考點(diǎn)24空間幾何中的垂直知識(shí)理解知識(shí)理解一．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直(2)直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b二．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α三．證明線線垂直的思路考向分析考向一線面垂直考向分析【例1】3．(2021·江西吉安市·高三期末節(jié)選)如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為正三角形，為的中點(diǎn)，求證：平面【舉一反三】1．(2021·河南信陽市節(jié)選)如圖所示，四棱錐中，，，，平面，求證:平面2．(2021·江西贛州市節(jié)選)如圖，已知三棱柱的所有棱長均為2，，證明：平面3．(2020·山東德州市節(jié)選)如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為的正方形，為等邊三角形，分別為和的中點(diǎn)，且，證明:平面考向二面面垂直【例2】(2021·河南高三期末節(jié)選)如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，，，，，是的中點(diǎn)，求證：平面平面【舉一反三】1．(2021·河南焦作市節(jié)選)如圖所示，在四棱錐中，底面是菱形，平面點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求證:平面平面2．(2021·山東青島市·高三期末節(jié)選)如圖，在直角梯形中，，，，，.將矩形沿翻折，使得平面平面，若，證明：平面平面3．(2021·安徽馬鞍山市節(jié)選)如圖，BE，CD為圓柱的母線，是底面圓的內(nèi)接正三角形，M為BC的中點(diǎn)，證明：平面AEM⊥平面BCDE考向三線線垂直【例3】(2021·江西宜春市·高安中學(xué)節(jié)選)如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，已知，E為的中點(diǎn)，求證【舉一反三】1．(2021·江蘇南通市·高三期末節(jié)選)如圖，在四棱錐中，，，，為的中點(diǎn)，，求證：2．(2020·山東德州市節(jié)選)如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面分別為的中點(diǎn).(1)求證:;(2)求證:平面.3．(2021·山東棗莊市節(jié)選)如圖，四棱錐的側(cè)面是正三角形，底面是直角梯形，，，為的中點(diǎn)，求證：強(qiáng)化練習(xí)強(qiáng)化練習(xí)1．(2021·山東泰安市·高三期末節(jié)選)如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，為上一點(diǎn)，過作與平行的平面，分別交，于點(diǎn)，，證明：平面2．(2021·浙江金華市·高三期末節(jié)選)在三棱錐中，平面平面ABC，，)證明：平面ABC3．(2021·河南焦作市節(jié)選)如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，，，分別為，，的中點(diǎn)，求證：平面4．(2021·浙江溫州市節(jié)選)如圖，已知三棱錐﹐，是邊長為的正三角形，﹐，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，證明：平面5．(2021·陜西咸陽市·高三一模節(jié)選)如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，，是的中點(diǎn)，求證：平面6．(2021·浙江金華市節(jié)選)如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，平面平面，若E為的中點(diǎn)，求證：平面7．(2021·西安市鐵一中學(xué)節(jié)選)如圖，在底面為菱形的四棱錐中，，點(diǎn)在上，且，求證：平面8．(2021·河南高三期末節(jié)選)如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，是的中點(diǎn)，求證：平面平面9．(2021·江蘇南通市節(jié)選)如圖，四面體中，O是的中點(diǎn)，點(diǎn)G、E分別在線段AO和BC上，，，，.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面.10．(2021·山西呂梁市·高三一模節(jié)選)如圖，四棱錐中，，，側(cè)面為等邊三角形，，，，求證：11．(2021·云南高三期末)如圖所示，在正方體中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求證：平面.12．(2021·江西景德鎮(zhèn)市節(jié)選)如圖，已知四棱錐，其中，，，，側(cè)面底面，是上一點(diǎn)，且是等邊三角形，求證：平面13．(2021·江西景德鎮(zhèn)市·景德鎮(zhèn)一中)如圖，在三棱柱中，平面平面，，，，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：平面.14．(2021·陜西咸陽市)在三棱錐中，、分別為、的中點(diǎn)，且，平面平面.(1)證明：平面；(2)證明：.15．(2021·全國)已知四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，底面為直角梯形，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：.16．(2020·全國)如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求證：平面．17．(2021·全國高三專題練習(xí))如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn).證明：平面平面.18．(202