數(shù)值計算課件第一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三構造有效的迭代格式選取合適的迭代初值對迭代格式進行收斂性分析一種圓周率計算方案:初值:

x0=1(n=1,2,3,······)迭代格式:2/16將一個計算過程反復進行稱為迭代,迭代法是一類常見常用的計算技術第二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三x2

x1

x0y=xf(x)=0迭代格式:(n=0,1,2,······)迭代函數(shù)若存在

x*,使得

,則稱x*為不動點6/16第三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三例已知方程x2+x-6=0在區(qū)間[0,3]內有一實根，用簡單迭代法求一個實根的近似值，精度要求為ε=10-43/161.

x2+x-6=0

?

x=6-x2，取初始近似值x0=1代入其迭代格式xn+1=6-xn2中，計算得到的迭代值序列為x0=1;x1=5;x2=-19;x3=-355…2.

x2+x-6=0

?x

=(

6+3x-x2)/4，取初始近似值x0=1代入其迭代格式xn+1=(6+3xn-xn2)中，計算得到的迭代值序列為x0=1;x1=2;x2=2;x3=2…第四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三例2.2方程

x3+4x2–10=0在

[1,2]上有一個根,將方程變換成另一形式(1)(n=0,1,2,……)(2)(n=0,1,2,……)4/16第五頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三fi=inline('0.5*sqrt(10-x^3)');x0=1.5;er=1;k=0;whileer>0.00001x=fi(x0);er=abs(x-x0);x0=x;k=k+1;endfi=inline('sqrt(10/(4+x))');x0=1.5;er=1;k=0;whileer>0.00001x=fi(x0);er=abs(x-x0);x0=x;k=k+1;endk=16x0=1.3652k=6x0=1.36525/16第六頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三引理2.1如果

,滿足條件:;(2)則

在

[a,b]有唯一的不動點

x*證

若

或

,顯然

有不動點設

,則有

,記

則有所以,存在x*,使得即

,x*即為不動點.條件(2)是證明唯一性的條件。7/16第七頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三定理2.4如果

,滿足條件:;(2)則對任意的

x0∈[a,b],迭代格式

產生的序列

{xn}收斂到不動點

x*,且有證8/16第八頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三(0<L<1)所以,故迭代格式收斂9/16第九頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三不動點迭代產生序列的收斂速度數(shù)列的r階收斂概念(局部收斂性|xn-x*|<δ)設

,若存在

a>0,r>0使得則稱數(shù)列{xn}r

階收斂.特別:(1)收斂階r=1時,稱為線性收斂;(2)收斂階r>1時,稱為超收斂;(3)收斂階r=2時,稱為平方收斂序列的收斂階數(shù)r越高,收斂速度越快10/16第十頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三例2.3方程

x3+10x-20=0,取

x0=1.5,證明迭代法是線性收斂證:令

f(x)=x3+10x–20,繪出

y=f(x)圖形可知方程的根

x*≈1.5,令求導數(shù),得11/16第十一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三利用Lagrange中值定理,有其中,介于xn和x*之間.

所以由此可知,這一序列的收斂階數(shù)為1,即迭代法是線性收斂.顯然,在x*附近12/16第十二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三定理2.6設x*是

的不動點,且而

則

p階收斂由Taylor公式其中,介于xn和x*之間.所以故迭代法p階收斂.13/16第十三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三數(shù)列收斂加速原理(Aitken)對于線性收斂數(shù)列,有于是整理化簡得加速收斂序列15/16第十四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期三1階收斂的數(shù)列{xn}的加速收斂算法s1=1;s2=s1-1/3;s3=s2+1/5;y0=s3;k=3;n=5;f=1;eor=1;whileeor>0.00005y=s3-(s2-s3)^2/(s3-2*s2+s1);eor=abs(y-y0);y0=y;k=k+1;s1=s2;s2=s3;f=-f;n=n+2;s3=s3+f/n;ends=4*y例數(shù)列

收斂于

但速度極慢S=3.14151898559528k=17