繪遺函數(shù)的圖象

［考試要求］

1.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解

析法）表示函數(shù).

2.會(huì)畫簡單的函數(shù)圖象.

3.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問題.

［走進(jìn)教材.夯實(shí)基礎(chǔ)］回顧知識?激活技能

?梳理?必備知識

1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象

基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線，具體為：

（1）①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、

單調(diào)性、周期性、最值等）.

（2）列表（找特殊點(diǎn)：如零點(diǎn)、最值點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等）.

（3）描點(diǎn)、連線.

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

（1）平移變換

［"）+］）

上k（k>0）

移個(gè)單位

伍>。）J■3。）

提醒：“左加右減”只針對X本身，與X的系數(shù)無關(guān)，“上加下減”指的是在

./（X）整體上加減.

（2）對稱變換

①y=/U）的圖象一夫丘地迪fy=—/U）的圖象:

②y=/U）的圖象冷泄迪幻的圖象:

③丫;丹龍）的圖象原點(diǎn)對稱》v=一外一幻的圖象:

@y=a'（a>0且aWl）的圖象定于直線，"對.v=log“x（a>0且aWl）的圖

象.

⑶伸縮變換

①尸危)的圖象

a>1,橫坐標(biāo)縮短為原來的縱坐標(biāo)不變

---------\-------->y=血x)的圖象；

o<"<1,橫坐標(biāo)伸長為原褂J-L倍，縱坐標(biāo)不變

②y=/U)的圖象

0>1,縱坐標(biāo)(中長為原來的。倍,橫坐標(biāo)不變

0<“<1,縱坐橋《短為原來的0倍.橫坐標(biāo)不變y=R(x)的圖象.

(4)翻折變換

①尸於)的圖象逆E互巡邂近到上方y(tǒng)=3的圖象;

尤軸及上方部分不變

e&、伉演缶y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)⑶1、團(tuán)缶

②y=/U)的圖象--L------------------------?丫==僅1)1的Vl圖象.

原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變

［常用結(jié)論］

1.函數(shù)圖象自身的軸對稱

(1加-x)=穴幻臺函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于退對稱;

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于x=a

蛇，===次Zadul；

(3)若函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,且有/(a+x)=/S—x),則函數(shù)y=/(x)的圖

象關(guān)于直線%=至p對稱.

2.函數(shù)圖象自身的中心對稱

(1)/(—x)=函數(shù)y=j{x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；

(2)函數(shù)y=*x)的圖象關(guān)于(a,0)對稱受/(a+x)=一穴。一x)9大x)=—/(2a—x)臺

J(—x)=—fi2a+x);

(3)函數(shù)y=/U)的圖象關(guān)于點(diǎn)3,份成中心對稱包色i±?=2。二/3二口《煙

.=2匕~~也2。.

3.兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系

b-ci

⑴函數(shù)y=/(a+x)與x)的圖象關(guān)于直線一對稱(由a+x=b—x

得對稱軸方程);

(2)函數(shù)y=/(x)與y=*2a—x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱；

(3)函數(shù)y=/(x)與y=2b-A—x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,與對稱；

(4)函數(shù)y=/(x)與y=2b—/(2a—x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,份對稱.

€>激活?基本技能

一'易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)函數(shù)y=/U—尤)的圖象，可由y=_A—x)的圖象向左平移1個(gè)單位得到.

()

(2)若函數(shù)y=/(x)滿足/(l+x)=/U—x),則函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=l對

稱.()

(3)當(dāng)尤e((),+8)時(shí)，函數(shù)y=*x|)的圖象與y=［/U)|的圖象相同.()

(4)函數(shù)y=/(x)與y=—/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.()

［答案］(1)X(2)V(3)X(4)X

二、教材習(xí)題衍生

1.函數(shù)應(yīng)D=:一九的圖象關(guān)于()

A.y軸對稱B.直線y=-x對稱

C.坐標(biāo)原點(diǎn)對稱D.直線y=x對稱

c「.7U)=；-x是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.］

2.函數(shù)y=7看的圖象大致為()

A［根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)排除C、D選項(xiàng)，又?.”>()時(shí)，y>0,排除B,故選

A.]

3.定義max{a,b,c}為a,h,c中的最大值，設(shè)y=max{2\2x—3,6—x},

則y的最小值是()

A.2B.3

C.4D.6

C［畫出y=max{2",2x—'3,6—x}的示意圖，如圖所示.由圖可知，y的最小

值為22=6—2=4,故選C.

4.已知a>0且aWl,函數(shù)y=k)g/,y—ax,y=x+a在同一坐標(biāo)系中的圖

象可能是()

C［因?yàn)楹瘮?shù)y="與y=log“x的圖象關(guān)于直線y=x對稱，再由函數(shù))="

的圖象過點(diǎn)(0,1),y=log“x的圖象過點(diǎn)(1,0),觀察圖象知，只有C正確，故選C.］

［細(xì)研考點(diǎn)?突破題型］重難解惑直擊高考

□考點(diǎn)一作出函數(shù)的圖象4題組通關(guān)

作出下列函數(shù)的圖象.

(l)y=Q);(2)y=|log2(x+l)|；

2x—1

(3)尸不7；(4)y=x2-2|x|-l.

［解］(1)先作出的圖象，保留/=(!)'圖象中x?0的部分，再作出y

kl

的圖象中部分關(guān)于)，軸的對稱部分，即得；

=QJx>0>=()的圖象，如圖①實(shí)

線部分.

(2)將函數(shù)y=log2X的圖象向左平移一個(gè)單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻

折上去，即可得到函數(shù)y=|log2(x+l)|的圖象，如圖②.

—111

(3)??,)=-ZT=2+=,故函數(shù)圖象可由圖象向右平移1個(gè)單位，再

X1X1X

向上平移2個(gè)單位得到，如圖③.

%2—2x—1

(4)?,？=<_,'1'且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出［0,+8)

^+2x—1,x<0,

上的圖象，再根據(jù)對稱性作出(一8,0)上的圖象，得圖象如圖④.

畬反思領(lǐng)悟圖象變換法作函數(shù)的圖象

(1)熟練掌握幾種基本初等函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函

數(shù)、對數(shù)函數(shù)、嘉函數(shù)、形如y=x+(的函數(shù).

(2)若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱和伸縮

得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序.

■考點(diǎn)二函數(shù)圖象的辨識枷生共研

［典例1］(1)(2021.浙江高考)已知函數(shù)段)=f+(,g(x)=sinx,則圖象為圖

示的函數(shù)可能是()

A.y=/U)+g(x)—(B.y=*x)—g(x)一(

g(x)

c.y=?r)ga)D.y=

段)

［真題衍生］F

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：''數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)\

時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)

習(xí)和研究中，有時(shí)可憑借函數(shù)的圖象分析函數(shù)解析式的特"廠

征.已知函數(shù)7U）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)7U）的解析式可能為（）

A./（x）=lnW+cosxB.y（x）=ln|x|—sinx

C./（x）=ln團(tuán)一cosxD.y（x）=ln|x|+sinx

B［由題干中函數(shù)圖象可知其對應(yīng)的函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，而A,C中的函

數(shù)為偶函數(shù),故排除AC;

設(shè)題干中函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為X\,XI,且Xl<0<X2,則

對于B,令y=ln|x|—sin尤=0,即ln|x|=sinx,

作出y=ln|x|與y=sinx的大致圖象，如圖所示：

由圖象可知，函數(shù)y=ln|x|—sinx的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足xi<0<t2

且陽|42,故B選項(xiàng)符合題意；

對于D,令y=ln|x|+sinx=0,即ln|x|=-sinx,

作出y=ln國與y=-sinx的大致圖象，如圖所示：

由圖象可知，函數(shù)y=ln兇+sinx的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足xi<0<X2

且比|>尤2,故D選項(xiàng)不符合題意.故選B.］

⑵已知定義在區(qū)間［0,2］上的函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，則y=-/（2—x）的

圖象為（）在加

(1)D(2)B[(1)易知函數(shù)/(x)=W+(是偶函數(shù)，g(x)=sinx是奇函數(shù)，給出

的圖象對應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù).選項(xiàng)A,y=/(x)+g(x)—+sinx為非奇非偶函

數(shù)，不符合題意，排除A;選項(xiàng)B,y=/(x)—g(x)——sinx也為非奇非偶函

數(shù)，不符合題意，排除B;因?yàn)楫?dāng)xd(O,+8)時(shí)，y(x)單調(diào)遞增，且/(x)>0,當(dāng)

尤e(0,習(xí)時(shí)，g。)單調(diào)遞增，且g(x)>0,所以y=?x)g(x)在(0,習(xí)上單調(diào)遞增，

由圖象可知所求函數(shù)在(0,點(diǎn))上不單調(diào)，排除C.故選D.

(2)法一(圖象變換法)：作出與函數(shù))，=/)的圖象關(guān)于y軸對稱的圖形得到函

數(shù)y=/(—x)的圖象，再把得到的圖象向右平移2個(gè)單位，得到函數(shù)y=/(2—x)的

圖象，再作出與此圖象關(guān)于x軸對稱的圖形，得到y(tǒng)=-/(2—x)的圖象，故選B.

法二(特殊值驗(yàn)證)：當(dāng)x=0時(shí)，一42—?=-/(2)=—1;當(dāng)x=l時(shí)，-4I

-x)=-/(l)=-1.

觀察各選項(xiàng)可知，故選B.]

畬反思領(lǐng)悟辨析函數(shù)圖象的入手點(diǎn)

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上

下位置.

⑵從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.

⑶從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

(4)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢.

⑸從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

%3

1.(1)(2021.山東濟(jì)南模擬涵數(shù)於)=黃不"的圖象大致是()

nx.\h

⑵函數(shù)yu)=屋中的圖象如圖所示,則下列結(jié)論成立的是(

H十)

A.40,b>Q,c<QB.a<0,b>Q,c>Q

C.a<Q,h>0,c<QD.?<0,b<0,c<0

(1)D(2)C[⑴由于x<0時(shí)，y(x)<0,排除A,C,

而函數(shù)在y軸右側(cè))=/增長速度先比y=3*快，而后比y=3"慢，排除B,

故選D.

ar+方

(2)由犬x)=及圖象可知，X#—C,-c>0,則cVO;當(dāng)x=0時(shí)，式0)

(x+c)2

A>0,所以Z?>0;當(dāng)y=0時(shí)，ax+b=O,所以x=—，>0,所以。<0.故

0,b>0,cVO.故選C.]

□考點(diǎn)三函數(shù)圖象的應(yīng)用，多維探究

考向1研究函數(shù)的性質(zhì)

Q,aWb,

「典例2—1](多選)對任意兩個(gè)實(shí)數(shù)。，b,定義min{”，b}=\

b9a>b.

若?x)=2—A2,gq)=f,下列關(guān)于函數(shù)F(x)=min伏x),g(x)｝的說法正確的是

()

A.函數(shù)尸㈤是偶函數(shù)

B.方程F(x)=O有三個(gè)解

C.函數(shù)網(wǎng)x)在區(qū)間LL1］上單調(diào)遞增

D.函數(shù)f(x)有4個(gè)單調(diào)區(qū)間

ABD［根據(jù)函數(shù)凡6=2—/與g(x)=/,畫出函數(shù)尸(x)=min｛./(x),g(x)｝的

圖象，如圖.由圖象可知，函數(shù)F(x)=min伏x),g(x)｝關(guān)于y軸對稱，

所以A項(xiàng)正確；函數(shù)尸(x)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，所以方程F(x)=O有三

個(gè)解，所以B項(xiàng)正確；函數(shù)尸(x)在(-8,一“上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞

減，在［0,1］上單調(diào)遞增，在［1,+8)上單調(diào)遞減，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確.］

考向2解不等式

［典例2—2］已知函數(shù)式x)=2,—x—l,則不等式?r)>0的解集是()

A.(-1,1)B.(—8,-1)U(1,+8)

C.(0,1)D.(—8,Q)U(1,+oo)

D［/U)>002、>x+l,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出

y|?/h(x)=2*

/?(x)=2',g(x)=x+l的圖象，如圖所示，兩圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為2，/

A(0,1)和8(1,2),

/0\~3?

觀察圖象可知不等式危)>0的解集為(一8,o)u(i,+/I：

g(x)=x+l1

8),故選D.］

考向3求參數(shù)的取值范圍

［典例2—3］(1)已知函數(shù)y(x)=|x-2|+l,g(x)=Qc.若方程/(x)=g(x)有兩個(gè)

不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)攵的取值范圍是.

(2)已知函數(shù)兀4］,若直線y=a與函數(shù)_/(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)A,B,

C,它們的橫坐標(biāo)分別為XI，X2,X3，則*1+尤2十x3的取值范圍是.

(1)［1，1)(2)(8,6+2啦)［(1)先作出函數(shù).穴尤)=打一2|+1的圖象，如圖所

示，當(dāng)直線g(x)=fcr與直線A8平行時(shí)，斜率為1,當(dāng)

直線g(x)="過A點(diǎn)時(shí)，斜率為g,故兀x)=g(x)有兩

個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，左的取值范圍為g,1).

(x—2戶-4,x24,

(2)/(尤)=x|x—4|=彳-,

〃l-(x-2)2+4,X<4,

其圖象如圖所示.

由圖象可得汨+及=4,4VX3<2+2吸，

所以8Vxi+及+的V6+2啦.]

傘反思領(lǐng)悟函數(shù)圖象的應(yīng)用類型及求解策略

(1)利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，對于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖

象的函數(shù)，其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點(diǎn))常借助于圖象

研