數(shù)據(jù)表示和數(shù)制第一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三一、數(shù)制數(shù)制是指用一組固定的數(shù)字和一套統(tǒng)一的規(guī)則來表示數(shù)目的方法。其中兩個最基本的概念是：基數(shù)(Radix)：一個計數(shù)制所包含的數(shù)字符號的個數(shù)稱為該數(shù)制的基數(shù)，通常用R表示，如二進制的R為2。位值(權(quán))：任何一個R進制的數(shù)都是由一串數(shù)碼表示的，其中每一位數(shù)碼所表示的實際值大小，除數(shù)碼本身的數(shù)值外，還與它所處的位置有關(guān)，由位置決定的值就叫位值(或稱權(quán)，PositionalValue)。位值用基數(shù)R的i次冪(Ri)表示。第二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

十進制，它由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10個數(shù)字符號組成,數(shù)字符號在不同的數(shù)位上表示不同的數(shù)值，每個數(shù)位均逢十進一。十進制數(shù)的基數(shù)為10，位權(quán)為10的指數(shù)次冪。

二進制數(shù)使用“0”和“1”這兩個數(shù)字符號，遵循“逢二進一”的原則。例如：0+0=0；1+0=0+1=1；1+1=10；1+10=11；1+11=100。二進制數(shù)的基數(shù)為2，位權(quán)為2的指數(shù)次冪。

八進制數(shù)的數(shù)字符號有8個：0、1、2、3、4、5、6、7，“逢八進一”，它的基數(shù)為8，位權(quán)為8的指數(shù)次冪。第三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

十六進制數(shù)的示數(shù)符號有16個：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F，“逢十六進一”，它的基數(shù)為16，位權(quán)為16的指數(shù)次冪。八進制數(shù)和十六進制數(shù)均是為了方便書寫和閱讀時使用的，在計算機內(nèi)部實際上所有的數(shù)均是二進制數(shù)。表1.1給出了十進制數(shù)字0-15所對應(yīng)的二、八、十六進制數(shù)。第四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三表1.1十進制數(shù)與二、八、十六進制數(shù)對照表十進制二進制八進制十六進制十進制二進制八進制十六進制第五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三二、數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換通常人們習慣在一個數(shù)的后面加上一個字母B、D、H、O來區(qū)分其前面表示的一個數(shù)用的是什么數(shù)制。例如：101.01B表示二進制數(shù)101.01；A2BH表示十六進制數(shù)A2B等。B：二進制D：十進制H：十六進制O：八進制第六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三（1）非十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)利用按權(quán)展開的方法，可以將任意數(shù)制的一個數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)。例如：將二進制01000001轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)如下：

01000001B=0×27+1×26+0×25+0×24+0×23+0×22+0×21+1×20=64+1=65D。假定要將125.7O轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)，其轉(zhuǎn)換過程如下：第七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三其轉(zhuǎn)換結(jié)果是：125.7O=1×82+2×81+5×80+7×8－1=64+16+5+0.875=85.875D。在八進制中，小數(shù)點左邊的那位的權(quán)是1(80)，再左邊一位的權(quán)是8(81)，依此類推。而小數(shù)點右邊那些位的權(quán)，則是用基數(shù)(在此為8)去除，因此緊跟八進制小數(shù)點右邊那位的權(quán)是1/8，即0.125，下一位是1/64，即0.015625。第八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

r進制數(shù)要轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)非常簡單，只需將每一位數(shù)字乘以它的權(quán)rn，再以十進制的方法相加就可以得到它的十進制的值。第九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三（2）十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成r進制數(shù)十進制整數(shù)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成r進制采用的是除r取余法，具體過程介紹如下：（1）將十進制數(shù)除r，保存余數(shù)。（2）若商為0，則進行第三步，否則，用商代替原十進制數(shù)，重復第1步。（3）將所有的余數(shù)找出，最后得到的余數(shù)作為最高位，最先得出的余數(shù)作為最低位，或者說由余數(shù)逆序排列而成的新的數(shù)據(jù)就是轉(zhuǎn)換成二進制的結(jié)果。第十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三十進制小數(shù)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成r進制采用的是乘r取整法，具體過程介紹如下：（1）將十進制數(shù)乘r，保存得數(shù)中的整數(shù)部分。（2）若得數(shù)為0，則進行第三步，否則，用除了整數(shù)部分的小數(shù)部分的十進制數(shù)代替原十進制數(shù)，重復第1步。（3）將所有的整數(shù)找出，最后得到的整數(shù)作為最低位，最先得出的整數(shù)作為最高位，或者說由各整數(shù)按順序排列而成的新的數(shù)據(jù)就是轉(zhuǎn)換成二進制的結(jié)果。第十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三例如把十進制數(shù)23轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)的過程如圖1.10所示。第十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

【例】把0.47轉(zhuǎn)換成二進制。用線圖形式可演算如下：

0.47→0.94→0.88→0.76→0.52→0.04 ×2↓↓↓↓↓

整數(shù)01111 K－1K－2K－3K－4K－5在取5位小數(shù)時有(0.47)10=(0.K－1K－2K－3K－4K－5)2=(0.01111)2

第十三頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三（3）二進制數(shù)與十六、八進制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換由于16=24

、8=23，所以在將二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六（八）進制數(shù)時，從小數(shù)點開始，分別向左和向右每四（三）位二進制數(shù)劃為一組，用一位十六（八）進制數(shù)代替，也稱為“以四（三）換一”；十六（八）進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)時正好相反，一位十六（八）進制數(shù)用四（三）位二進制數(shù)來替換，也稱“以一換四（三）”。第十四頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三例如，要將二進制數(shù)1111101011011轉(zhuǎn)換成十六進制數(shù)，其轉(zhuǎn)換過程如下：最終轉(zhuǎn)換結(jié)果為：1111101011011B=1F5BH。例如，要將十六進制數(shù)26CE轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)，其轉(zhuǎn)換過程如下：26CEH=0010011011001110B第十五頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三原碼、反碼和補碼在計算機中，不僅數(shù)值用0和1表示，而且正負號也用0和1表示。一般規(guī)定一個存儲單元的最高位(最左邊的一位)為符號位，如該位是0表示正，該位是1表示負。在計算機中，帶符號的數(shù)通常有三種表示方法：原碼、反碼和補碼。為簡單起見，下面我們只考慮用一個字節(jié)表示整數(shù)時的原碼、反碼和補碼。第十六頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

1.原碼原碼是一種機器數(shù)，原碼表示法就是在機器中最高位用0表示正數(shù)，用1表示負數(shù)，而其余位表示數(shù)本身。例如：

+15的原碼為：00001111 ↑

代表正 －15的原碼為：10001111 ↑

代表負

+0的原碼為：00000000

－0的原碼為：10000000同一個0在計算機中有不同的表示，這不適合計算機的運算。第十七頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

2.反碼在反碼表示法中，正、負數(shù)的表示是不同的。正數(shù)的反碼和原碼是一樣的，如+15的反碼仍然是00001111。負數(shù)的反碼為符號位是1、其他各位是對原碼求反，如－15的反碼為11110000。數(shù)值0的反碼有兩種：+0的反碼為00000000，－0的反碼為11111111。即在反碼表示法中，0的表示仍然不惟一。第十八頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

3.補碼鑒于以上情況，計算機內(nèi)部采用補碼方法來表示數(shù)值。采用補碼方法的好處是可以簡化設(shè)計與計算，把減運算轉(zhuǎn)變?yōu)榧舆\算來進行。我們以時鐘為例來說明補碼的原理。比如現(xiàn)在的標準時間是6點，而你的表停在11點的位置，如圖1-1所示。要調(diào)準你的表可用兩種方法：①向前撥7格；②向后撥5格。第十九頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三第二十頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三不管采用哪種方法，都能達到目的，可謂殊途同歸，但從算式上來看：

11+7=18(向前撥) 11－5=6(向后撥)計算結(jié)果并不一樣，那么操作結(jié)果為什么會一樣呢?這是因為表盤的刻度是以12為周期的，超過12就又從頭計數(shù)，因此上面的計算結(jié)果18因超過了12，再從頭開始計數(shù)后也就得到了6。這個12就稱為系統(tǒng)的模數(shù)，7和5相對于模數(shù)12來說稱做是互補的，即一個數(shù)是另一個數(shù)的補碼。從上面的計算可以看出，減一個數(shù)就等于加上它的補碼，效果是相同的，這就是把減法變成加法的原理。第二十一頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三在計算機中以一個有限長度的二進制位作為模。比如用一個字節(jié)表示一個數(shù)，則其模數(shù)為28，如運算結(jié)果超過28，就從中減去28。反映在內(nèi)存中，其情況為

100000000即把8位以外的數(shù)舍掉。計算機中的補碼是這樣定義的：正數(shù)：其補碼與其原碼、反碼相同。例如： ［+15］補=［+15］原=［+15］反=00001111

［+127］補=［+127］原=［+127］反=01111111負數(shù)：最高位為1，其余各位在原碼的基礎(chǔ)上取反，然后在最低位加1，簡稱“求反加1”?？捎萌缦玛P(guān)系式表示：［x］補=［x］反+1第二十二頁，共二十五頁，編輯于2023年，星期三

注意：各位取反時不包括符號位，即符號位不求反。例如： ［-15］原=10001111 ［-127］原=11111111

［-0］原=10000000 ［-15］反=11110000

［-127］反=10000000 ［-0］反=11111111

［-15］補=11110001 ［-127］補=10000001

［-0］補=00000000因為［-0］反+1=100000000，把超過8位的部分舍掉，則［-0］補的結(jié)果就是00000000，而+0的補碼也是00000000，即在補碼表示法中，0的表示是惟一的。在8位字長情況下，-128是一個特殊的數(shù)，計算機中規(guī)定它的表示為1