熱工控制系統(tǒng)第四章第三講第一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三第四節(jié)用根軌跡分析控制系統(tǒng)我們知道，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)分布，其它性能取決于其零極點(diǎn)分布。因此，可以用系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布來(lái)間接地研究控制系統(tǒng)的性能。W.R.伊文思提出了一種在復(fù)平面上由開環(huán)零極點(diǎn)確定閉環(huán)零極點(diǎn)的圖解方法—根軌跡法。將系統(tǒng)的某一個(gè)參數(shù)（比如開環(huán)放大系數(shù)）的全部值與閉環(huán)特征根的關(guān)系表示在一張圖上。利用根軌跡法，可以：分析系統(tǒng)的性能確定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)校正裝置的綜合4.1概述第二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三4.2根軌跡概念所謂根軌跡，是指當(dāng)系統(tǒng)中一個(gè)或幾個(gè)參量變化時(shí)，閉環(huán)特征根在S平面上運(yùn)動(dòng)形成的軌跡。例：如圖所示二階系統(tǒng)，-系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：

閉環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程為：特征根為：第三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三[討論]：①當(dāng)K=0時(shí)，s1=0,s2=-2,是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)②當(dāng)K=0.32時(shí)，s1=-0.4,s2=-1.6③當(dāng)K=0.5時(shí)，s1=-1,s2=-1④當(dāng)K=1時(shí)，s1=-1+j,s2=-1-j⑤當(dāng)K=5時(shí)，s1=-1+3j,s2=-1-3j⑥當(dāng)K=∞時(shí)，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j第四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：-將寫成以下標(biāo)準(zhǔn)型，得：式中：kg為傳遞函數(shù)，或稱為根軌跡增益；Zi，Pj為開環(huán)零極點(diǎn)。閉環(huán)傳遞函數(shù)為:開環(huán)傳遞函數(shù)為：第五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是閉環(huán)特征方程：的根。換句話說(shuō)，滿足或的點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，就是閉環(huán)特征方程的根

稱或?yàn)楦壽E方程。第六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三上述兩式分別稱為滿足根軌跡方程的幅值條件和相角條件。[一些約定]：在根軌跡圖中，“”表示開環(huán)極點(diǎn)，“”表示開環(huán)有限值零點(diǎn)。粗線表示根軌跡，箭頭表示某一參數(shù)增加的方向?！啊北硎靖壽E上的點(diǎn)。我們先以根軌跡增益（當(dāng)然也可以用其它變量）作為變化量來(lái)討論根軌跡。由于是復(fù)數(shù)，上式可寫成或=±(2q+1)π

q=0,1,2,…第七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三[例4-1]如圖二階系統(tǒng)，當(dāng)Kg從0→∞時(shí)繪制系統(tǒng)的根軌跡。-[解]閉環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程和特征根：[討論]：2341第八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三[總結(jié)]當(dāng)從0變化到時(shí)，系統(tǒng)的根軌跡是連續(xù)的。的點(diǎn)稱為起點(diǎn)， 的點(diǎn)稱為終點(diǎn)。本例中有兩個(gè)分支，終點(diǎn)都在無(wú)窮遠(yuǎn)處。這里是用解析法畫出的根軌跡，但對(duì)于高階系統(tǒng)，求根困難，需用圖解法畫圖。復(fù)平面上滿足相角條件的點(diǎn)應(yīng)在根軌跡上。上例中，A點(diǎn)在根軌跡上嗎？向量s和s+1的相角分別為根據(jù)相角條件(試探法)：顯然，只有三角形OAB是等腰三角形時(shí)，，A點(diǎn)在根軌跡上。點(diǎn)顯然不在根軌跡上。第九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三[定義]：滿足相角條件的點(diǎn)連成的曲線稱為180度等相角根軌跡。同樣，滿足幅值條件的點(diǎn)連成的曲線稱為等增益根軌跡（它是在某一增益的情況下繪制的）。180度等相角根軌跡和等增益根軌跡是正交的，其交點(diǎn)滿足根軌跡方程，每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)。由于180度等相角根軌跡上的任意一點(diǎn)都可通過(guò)幅值條件計(jì)算出相應(yīng)的值，所以直接稱180度等相角根軌跡為根軌跡。在根軌跡上的已知點(diǎn)求該點(diǎn)的值的例子。上例中，若A點(diǎn)的坐標(biāo)是0.5+j2，則根據(jù)幅值條件：第十頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三4.3繪制根軌跡的基本規(guī)則

W.R.Evans（伊萬(wàn)斯）提出了一套繪制根軌跡的規(guī)則。該規(guī)則以根軌跡增益K1為變量。規(guī)則1：根軌跡的分支數(shù)和對(duì)稱性。根軌跡的分支數(shù)等于特征方程的階數(shù)n；根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸。

規(guī)則2：根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)。

起始點(diǎn)：K1=0時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)，即系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)。起始點(diǎn)與終止點(diǎn)個(gè)數(shù)相等，均為n；終止點(diǎn)：（1）有限值終止點(diǎn)：當(dāng)K1時(shí)，有m條分支趨向開環(huán)零點(diǎn)；（2）無(wú)限遠(yuǎn)終止點(diǎn)：n-m條分支趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處,需要確定其方位和走向。

第十一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三規(guī)則3:實(shí)軸上的根軌跡。實(shí)軸上某線段右邊的實(shí)零點(diǎn)和實(shí)極點(diǎn)總數(shù)為奇數(shù)時(shí)，這些線段就是根軌跡的一部分。如圖5-5所示。規(guī)則4:根軌跡的漸近線。當(dāng)系統(tǒng)的根軌跡增益K1時(shí)，趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處的根軌跡共有n-m條，它們趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處的方位可由漸近線決定。（1）漸近線與實(shí)軸的傾角為：

（2）漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：第十二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三【例5-2】設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：S(S-1)(S＋2)＋K1＝0,當(dāng)K1由0變化到時(shí)，試按一般步驟與規(guī)則繪制其根軌跡圖。

解（1）本系統(tǒng)為3階系統(tǒng)，有3條根軌跡；（2）求出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)形式，得到：

（3）起始點(diǎn)：系統(tǒng)沒(méi)有開環(huán)零點(diǎn)，只有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，分別為p1=0，p2=-1，p3=-2。第十三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三（4）漸近線：K1時(shí)，有3條根軌跡趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處，其漸近線的傾角為

漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

（5）實(shí)軸上的根軌跡：在S平面實(shí)軸上[0，-1]和[-，-2]

線段上存在根軌跡，根軌跡草圖如圖5-6所示

第十四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三其中一條從p3=-2出發(fā),隨著K1的增加,沿著負(fù)實(shí)軸趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處。另兩條分支分別從p1=0和p2=-1出發(fā),沿著負(fù)實(shí)軸向b點(diǎn)移動(dòng)。當(dāng)K1值達(dá)到某一數(shù)值時(shí),這兩條分支相交于實(shí)軸上的b點(diǎn),這時(shí)系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。當(dāng)K1繼續(xù)增大時(shí),這兩條分支離開負(fù)實(shí)軸分別趨近-60o和-60o的漸近線,向無(wú)窮遠(yuǎn)處延伸。在Kb＜K1＜Kc時(shí),系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài),出現(xiàn)衰減振蕩。而當(dāng)K1＞Kc時(shí),，系統(tǒng)成為不穩(wěn)定狀態(tài)。圖5-6根軌跡圖第十五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三規(guī)則5：根軌跡的分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)和分離角。

上述方程是求取分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)的必要條件，是否確實(shí)為分離點(diǎn)或回合點(diǎn)，需要用相角條件進(jìn)行判斷。分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)可能在s平面上任何一點(diǎn)?！纠?-3】求例5-2中分離點(diǎn)的坐標(biāo)。解系統(tǒng)的特征方程為幾條根軌跡在s平面上相遇后又分開的點(diǎn)稱為根軌跡的分離點(diǎn)（或會(huì)合點(diǎn)）。分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)必須滿足方程:

由此得：第十六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三因分離點(diǎn)必定位于O-1之間的線段上,故可確定S1=-0.423為分離點(diǎn)。對(duì)高階系統(tǒng),一般不便求出分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn),此時(shí)可用圖解法等求解。分離角：根軌跡離開重根點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角被稱為分離角,其計(jì)算公式為：求得兩個(gè)解分別為s1=-0.423,s2=-1.577式中r為分離點(diǎn)處根軌跡的分支數(shù)。第十七頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三規(guī)則6：根軌跡的出射角和入射角。根軌跡從開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)出發(fā)的角度稱為出射角；進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的角度稱為入射角。

如圖5-8所示為已知系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布，可說(shuō)明出射角的求取。在根軌跡上靠近起點(diǎn)P1較遠(yuǎn)處取一點(diǎn)S1,顯然滿足相角條件，有

第十八頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三根據(jù)同樣方法可求開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)zk的入射角。當(dāng)S1無(wú)限趨近于P1點(diǎn)時(shí)，(s1-p1)即為出射角。一般情況下，開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)Pk的出射角為：規(guī)則7：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。在根軌跡與虛軸的交點(diǎn)處，存在系統(tǒng)的純虛根。通常用以下兩種根軌跡與虛軸交點(diǎn)。（1）勞斯判據(jù)法；（2）復(fù)數(shù)相等方法。第十九頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三【例5-4】已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試求系統(tǒng)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)解求出系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為（1）勞斯判據(jù)法；列出勞斯表若陣列中的S1和S0行等于零，則系統(tǒng)就處于穩(wěn)定邊界上，特征方程具有純虛根，由此可得：K1=6時(shí)，s=j1.414;K1=0時(shí)，s=j0。

（2）復(fù)數(shù)相等方法

令系統(tǒng)特征方程中的s=j,令整理得到方程的實(shí)部和虛部分別為零，可得到相同的結(jié)果：即由第二十頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三得到：

K1=6時(shí)，s=j1.414;K1=0時(shí)，s=j0。規(guī)則8：閉環(huán)極點(diǎn)的和與積。根據(jù)代數(shù)方程的根與系數(shù)關(guān)系，當(dāng)n>m時(shí)，有閉環(huán)極點(diǎn)之積：閉環(huán)極點(diǎn)之和：當(dāng)n-m2時(shí)，有:

即閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和。第二十一頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三這表明在開環(huán)極點(diǎn)確定的情況下，隨著K1的變化，若有一些閉環(huán)特征根增大，則另一些特征根必然減小。即一些根軌跡右行時(shí)，另一些根軌跡必左行?！纠?-5】已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解按照以下步驟繪制系統(tǒng)的根軌跡：（1）開環(huán)極點(diǎn)為p1=0，p2=-3，p1=-1j,無(wú)開環(huán)零點(diǎn)；（2）根軌跡分支數(shù)n=4條；（3）在實(shí)軸上[-3，0]之間為根軌跡段；（4）漸近線,n-m=4條：，試?yán)L制K1變化時(shí)的根軌跡。

第二十二頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三

（5）由特征方程求分離點(diǎn)解得s1=-2.3，s2,3=0.725j0.365。s1為分離點(diǎn)。分離角為90o。利用根軌跡的幅值條件可求得對(duì)應(yīng)于分離點(diǎn)s1=-2.3的K1值為4.33。第二十三頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三

（6）求出射角根據(jù)對(duì)稱性可知：p4=71.6令勞斯表中S1行的首項(xiàng)為零，求得K1=8.16。根據(jù)表令s=j，K1=8.16代入上式，求得=1.1。根軌跡的兩條分支與虛軸交于=1.1j處，中S2行的系數(shù)寫出輔助方程對(duì)應(yīng)的K1=8.16，系統(tǒng)根軌跡如圖5-9所示由特征方程并列出勞斯表：

（7）求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。第二十四頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三根軌跡繪制步驟：1確定根軌跡的分支數(shù)和對(duì)稱性2確定根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)3確定實(shí)軸上的根軌跡4確定根軌跡的漸近線5確定根軌跡的分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)和分離角6確定根軌跡的出射角和入射角。7確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)第二十五頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三【例5-6】已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。

根據(jù)上述規(guī)則，可以簡(jiǎn)便地繪制系統(tǒng)根軌跡的大致圖形。當(dāng)需要比較準(zhǔn)確地確定某些局部圖形時(shí)，可用相角條件逐點(diǎn)繪出。當(dāng)K1值滿足幅值條件時(shí)，對(duì)應(yīng)的根軌跡上的點(diǎn)，就是閉環(huán)極點(diǎn)。解：從開環(huán)傳遞函數(shù)公式中求出開環(huán)極點(diǎn)：

p1=0，p2=-4，

p3,4=-2j4

（1）根軌跡分支數(shù)n=4條。第二十六頁(yè)，共三十頁(yè)，編輯于2023年，星期三（4）出射角為

由對(duì)稱性知p4=90

度（5）求分離點(diǎn)。由特征方程圖5-10系統(tǒng)根軌跡圖（2）實(shí)軸上［-4，0］區(qū)間為根軌跡段。（3）漸近線n-