三角函數(shù)和平面向量模擬考試題考試時(shí)間120分鐘 滿分150分一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分.若cosθ>0,且sin2θ<0，則角θ的終邊所在象限是（ ）（A）一象限 （B）二象限 （C）三象限 （D）四象限2．下列命題中正確的是（ ）ab（A）a>b,C>dna—C>b—d （B）a>bn—>—cc(C)aC<bCna<b(D)ac2>bc2na>b.點(diǎn)M分有向線段MM的比為X,已知點(diǎn)M(1,5),M(2,3),λ=—2，則點(diǎn)M的12 1 2坐標(biāo)為()(A)(3,8) (B)(1,3) (C)(3,1) (D)(—3,—1)c^r -Ib -￥.已知a,b為任意非零向量，有下列命題： ①Ia日b∣:②(a)2=(b)2;③(a)2=a?b,→→其中可以作為a=b的必要不充分條件的命題是（ ）(A)① (B)①② (C)②③(D)①②③2sin2α cos2α. X =( )1+CoS2αCoS2α(A)tanα (B)tan2α (C)11(D)—2.若函數(shù)f（X）=sin（3X+θ）的圖象（部分）如圖所示，則3和θ的取值是（ ）π3=1,θ=3(C)π3=1,θ=——1 π(D)3=—,θ=——2 61 π3=—,θ=一2 6.設(shè)A（a,1）,B（2,b）,C（4,5）為坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA與OB在OC方向上的投影相同，則a與b滿足的關(guān)系式是（ ）(A)4a—5b=3 (B)5a—4b=3 (C)4a+5b=14 (D)5a+4b=14.設(shè)0≤X<2π，且√1—sin2X=sinX—cosX，則U( )ππ0≤X≤π7π—≤X≤——44(C)5π—≤X≤——44(D)π 3π≤X≤——22.已知a,b都是正數(shù)，下列命題正確的是（ ）(A)11一+一ab空也≤短≤a+b≤?2 2 11—+—ab一■■■ab≤ ≤-11 2一+一ab.a2+b2一\ 2211—+-abJJ丁，,a2+b2Ja+b

≤abb≤ ≤-10.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),.,, — 「二-5IcI=v5,若(a+b)c=一,^2則a與C的夾角為(A)30。 (B)60。(C)120。 (D)150。( )2,,a+b,a2+b2

≤?ab≤ ≤ 222a+b2211.設(shè)y=f(t)是某港口水的深度)(米)關(guān)于時(shí)間t(時(shí))的函數(shù)，其中0≤t≤24，下表是該港口某一天從0時(shí)至24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深)的關(guān)系：t036912151821241215.112.19.111.914.911.98.912.1經(jīng)觀察，y=f(t)可以近似看成y=K+Asin(3X+φ)的圖象，下面的函數(shù)中最能近似地表示表中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是(兀y=12+3sιn—t,t∈[0,24]

6兀(C)y=12+3sιn—t,t∈[0,24]12)兀y=12+3sιn(—t+兀),t∈[0,24]6兀兀、(D)y=12+3sm(t+—),t∈[0,24]JL‰√ ‰√12.如圖/JJ是同一平面內(nèi)的三條平行線，l與l間的距離為1,l與l間的距離為2,123正三角形ABC的三頂點(diǎn)分別在l,l,l上，

123(A)2v3 (B)3√6 (C)12 2則AABC的邊長(zhǎng)是( )3—— 2 ——-√17 (D)八214 33二、填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分。兀已知A+B=，則(1+tanA)(1+tanB)=4 已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(-k,10),且A、B、C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k= 八，八14“ ，若a>0,b>0，且一+-=1,則a+b的最小值是 absin3a 13C設(shè)ɑ為第四象限角，若一一=W則tan2α= Sma 5三、解答題：本大題共6小題，共74分(12分)已知向量a=(CoSX,2sinX),b=(2cosX,?J3cosX),f(X)=a?b,(1)求函數(shù)f(X)的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間;(2)將y=∕(x)按向量相平移后得到y(tǒng)=2sin2x的圖象，求向量加。(12分)設(shè)關(guān)于X的不等式Iog(lxl+lx-4l)>β2(1)當(dāng)〃=3時(shí)，解這個(gè)不等式；(2)若不等式解集為R,求。的取值范圍；(12分)已知向量。,石，滿足I。I=IJBl=1,?ka+i>?=√'3?a-kb?,k>Q,(1)用女表示并求。與方的夾角θ的最大值；(2)如果?！ň徘髮?shí)數(shù)上的值。? [3 TC(12分)已知COSa=一,cos(α-|3)=—,0<β<oc<—7 14 2(1)求tan2a的值(2)求角P(14分)證明下列不等式：(1)都是正數(shù)，且“+b=l,求證：(l+l)(l+i)≥9;ab(2)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足y+χ2=。，且求證：log(ɑ?+ay)<-+?og2a 8Q(12分)已知實(shí)數(shù)a,b,c,函數(shù)f(X)=ax2+bx+c,g(X)=ax+b,當(dāng)—1≤X≤1時(shí)，If(X)∣≤1(1)證明：IC∣≤1 (2)證明：當(dāng)T≤x≤1時(shí)，Ig(x)∣≤2；(3)設(shè)a>0,當(dāng)—1≤X≤1時(shí)，g(X)的最大值為2,求f(X)成都七中2006—2007學(xué)年下期期末考試高20XX級(jí)數(shù)學(xué)試題(參考答案)一、選擇題1.(D),提示：sin2θ=2sinθcosθ<0sinθ<0cosθ>02.(D)3.(C),1+(—2)X2「 5+(-2)X3提示：利用線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得：…J:=3,y=J； =]1+-2 1+-2(D),提示：注必要且不充分條件，一一2sin2αCoS2αSin2aC(B),提TK:原式=7^ X ?-= -—=tan2α2cos2αcos2occos2oc一T2πzπx-/ 1 z2π4x(C),提示：由圖得五二F-—(-])=兀n7=4兀=>①=5,又圖象經(jīng)過π代入解析式得Q二=(A),提示：OA?OC=OB?OC +5=8+5Z?=>4β-5/?=3(C),提示：由條件知SinX≥cosx,且0≤x<2π(A),提示：教材P——?-?→—>—>10.→→→5 5(C),提示：由(Q+8)?c=5得一%—2y=5fτa?cx+2y1cos<a.c>=—~—=__=Iallcl√5√,5 211.(A),提示：由T=I2可排除C、D,將(3,15)代入可排除512. (D),提示：設(shè)AB=X,AC交/于D,AD=2[ 1 7 ]BD=X2+(—x)2-2x(—x)cos60o=-χ2^>BD=——X又?.?S=-S3 3 9 3?AABD3??βɑ1√7 1√3 2√21——7^一?X——?%2——≥X= 23 34 3二、填空題2.提示：利用tan(A+B)=獸上等3=1可得1-tanAtan5一；,提示：AB=(4-k-rl?BC=(-k-4,5),由AB=λBC可得19 b4β9,提?。?。=(。+/?)(—+—)=5+—+—25+4=9a4 ab1-X334提示:sin3αsin(2α+α)sin2αcosα+cos2αsinα13

sinasina sinα 52cos2α+cos2α=—n2cos2a-1+cos2α=8,cos2α=45 5 54kπ-π<2α<4kπ為四象限角。3sin2α=—-ntan2ɑ=-

534三、解答題17.解：(1)f(x)=a?b=2cos2x+3sin2x=1+cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π)+16 3分函數(shù)f(X)的最小正周期T=π 4分一一π π π又2kπ——≤2x+—≤2kπ+—2 6 2,,π π解得kπ——≤x≤kπ+—,(k∈Z) 5分36π,π、所以函數(shù)的遞增區(qū)間是：[kπ--,kπ+-],(k∈Z) 6分36(2)設(shè)m=(h,k)Ix/=X+h由平移公式\ 代入y=sin2X得：y+k=2sin[2(X+h)]y=y+k 8分兀、..整理得y=2sin(2X+2h)-k與f(X)=2sin(2X+—)+1為同一函數(shù)，6,π σ π故h= +nπ(n∈Z),k=-1,所以m=( +nπ,-1)(n∈Z)12 12 12分18.解：(1)a=3,log(|x|+1x-4|)>3nlog(|x|+1x-4|)>log82 2 2|X|+1X-4|>8 1分當(dāng)x≥4x+x-4>8得：x>6 3分當(dāng)0<x<4x+4-x>8不成立 5分當(dāng)x≤0-x+4-x>8得：x<-2 7分???不等式解集為{x?x<-2或x>6} 8分(2)|x|+1x-4I≥Ix+4-x|=4 10分.?.log(|x|+1x-4|)≥log4=2 11 分22???若原不等式解集為R，則a<212分19.解：(1)Ika+bI=√3Ia一kbIn(ka+b)2=3(a一kb)22C,一二72即.?.k2a+2ka?b+bk2 —- -kkkk2+1=3a2-6ka?b+3k2b2na?b= 4k 3分--1 1 1?.?a?b=4(k+-)≥2， 5分a?b 1止匕時(shí)cosθ=—；——=a?b≥—nθ =60。IaIIbI 2 max 7分(2)???a//b,.?.a與b夾角為0。或180。一— ——C k2+1a?b=IaIIbIcosθ=±1nI I=14k 10分丈:k>0,.?.k2+1=4knk=2±√3 12分20.解(1)由cosa=1 兀 =,. . ,0<a<一，得Slna=√1-cos2a=7 24√3…2分sina.?.tana=一cosa4v3χ7

人7 14分于是tan2a=2tana1一tan2a2X4√31-(4√3)28√3- 476分兀 兀(2)由0<P<a<-，得0<a-β<—2 213又?.?cos(a-β)=-,147分sin(a-β)=v1-cos2(a-β)：1一旦

143√39分由β=a-(a-β)，得cosβ=cos[a-(a-β)]=cosacos(a-β)+sinasin(a-β)1134√33√31=—x——+ x =一714 7 14 211分兀???P=W 12分一,廠a+ b、/T a+b b a、 Lib a、 ?21.證明(1)左=(1+ )(1+—-—)=(2+—)(2+—)=5+2(-+)...3分ab a b a bba ,因?yàn)閍>0,b>0,所以一+-≥2 5分aba+ba+bbaba所以左=(I+=W+F)=(2+%)(2+b)=5+2(-+-)≥9 7分兀(另證：令a=cos2θ,b=sι∏2θ,θ∈(0,—)1L+?+(I+—)(1+γ)=1+

abcos2θ si∏2θ cos2θsi∏2θ=1+__2=1+?

cos2θsi∏2θ si∏22θπ 1?.?θ∈(0,一),λ0<si∏2θ≤1, ≥12 si∏22θ.?.1+8

si∏22θ≥9，即原不等式得證）?.?aχ>0,ay>0.?.aχ+ay≥2%：aX+y 9分又?.?0<a<1一 、一一■ 1一 一.:log(aχ+ay)≤log2%a+y=logaχ+y+loga a 2a a2因?yàn)閥+χ2=0:.log(aχ+ay)=?(x-x2)+log2=-—(X-，)2

a 2 a2 2即原不等式得證………=1(X+y)+log2…12分

2 a+1+log2≤1+log2

8a8a 14分22