂半徑為R

=1,n=0收斂域為-1

<x

-1

<1,即0

<x

<2,￥設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為s(x),則有s(

x)

=

(n

+

1)(

x

-

1)n

.n=0兩邊逐項積分￥=

(

x

-

1)n+1n=0x1￥n=0(n

+

1)(

xs(

x)dx

=11xn-

1)

dxx￥=

(

x

-

1)n+1n=01

-

(

x

-

1)x

-

1==

x

-

1

,2

-

x兩邊再對x

求導(dǎo)，得2

-

x

(2

-

x)2s(

x)

=

(

x

-

1)￠=.11

+x2

展開成麥將f

(x)=x

arctan

x

-ln例4克勞林級數(shù).x2

x3解

ln(1

+

x)

=

x

-

2

+

3

-,2

3x4

x6x2

n\

ln(1

+

x2

)

=

x2

-

+

-

+

(-1)n-1

+,n(-1

￡

x

￡

1)1

+

x又

arctan

x

=xdx021=xn

2

n1)

x

+]dx+

+

(-06[1

-

x2

+

x4

-

x3

5

7x3

x5

x7x2

n+1=

x

-

+

-

+

+

(-1)n

+2n

+

1(-1

￡

x

￡

1)￥￥=

(-1)nn=0x2

n+21

+

x2故

x

arctan

x

-

lnx2

n12

n=1-

(-1)n-1￥￥=

(-1)nn=02n

+

22n

+

112

n=0-

(-1)nnx2

n+22n

+

1x2

n+2.(2n

+

1)(2n

+

2)x2

n+2￥=

(-1)nn=0(-1

￡

x

￡

1)成(x

-1)的冪級數(shù)．的和函數(shù)展開(2n

-

1)!x2

n-1n=1￥將級數(shù)2n-1(-1)n-1例5設(shè)法用已知展開式來解．是sin

x

的展開式，(2n

-

1)!x2

n-1n=1￥解

分析

(-1)n-1￥n=1￥n=1x2

n-1(-1)n-1(2n

-

1)!(=

2)2

n-1(-1)n-1

x(2n

-

1)!

222n-1=

2

sin

x

=22

sin

x

-

1

+

12

cos

1

sin

x

-

12

2=

2

sin

1

cos

x

-

1

+2

2￥n=02n+1￥+

2

cos=

2

sin2n(

)(-1)n

x

-

1(2n

+1)!

221(

)n=0(-1)n

x

-

1(2n)!

221￥n=0(

x

-

1)2

n+1￥n=02n

(2n

+

1)!(-1)n+

cos=

2

sin212n(-1)n(

x

-

1)2

n(2n)!21(-￥

,+￥

)一、選擇題:1、下列級數(shù)中,收斂的是().(A)￥n

=11n；

(B)￥n

=11；n

n￥1n(C)

；3

2n

=1￥n

=1n(D)

(-1)

.).(A)45(

)2、下列級數(shù)中,收斂的是(￥n

-1n

=1；

(B)n

-154(

)￥n

=1；5￥n

-1n

-1(C)

(-1) (

4

)

；

(D)n

=1￥n

-14

55

4(

+

)n

=1.測驗題3、下列級數(shù)中,收斂的是()(A)￥n

=12(n!)

22n；￥(B)

n

=1n

n3

n

n!；nn2￥(C)

1

sin

p；n=2￥(D)

n

=1

n(n

+

2)n

+

1.4、部分和數(shù)列{sn￥}有界是正項級數(shù)

un

收斂的n

=1(

)(A)充分條件；

(C)充要條件；(B)必要條件；(D)既非充分又非必要條件.5、設(shè)a

為非零常數(shù),則當(dāng)()時,級數(shù)￥n

=1nra收斂.(A)

r

<

1；(C)

r

<

a

；(B)

r

￡

1

；(D)

r

>

1

.￥n

=1nn(

x

-

1)

n6、冪級數(shù)

(-1)

-1

的收斂區(qū)間是().(A)

(0,2)；(C)

(0,2]；(B)

[0,2)；(D)

[0,2].7、若冪級￥n=0

nna

x的收斂半徑為R1

:

0

<

R1

<

+￥

;￥n

n2b

x

的收斂半徑為Rn=0￥2:0

<R

<+￥

,則冪級數(shù)n

n

(a+

b

)

x

n

的收斂半徑至少為(

)n=0(A)

R1

+

R2

；(C)max

{R1

,

R2

}；(B)

R1

R2

；(D)min

{R1

,

R2

}

.n

2n

k

+

n8、當(dāng)k

>0時,級數(shù)

(-1)￥n=1是(

)(A)條件收斂；

(C)發(fā)散；(B)絕對收斂；(D)斂散性與k

值無關(guān).￥n

=19、lim

un

=

0

是級數(shù)

un

收斂的(n

fi

￥(A)充分條件；

(C)充要條件；

)(B)必要條件；

(D)既非充分又非必要條件.￥10、冪級數(shù)

n(

n

+

1)

x

n

的收斂區(qū)間是(

)n

=1(A)

(-1

,

1)；(C)

[-1

,

1)；(B)

(-1

,

1]；(D)

[-1

,

1].二、判別下列級數(shù)的收斂性:￥1、n=12n2(n!)2；￥2、n=12nn

cos2

np3

.￥三、判別級數(shù)(-1)

lnn=1n

+

1n的斂散性.1四、求極限lim[23n11

(2n

)