2014屆數(shù)學(xué)一輪知識點講座：函數(shù)的奇偶性與周期性一、考綱目標(biāo)1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2.運用函數(shù)圖像，理解和研究函數(shù)的奇偶性；3.了解函數(shù)的奇偶性、最小正周期的含義，會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性；二、知識梳理（一）函數(shù)的奇偶性1.定義：如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=f(-x)(f(-x)=f(x))，那么這個函數(shù)就是偶（奇）函數(shù)；2.性質(zhì)及一些結(jié)論：（1）定義域關(guān)于原點對稱；（2）偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；（3）為偶函數(shù)（4）若奇函數(shù)的定義域包含，則因此，“f(x)為奇函數(shù)”是"f(0)=0"的非充分非必要條件；（5）判斷函數(shù)的奇偶性，首先要研究函數(shù)的定義域，有時還要對函數(shù)式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響；（6）斷函數(shù)的奇偶性有時可以用定義的等價形式：，（7）設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（8）奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反（二）函數(shù)的周期性1.定義：若T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使恒成立，則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個函數(shù)的一個周期2.簡單理解：一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期，周期函數(shù)的定義域一定是無限集，但是我們可能只研究定義域的某個子集三、考點逐個突破1．奇偶性辨析例1.下面四個結(jié)論：①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定通過原點；③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(x∈R)，其中正確命題的個數(shù)是A．1B.2C.3分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，但不一定相交，因此③正確，①錯誤奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，但不一定經(jīng)過原點，因此②不正確若y=f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④錯誤，選A說明：既奇又偶函數(shù)的充要條件是定義域關(guān)于原點對稱且函數(shù)值恒為零例2.判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝|x|(x2＋1)；(2)f(x)＝eq\r(x)＋eq\f(1,x)；(3)f(x)＝eq\r(x－2)＋eq\r(2－x)；(4)f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)；(5)f(x)＝(x－1)eq\r(\f(1＋x,1－x)).解析(1)此函數(shù)的定義域為R.∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函數(shù)．(2)此函數(shù)的定義域為x>0，由于定義域關(guān)于原點不對稱，故f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．(3)此函數(shù)的定義域為{2}，由于定義域關(guān)于原點不對稱，故f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．(4)此函數(shù)的定義域為{1，－1}，且f(x)＝0，可知圖像既關(guān)于原點對稱，又關(guān)于y軸對稱，故此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．C．x＝eq\f(1,2) D．x＝－eq\f(1,2)解析：選A.∵y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，∴f(1＋x)＝f(1－x)，故f(x)關(guān)于直線x＝1對稱．3．函數(shù)f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，則f(－a)的值為()A．3 B．0C．－1 D．－2解析：選B.f(a)＝a3＋sina＋1，①f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－a3－sina＋1，②①＋②得f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝2－f(a)＝2－2＝0.4．函數(shù)f(x)＝1－eq\f(2,1＋2x)(x∈R)()A．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)B．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)C．是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)D．是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)解析：選D.∵f(x)＝1－eq\f(2,1＋2x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，∴f(－x)＝eq\f(2－x－1,2－x＋1)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝－eq\f(2x－1,2x＋1)＝－f(x)．又其定義域為R，∴f(x)是奇函數(shù)．5．定義在R上的偶函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈(0,1]時單調(diào)遞增，則()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＜f(－5)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＜f(－5)C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＜f(－5)D．f(－5)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))解析：選B.∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是以2為周期的函數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(－5)＝f(5)＝f(4＋1)＝f(1)，∵函數(shù)f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜f(1)，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＜f(－5)．二、填空題6．設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為________．解析：因為f(x)是偶函數(shù)，所以恒有f(－x)＝f(x)，即－x(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)，化簡得x(e－x＋ex)(a＋1)＝0.因為上式對任意實數(shù)x都成立，所以a＝－1.答案：－17．函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，且x＞0時，f(x)＝eq\r(x)＋1，則當(dāng)x＜0時，f(x)＝________.解析：∵f(x)為奇函數(shù)，x＞0時，f(x)＝eq\r(x)＋1，∴當(dāng)x＜0時，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(eq\r(－x)＋1)，即x＜0時，f(x)＝－(eq\r(－x)＋1)＝－eq\r(－x)－1.答案：－eq\r(－x)－18．(2013·大連質(zhì)檢)設(shè)f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數(shù)，且f(x＋3)·f(x)＝－1，f(－4)＝2，則f(2014)＝________.解析：由已知f(x＋3)＝－eq\f(1,fx)，∴f(x＋6)＝－eq\f(1,fx＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期為6.∴f(2014)＝f(335×6＋4)＝f(4)＝－f(－4)＝－2.答案：－2三、解答題9．判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋3x>0，,0x＝0，,－x2－2x－3x<0.))解：(1)f(x)的定義域為{－1,1}，關(guān)于原點對稱．又f(－1)＝f(1)＝0.∴f(－1)＝f(1)且f(－1)＝－f(1)，∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(2)①當(dāng)x＝0時，－x＝0，f(x)＝f(0)＝0，f(－x)＝f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．②當(dāng)x>0時，－x<0，∴f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)．③當(dāng)x<0時，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)．由①②③可知，當(dāng)x∈R時，都有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．10．已知奇函數(shù)f(x)的定義域為[－2,2]，且在區(qū)間[－2,0]內(nèi)遞減，求滿足：f(1－m)＋f(1－m2)<0的實數(shù)m的取值范圍．解：∵f(x)的定義域為[－2,2]，∴有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2,－2≤1－m2≤2))，解得－1≤m≤eq\r(3).①又f(x)為奇函數(shù)，且在[－2,0]上遞減，∴在[－2,2]上遞減，∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)?1－m>m2－1，即－2<m<1.②綜合①②可知，－1≤m<1.一、選擇題1．(2012·高考天津卷)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(1,2)內(nèi)是增函數(shù)的為()A．y＝cos2x，x∈R B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0C．y＝eq\f(ex－e－x,2)，x∈R D．y＝x3＋1，x∈R解析：選B.由函數(shù)是偶函數(shù)可以排除C和D，又函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)為增函數(shù)，而此時y＝log2|x|＝log2x為增函數(shù)，所以選擇B.2．(2011·高考山東卷)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點的個數(shù)為()A．6 B．7C．8 D．9解析：選B.令f(x)＝x3－x＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，所以x＝0,1，－1，因為0≤x＜2，所以此時函數(shù)的零點有兩個，即與x軸的交點個數(shù)為2.因為f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，所以2≤x＜4,4≤x＜6上也分別有兩個零點，由f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，知x＝6也是函數(shù)的零點，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點個數(shù)為7.二、填空題3．若f(x)＝eq\f(1,2x－1)＋a是奇函數(shù)，則a＝________.解析：∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，即eq\f(1,2－x－1)＋a＝eq\f(－1,2x－1)－a，得：2a＝1，a＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)4．(2013·長春質(zhì)檢)設(shè)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且f(x＋2)＝－f(x)，下面關(guān)于f(x)的判定：其中正確命題的序號為________．①f(4)＝0；②f(x)是以4為周期的函數(shù)；③f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱；④f(x)的圖象關(guān)于x＝2對稱．解析：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(x＋2)＝－(－f(x＋2＋2))＝f(x＋4)，即f(x)的周期為4，②正確．∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(4)＝f(0)＝0，即①正確．又∵f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，∴f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱，∴③正確，又∵f(1)＝－f(3)，當(dāng)f(1)≠0時，顯然f(x)的圖象不關(guān)于x＝2對稱，∴④錯誤．答案：①②③三、解答題5．已知函數(shù)f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R.(1)試判斷f(x)的奇偶性；(2)若－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(1,2)，求f(x)的最小值．解：(1)當(dāng)a＝0時，函數(shù)f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)，此時，f(x)為偶函數(shù)．當(dāng)a≠0時，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，f(a)≠f(－a)，f(a)≠－f(－a)，此時，f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．(2)當(dāng)x≤a時，f(x)＝x2－x＋a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋a＋eq\f(3,