初中數(shù)學(xué)“一線三等角”模型解析一線三等角指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。不同地區(qū)對(duì)此有不同的稱呼，通常稱為“K字模型”，也有部分地方稱為“M形圖”。起源與基本類型DE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，從外到內(nèi)，從一般位置到特殊位置。基本類型：同側(cè)“一線三等角”異側(cè)“一線三等角”性質(zhì)1.一般情況下，如下左圖，易得△AEC∽△BDE.2.當(dāng)?shù)冉撬鶎?duì)的邊相等時(shí)，則兩個(gè)三角形全等。（若CE=ED，則△AEC≌△BDE）3.中點(diǎn)型“一線三等角”如右上圖，當(dāng)∠1=∠2=∠3，且D是BC中點(diǎn)時(shí)，△BDE∽△CFD∽△DFE.4.“一線三等角”的各種變式應(yīng)用1.“一線三等角”應(yīng)用的三種情況。a.圖形中已經(jīng)存在一線三等角，直接應(yīng)用模型解題；b.圖形中存在“一線二等角”，補(bǔ)上“一等角”構(gòu)造模型解題；c.圖形中只有直線上一個(gè)角，補(bǔ)上“二等角”構(gòu)造模型解題.2.在定邊對(duì)定角問(wèn)題中，構(gòu)造一線三等角是基本手段。3.構(gòu)造一線三等角的步驟：找角、定線、構(gòu)相似。如上圖，線上有一特殊角，就考慮構(gòu)造同側(cè)型一線三等角，當(dāng)然只加這兩條線通常是不夠的，為了利用這個(gè)特殊角與線段的關(guān)系，過(guò)C、D兩點(diǎn)作直線l的垂線是必不可少的。模型建立例如圖2，已知E是矩形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，EF⊥DE交BC于點(diǎn)F，試說(shuō)明：ΔADE∽ΔBFE。分析：要證明ΔADE與ΔBFE相似，已經(jīng)知道∠A=∠B=90°，只需要再找出另外一對(duì)相等的角即可。解答：在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°∵EF⊥DE∴∠DEF=90°，∠2+∠3=90°又∵∠1+∠3=90°∴∠1=∠2∴ΔADE∽ΔBFE小結(jié)：此時(shí)，在直線AB上，∠A=∠DEF=∠B=90°，一條線上有3個(gè)直角，兩邊的ΔADE與ΔBFE相似。這個(gè)相似的基本圖形像字母K，可以稱為“K”型相似，但更因?yàn)閳D形的結(jié)構(gòu)特征是一條線上有3個(gè)垂直關(guān)系，也常被稱為“一線三垂直”。通過(guò)例題，我們已經(jīng)證明，“一線三垂直”可以得出相似三角形，那普通的3個(gè)等角又會(huì)怎樣呢？變式1如圖3，已知等邊三角形ABC，點(diǎn)D、E分別為BC，AC上的點(diǎn)，∠ADE=60o。（1）圖中有相似三角形嗎？如果有，請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）如圖4，若將∠ADE在ΔABC的內(nèi)部（∠ADE兩邊不與BC重合）繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到的兩三角形仍相似嗎？分析：（1）此時(shí)，在直線BC上，∠B=∠ADE=∠C=60°，一條線上有3個(gè)等角，兩邊的ΔABD與ΔDEC相似嗎？（2）旋轉(zhuǎn)后，變化中的不變量是什么？ΔABD與ΔDEC相似嗎？解答：（1）在等邊三角形ABC中，∠B=∠C=60°∵∠ADE=60o∴∠2+∠3=120°又∵∠1+∠3=120°∴∠1=∠2∴ΔABD∽ΔDCE另外：ΔADE與ΔACD也相似。∵∠DAE=∠CAD（公共角）∠ADE=60o=∠DCA∴ΔADE∽ΔACD（2）旋轉(zhuǎn)后，變化中的不變量是∠ADE的大小那么，依然可以有：∵∠2+∠3=120°又∵∠1+∠3=120°∴∠1=∠2∴ΔABD∽ΔDCE小結(jié)：此時(shí)，一條線上的三個(gè)等角由90°變成了60°，兩邊的三角形依然相似。那么，更一般的等角呢？變式2如圖5，隱藏變式1圖形中的線段AE，在得到的新圖形中，（1）如果∠B=∠C=∠ADE=50o，圖中有相似三角形嗎？（2）如圖6，若∠B=∠C=∠ADE=∠α，∠α為任意角，還有相似三角形嗎？分析：等角由90°變?yōu)?0°，三角形依然相似。再變?yōu)?0o，任意角α，雖然等角的大小發(fā)生了變化，但等量關(guān)系沒(méi)變。解答：（1）∵∠B=∠C=∠ADE=50o∴∠2+∠3=130°又∵∠1+∠3=130°∴∠1=∠2∴ΔABD∽ΔDCE（2）∵∠B=∠C=∠ADE=α∴∠2+∠3=180°-α又∵∠1+∠3=180°-α∴∠1=∠2∴ΔABD∽ΔDCE小結(jié)：現(xiàn)在，我們已經(jīng)從特殊角過(guò)渡到任意角，證明在一條線上，只要有3個(gè)等角，兩邊的三角形就一定相似。這個(gè)相似的基本模型就是“一線三等角”。模型應(yīng)用打開我們的新年禮包：已知，相鄰兩條平行直線間的距離相等，若等腰直角△ABC的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)分別在這三條平行直線上，則sinα的值是（）分析：觀察這個(gè)圖形，∠α不是特殊角，要求sinα的值，首先要把角α放在一個(gè)直角三角形中，于是過(guò)點(diǎn)B作垂線，構(gòu)造直角三角形ABF。又已知△ABC是等腰直角三角形，要用到∠ACB為直角和AC=CB的特殊條件，及平行線之間的等距條件，所以分別過(guò)點(diǎn)A、B作垂線，構(gòu)造“一線三等角”的相似基本圖形。解答：由“一線三等角”，得ΔACD∽ΔCBE由AC=AB