第七篇立體幾何

第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖

［最新考綱］

1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡

單物體的結(jié)構(gòu).

2.能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡單組合)的三視圖，能識別

上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.

3.會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形

的不同表示形式.

4.會畫某些建筑物的三視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴格

要求).

診斷，基礎(chǔ)知識由?理△深夯基固本

知識梳理

1.多面體的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱的側(cè)棱都平行且相等,上下底面是全等且平行的多邊形.

(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共頂點的三角形.

(3)棱臺可由平行于底血的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形.

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

(1)圓錐可以由直角三角形繞其任一直角邊旋轉(zhuǎn)得到.

(2)圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓

錐底面的平面截圓錐得到.

(3)球可以山半圓面或圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)得到.

3.空間幾何體的三視圖

空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平

面圖形的形狀和大小是完全相同的，三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖.

4.空間幾何體的直觀圖

空間兒何體的宜觀圖常用斜二?畫法來畫，其規(guī)則是：

⑴原圖形中“軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，/軸、＞軸的夾角為45°(或135。)，

z'軸與/軸、y'軸所在平面垂直.

(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線

段在直觀圖中保持原長度不變，平行于/軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?

辨析感悟

1.對棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征的認識

（1）有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的兒何體是棱柱.（X）

（2）有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的兒何體是棱錐.（X）

（3）棱臺是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分.（J）

2.對圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征的認識

（4）夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是圓柱.（X）

（5）上下底面是兩個平行的圓面的旋轉(zhuǎn)體是圓臺.（X）

（6）用一個平面去截-?個球，截面是一個圓面.（J）

3.對直觀圖和三視圖的畫法的理解

（7）在用斜二測畫法畫水平放置的時，若//的兩邊分別平行于x軸和y軸，且N/=90°,

則在直觀圖中NN=45°.（X）

（8）（教材習(xí)題改編）正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三個視圖均相同.（X）

［感悟?提升］

1.兩點提醒一是從棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺的定義入手，借助幾何模型強

畬

化空間幾何體心力特征.如⑴中例如以；（2）中例如.

二是圖形中與海、y軸、z軸都不平行的線段可通過確定端點的辦法來解，即過端點作坐

標軸的平行線段，再借助所作的平行線段來確定端點在直觀圖中的位置.如（7）.

2.一個防范三視圖的長度特征：“長對正、寬相等，高平齊”，即正視圖和側(cè)視圖一樣

高、正視圖和俯視圖一樣長，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬.若相鄰兩物體的表面相交，表面的交

線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實、虛線的畫法.如（8）中正方體與球各自的三視

圖相同，但圓錐的不同.

學(xué)生用書第106頁

突破-高頻考點以例求法舉反三

考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

【例1】給出下列四個命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；

②底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；

③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；

④棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.

其中正確命題的個數(shù)是（）.

A.0B.1C.2D.3

解析①不一,定，只有這兩點的連線平行于軸時才是母線；②正確；③錯誤.當(dāng)以斜邊所在直

線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐.如圖所示，它是由兩個同

底圓錐組成的幾何體；④錯誤，棱價的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延

長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相等.

答案B

規(guī)律方法(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何

模型，在條件不變的情況卜變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)

題意判定.

⑵通過舉反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.

【訓(xùn)練1】給出下列四個命題：

①有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；

②側(cè)血都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；

③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體；

④若有兩個側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱.

其中錯誤的命題的序號是.

解析認識棱柱一般要從側(cè)棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析,故①③

都不準確，②中對等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明，故也不正確，④平行六面體的兩個

相對側(cè)面也可能與底面垂直且互相平行，故④也不正確.

答案①②③④

考點二由空間兒何體的直觀圖識別三視圖

[例2](2013?新課標全國U卷)一個四面體的頂點在空間直角坐標系0-xyz中的坐標分

別是(1,0,1),(1,1,0)，(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時，以z公平面

為投影面，則得到正視圖可以為().

AD

審題路線在空間直角坐標系中畫出四面體今以Z公平面為投影面,可得正視圖.

解析在空間直角坐標系中，先畫出四面體仆4比1的直觀圖，如圖，設(shè)伏0,0,0）,4（1,0,1）,

庾1,1,0）,以0,1,1）,將以0,A,B,C為頂點的四面體被還原成一正方體后，由于以，8G

所以該幾何體以z公平面為投影面的正視圖為A.

答案A

規(guī)律方法空間幾何體的三視圖是分別從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法

得到的三個平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖時，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底

面，然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征,調(diào)整實線和虛線所對應(yīng)的棱、

面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果.

【訓(xùn)練2】（2014?濟寧一模）點胴"分別是正方體施力一4笈G4的棱45,44的中點，

用過4M/V和〃，N,G的兩個截面截去正方體的兩個角后得到的幾何體如圖1,則該幾何

體的正視圖，側(cè)視圖、俯視圖依次為圖2中的（）.

A.①②③B.②③④C.①③④D.②④③

解析由正視圖的定義可知；點4B,區(qū)在后面的投影點分別是點。，C,G,線段4V在后

面的投影面上的投影是以。為端點且與線段制平行且相等的線段，即正視圖為正方形，另

外線段4V在后面的投影線要畫成實線，被遮擋的線段〃G要畫成虛線，正視圖為②；同理

可得側(cè)視圖為③，俯視圖為④.

答案B

考點三由空間幾何體的三視圖還原直觀圖

【例3】（1）（2013?四川卷）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是

（）.

(2)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是().

解析(1)由于俯視圖是兩個圓，所以排除A,B,C,故選D.

(2)A,B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，答案選D.

答案(1)D(2)D

學(xué)生用書第107頁

規(guī)律方法在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要從三個視圖綜合考慮，根據(jù)三視

圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線.在

還原空間幾何體實際形狀時，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進行綜合考慮.

【訓(xùn)練3］若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是().

解析所給選項中，A,C選項的正視圖、俯視圖不符合，D選項的側(cè)視圖不符合，只有選項

B符合.

答案B

|課堂小結(jié)|

1.棱柱、棱錐要掌握各部分的結(jié)構(gòu)特征，計算問題往往轉(zhuǎn)化到一個三角形中進行解決.

2.旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”特點，弄清底面、側(cè)面及展開圖形狀.

3.三視圖畫法：(1)實虛線的畫法：分界線和可見輪廓線用實線，看不見的輪廓線用虛線；

(2)理解“長對正、寬平齊、高相

等”.

培養(yǎng)-解題能力教你斛睡提升能力

易錯辨析7——三視圖識圖不準致誤

【典例】（2012?陜西卷）將正方體（如圖1所示）截去兩個三棱錐，得到圖2所示的幾何體,

則該幾何體的側(cè)視圖為（）.

［錯解］選A或D.

［錯因］致錯原因是根據(jù)提示觀測位置確定三視圖時其實質(zhì)是正投影,將幾何體中的可見輪

廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線為虛線，錯選A或D都是沒有抓住看到的輪廓線在面

上的投影位置，從而導(dǎo)致失誤.

［正解］還原正方體后，將4,D,/三點分別向正方體右側(cè)面作垂線，ZU的射影為G8,

且為實線，6c被遮擋應(yīng)為虛線.故選B.

［答案］B

［防范措施］空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得

到的三個平面投影圖.因此在分析空間幾何體的三視圖問題時，就要抓住正投影，結(jié)合具體

問題和空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征進行解答.

【自主體驗】

（2014?東北三校模擬）如圖，多面體/比》一訪;的底面48切為正方形，F(xiàn)C=Gg2EA,其俯

視圖如下，則其正視圖和側(cè)視圖正確的是（）.

俯視圖

正視圖側(cè)視圖正視圖惻視圖

正視圖側(cè)視圖正視圖側(cè)視圖

CD

解析注意必跖在平面微/上的投影為實線，且由己知長度關(guān)系確定投影位置，排除A,

C選項，觀察B,D選項，側(cè)視圖是指光線從幾何體的左面向右面正投影，則8G,孫、的投影

為虛線，故選D.

答案D

課時?題組訓(xùn)練階悌訓(xùn)練練出高分

對應(yīng)學(xué)生用書P307

基礎(chǔ)鞏固題組

（建議用時:40分鐘）

一、選擇題

1.一個棱柱是正四棱柱的條件是（）.

A.底面是正方形，有兩個側(cè)面是矩形

B.底面是正方形，有兩個側(cè)面垂直于底面

C.底面是菱形，具有一個頂點處的三條樓兩兩垂直

D.每個側(cè)面都是全等矩形的四棱柱

解析A,B兩選項中側(cè)樓與底面不一定垂直，D選項中底面四邊形不一定為正方形，故選

C.

答案C

2.（2014?福州模擬）沿一個正方體三個面的對角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的

側(cè)視圖為（）.

解析給幾何體的各頂點標上字母，如圖1.46在側(cè)投影面上的投影重合，C,G在側(cè)投影

面上的投影重合，幾何體在側(cè)投影面上的投影及把側(cè)投影面展平后的情形如圖2所示，故正

確選項為B（而不是A）.

B2

答案B

3.下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是（）.

A.①②B.①③C.①④D.②④

解析正方體的三視圖都是正方形，不合題意；圓錐的正視圖和側(cè)視圖都是等腰三角形，俯

視圖是圓，符合題意；三棱臺的正視圖和側(cè)視圖、俯視圖各不相同，不合題意；正四棱錐的

正視圖和側(cè)視圖都是三角形，而俯視圖是正方形，符合題意，所以②④正確.

答案D

4.（2013?汕頭二模）如圖，某簡單幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，且其

體積為彳，則該幾何體的俯視圖可以是（）.

□□

正視圖側(cè)視圖

ABCD

解析若該幾何體的俯視是選項A,則其體積為1,不滿足題意；由正視圖、側(cè)視圖可知俯

視圖不可能是B項；若該幾何體的俯視圖是選項C,則其體積為看不符合題意；若該幾何

體的俯視圖是選項D,則其體積為《，滿足題意.

答案D

5.

AZ1

已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側(cè)視圖是有一直角

邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為（）.

解析空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖的“高平齊”，故正視圖的高一定是2,正視圖和俯視

圖“長對正”，故正視圖的底面邊長為2,根據(jù)側(cè)視圖中的直角說明這個空間兒何體最前面

的面垂直于底面，這個面遮住了后面的一個側(cè)棱，綜合以上可知，這個空間幾何體的正視圖

可能是C.

答案C

二、填空題

6.利用斜二測畫法得到的以下結(jié)論，正確的是______（寫出所有正確的序號）.

①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正

方形；④圓的直觀圖是橢圓；⑤菱形的直觀圖是菱形.

解析①正確；山原圖形中平行的線段在直觀圖中仍平行可知②正確；但是原圖形中垂直的

線段在直觀圖中?般不垂直，故③錯；④正確；⑤中原圖形中相等的線段在直觀圖中不一定

相等，故錯誤.

答案①②④

7.一個幾何體的正視圖為一個三角形，則這個幾何體可能是下列幾何體中的（填入

所有可能的幾何體前的編號）.

①三棱錐；②四棱錐；③三棱柱；④四棱柱；⑤圓錐；⑥圓柱.

解析

顯然，三棱錐、圓錐的正視圖可以是三角形；三棱柱的正視圖也可以是三角形（把三棱柱放

倒，使一側(cè)面貼在地面上，并讓其底面面對我們，如圖所示）；只要形狀合適、擺放適當(dāng)（如

一個側(cè)面正對著觀察者的正四棱錐），四棱錐的正視圖也可以是三角形（當(dāng)然，不是任意擺放

的四棱錐的正視圖都是三角形），即正視圖為三角形的幾何體完全有可能是四棱錐；不論四

棱柱、圓柱如何擺放，正視圖都不可能是三角形（可以驗證，隨意擺放的任意四棱柱的正視

圖都是四邊形，圓柱的正視圖可以是圓或四邊形）.綜上所述，應(yīng)填①②③⑤.

答案①②③⑤

AB

8.如圖，用斜二測畫法得到四邊形4及力是下底角為45°的等腰梯形，

其下底長為5,一腰長為小，則原四邊形的面積是________.

解析作廢工用于￡,CF1AB于F,貝I」［?=郎'=/厭os45°=1,；.切=獷1=3.將原圖復(fù)原

(如圖)，則原四邊形應(yīng)為直角梯形，ZJ=90°,AB=5,或=3,AD=2\f2,：.Si海的=/

X(5+3)乂2m=8啦.

答案8m

三、解答題

9.如圖所示的是一個零件的直觀圖，試畫出這個幾何體的三視圖.

解這個幾何體的三視圖如圖.

正視圖健視圖

O

10.如圖是個幾何體的正視圖和俯視圖.

(1)試判斷該幾何體是什么兒何體:

(2)畫出其側(cè)視圖，并求該平面圖形的面積;

(3)求出該幾何體的體積.

解(D正六棱錐.

(2)其側(cè)視圖如圖：其中IQ/fGADLBC,且笈的長是俯視圖中的正六邊形對邊的距離,

即比'=4a,的長是正六棱錐的高，即4七/&

A

該平面圖形的面積S=：小a?ylia—^a.

（3），=；X6X平a2x#a='|a:i.

能力提升題組

（建議用時：25分鐘）

一、選擇題

1.一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個幾何體不可以是（）.

A.球B.三棱錐C.正方體D.圓柱

解析球的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖均為圓，且形狀相同、大小相等；三棱錐的正視圖、側(cè)

視圖和俯視圖可以為全等的三角形；正方體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖可以為形狀相同、大

小相等的正方形；圓柱的正視圖、側(cè)視圖均為矩形，俯視圖為圓.

答案D

2.一個平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平面四邊形的面

積等于（）.

A.乎a?B.2^/2a2C.坐a"D.

解析根據(jù)斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則，可以得出一個平面圖形的面積S與它的

直觀圖的面積S'之間的關(guān)系是S'=坐$本題中直觀圖的面積為亂所以原平面四邊形

a

的面積等于=2^2a2.

4

答案B

二、填空題

3.

如圖所示，E,產(chǎn)分別為正方體一/歸G〃的血力加M、面比'G方的中心，則四邊形朋見?

在該正方體的面上的正投影可能是（填序號）.

解析由正投影的定義，四邊形的以￡在面44?！ㄅc面協(xié)CC上的正投影是圖③；其在面

45s4與面〃CG4上的正投影是圖②；其在面46。與面45G〃上的正投影也是②，故①④

錯誤.

答案②③

三、解答題

4.H知正三棱錐”力固的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示.

(1)畫出該三棱錐的直觀圖;

⑵求出側(cè)視圖的面積.

解(D直觀圖如圖所示:

(2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC=20

.,.側(cè)視圖中

VA=yJ甲一仁義平義2m)=2小,

5kX2,\y3X2,\^3—6.

學(xué)生用書第108頁

第2講空間幾何體的表面積與體積

［最新考綱］

1.了解球體、柱體、錐體、臺體的表面積的計算公式.

2.了解球體、柱體、錐體、臺體的體積計算公

式.

診斷.基礎(chǔ)知識由淺入深夯基固本

知識梳理

1.柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積

面積體積

圓柱S側(cè)=2nrhV=Sh=nrh

112

V=qSh=qJirh

圓錐S-=nrl

JTr

/=；(s|：+S卜+.S上S卜)力=1"(H+z§+rir)A

圓臺Sm=n(ri+12)12

oo

直棱柱S側(cè)=ChV=Sh

1,

正棱錐S側(cè)—~^Ch'V=~Sh

S?J=；(C+C')/1'

正棱臺r=1(5I：+SF+#W)A

o

4R

球S球面=4-腎

0

2.幾何體的表面積

(D棱柱、棱錐、棱今的我面積就是各面面積之和.

(2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形;它們的表面積等于側(cè)面積

與底面面積之和.

辨析感悟

1.柱體、錐體、臺體與球的面積

(1)圓柱的一個底面積為S,側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是2ns(X)

(2)設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為

3Jta.(X)

2.柱體、錐體、臺體的體積

(3)(教材練習(xí)改編)若一個球的體積為4#n,則它的表面積為12Jt.(V)

(4)(2013?浙江卷改編)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積等于

24cm：(V)

(5)在歐中，AB=2,6c=3,ZABC=120°,使充繞直線式1旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何

體的體積為9n.(X)

3.柱體、錐體、臺體的展開與折疊

2JI

(6)將圓心角為丁，面積為3n的扇形作為圓錐的側(cè)面，則圓錐的表面積等于4n.(。)

(7)(2014?青州模擬改編)將邊長為a的正方形465沿對角線4c折起，使爾=a,則三棱

錐〃一49C的體積為*爰(X)

［感悟?提升］

兩點注意一是求幾何體的體積，要注意分割與補形.將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形將

其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解.

二是兒何體展開、折疊問題，要抓住前后兩個圖形間的聯(lián)系，找出其中的量的關(guān)系.

學(xué)生用書第109頁

突破?高頻考點以例求法舉反三

考點一空間幾何體的表面積

［例1］(2014?日照一模)如圖是一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖，其俯

視圖是面積為隊點的矩形.則該幾何體的表面積是().

A.8B.20+84

C.16D.24+8出

解析山已知俯視圖是矩形，則該幾何體為一個三棱

柱，根據(jù)三視圖的性質(zhì)，俯視圖的矩形寬為2啦，由

面積8蜴得長為4,則該兒何體的表面積為S=2X；X2X2+2M><4+2X2X4=20+8也

答案B

規(guī)律方法(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積,關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進行恰當(dāng)?shù)?/p>

分析，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.

(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.

(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而

表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.

【訓(xùn)練1】一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為.

4

解析如圖所示：

該幾何體為長為4,寬為3,高為1的長方體內(nèi)部挖去一個底面半徑為1,高為1的圓柱后

剩下的部分.

，S*=(4Xl+3X4+3Xl)X2+2wX1X1—2nX『=38.

答案38

考點二空間幾何體的體積

[例2](1)(2013-新課標全國I卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

().

便I視圖

俯視圖

A.16+8nB.8+8n

C.16+16nD.8+16n

(2)(2014?福州模擬)如圖所示，已知三棱柱力比一43G的所有棱長均為1,且44」底面

ABC,則三棱錐為一回1的體積為().

A④B④

124

C近D近

L-12U-4

解析(1)由三視圖可知該幾何體由長方體和圓柱的一半組成.其中長方體的長、寬、高分

另U為4,2,2,圓柱的底面半徑為2、高為4.所以，=2X2X4+；X2?XnX4=16+8n.故選

A.

(2)三棱錐區(qū)一4陽的體積等于三棱錐4—5陽的體積，三棱錐/一合制的高為坐，底面積

為故其體積為思x半翦.

乙<)乙乙1.乙

答案(1)A(2)A

規(guī)律方法(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形

狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的

體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進行求解.

【訓(xùn)練2】如圖所示，已知￡,廠分別是棱長為a的正方體極Z—45G〃的棱44CG的

中點，求四棱錐G—名的'的體積.

過a作OJILB'D于H.

'：出〃4G,且4G4平面REDF,

獷仁平面B\EDF.

；.4G〃平面ByEDF.

：.G到平面笈網(wǎng)'的距離就是4G到平面5￡如的距離.

?平面5〃反L平面區(qū)的1，且平面平面REDF=B、D,

平面BxEDF,

即Q"為棱錐的高.

■:△B\ak/\B\D仄,

法二連接硒BxD.

設(shè)6到平面?的距離為h\,〃到平面G"的距離為h>,則h\+hz=B、D尸/a.

由題意得，==§?$△￡跖?5+公

IC]_B]EOFBrCxEF+1

考點三球與空間幾何體的接、切問題

[例3](1)(2013-福建卷)已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個簡單組合體，如果該組合體

的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表

面積是.

（2）（2013?遼寧卷）已知直三棱柱/8C—45G的6個頂點都在球。的球面上，若四=3,AC

=4,ABVAC,A4i=12,則球。的半徑為

A.廖

B.2①

13D.3710

C-T

審題路線（1）正方體內(nèi)接于球。正方體的體對角線長等于球的直徑力求得球的半徑。代入

球的表面積公式（注意只算球的表面積）.

（2）比為過底面力肥的截面圓的直徑，取比中點僅則球心在比的垂直平分線匕再由對

稱性求解.

解析（1）由三視圖知，棱長為2的正方體內(nèi)接于球，故正方體的體對角線長為2#,即為

球的直徑.

所以球的表面積為S=4n?（嚶）2=12”.

⑵因為在直三棱柱中四=3,〃=4,力力尸⑵ABLAC,所以a'=5,且比'為過底面寬右

的截血圓的直徑，取歐中點D,則切，底面ABC,則0在側(cè)面BCCB內(nèi),矩形6s區(qū)的對

______1Q

角線長即為球的直徑，所以西子=13,即r=萬.

答案⑴12n（2）C

學(xué)生用書第110頁

規(guī)律方法解決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵在于仔細觀察、分析，弄清相關(guān)元素的

關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準最佳角度作出截面（要使這個截面盡可能多地包含球、幾何體的各種

元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的.

【訓(xùn)練3】（2013?新課標全國I卷）如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容

器高8cm,將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,

如果不計容器的厚度，則球的體積為（）.

500n3866n

A.—~—cmB.

O3

1372n

C.-------cm'

2048n

D.—;---cm-

解析作出該球的軸截面，如圖所示，依題意BE=2cm,AE=CE=4cm,設(shè)DE=x,故AD

=2+x,因為A4=AE,解得x=3(cm),故該球的半徑49=5cm,所以/=［兀/=刈詈~

OO

(cn?).

答案A

考點四幾何體的展開與折疊問題

【例4】⑴如圖所示，在邊長為4的正方形紙片四切中，/與劭相交于。，剪去△/眼

將剩余部分沿笫勿折疊，使力，必重合，則以4B,C,D,。為頂點的四面體的體積為

(2)如圖所示，在直三棱柱45C—484中，為直角三角形，NACB=90°,/C=4,BC

=CC、=3.P是6G上一動點，則或+胡的最小值為(其中掰表示夕，4兩點沿棱

柱的表面距離).

解析(1)折疊后的四面體如圖所示.

OA,OC,如兩兩相互垂直，且OA=OC=OD=2^2,體積V=\5k筋?CW=1x|x(2*尸=呼.

(2)由題意知，把面能GC沿防展開與面446戶在一個平面上，如圖所示，連接4c即可.

則4、只C三點共線時，最小，

VZACB=90°,AC=4,BC=C\C=3,

A\By—J5="\/42+32-5,...4G=5+3=8,

.?"C=病”=也.故班的最小值為也.

規(guī)律方法(1)有關(guān)折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間

圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變.

(2)研究幾何體表面上兩點的最短距離問題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩

點間的最短距離問題.

【訓(xùn)練4】如圖為一幾何體的展開圖，其中1筋是邊長為6的正方形，加=6,0上

SC,AQ=AP,點S,D,A,0共線，點尸，D,C,7?共線，沿圖中虛線將它們折疊起來，使只

0,R,S四點重合，則需要個這樣的幾何體，可以拼成一個棱長為6的正方體.

解析由題意知，將該展開圖沿虛線折疊起來以后，得到一個四棱錐尸一4頷(如圖所示)，

其中也平面ABCD,因此該四棱錐的體積，=gx6X6X6=72,而棱長為6的正方體的體

216

積「=6X6X6=216,故需要元=3個這樣的幾何體，才能拼成一個棱長為6的正方體.

答案3

I課堂小結(jié)I

1.對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、棱臺與球的表面積的問題，要結(jié)合它們

的結(jié)構(gòu)特點與平面兒何知識來解決.

2.求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩

垂直，我們就選擇其中的一個側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來求體積.

3.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時要認真分析圖形，明確切點

和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切

點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均

在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.

培養(yǎng)?解題能力

方法優(yōu)化5一特殊點在求解幾何體的體積中的應(yīng)用

【典例】(2012?山東卷)如圖，正方體腑Z—4844的棱長為1,E,6分別為線段

8c上的點，則三棱錐〃一瓦"的體積為_______.

［一般解法］三棱錐打一曲'的體積即為三棱錐?㈤后的體積.因為反尸分別為44,B、C

上的點，所以在正方體〃中△反見的面積為定值5,尸到平面44〃〃的距離為定

T/11］_

值1,所以*P-JJJJ￡=3X2X1=6-

1

［優(yōu)美解法］后點移到/點，/點移到c點，則D^—ADC=3X2

i

X1X1X1=6，

［答案］|

［反思感悟］(1)一般解法利用了轉(zhuǎn)化思想，把三棱錐

〃一叱的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐A如6的體積，但這種解法還是難度稍大，不如采用特殊點

的解法易理解、也簡單易求.

（2）在求幾何體體積時還經(jīng)常用到等積法、割補法.

【自主體驗】

如圖，在三棱柱/以一/以G中，側(cè)棱44與側(cè)面BCCB的距離為2,側(cè)面BCCR的面積為4,

此三棱柱W—46K的體積為

B

解析補形法將三棱柱補成四棱柱，如圖所示.

記4到平面BCCB的距離為d,則d=2.

111

c：4X2=4.

則限2、二二節(jié)

B

答案4

課時?題組訓(xùn)練階悌訓(xùn)練練出高紅

對應(yīng)學(xué)生用書P309

基礎(chǔ)鞏固題組

（建議用時：40分鐘）

一、選擇題

1.（2013?廣東卷）某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱

臺的體積是（）.U

正視圖側(cè)視圖

I1____

俯視圖

14八16

A.4B.-C.-D.6

oJ

解析由四棱臺的三視圖可知該四棱臺的上底面是邊長為1的正方形；下底面是邊長為2

的正方形，高為2.山棱臺的體積公式可知該四棱臺的體積K=1（12+VFX?+22）X2=:,

故選B.

答案B

2.（2013?湖南卷）已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體

的正視圖的面積不可能等于（）.

-D4

解析由俯視圖的面積為1可知，該正方體的放置如圖所示，當(dāng)正視圖的方向與正方體的側(cè)

面垂直時，正視圖的面積最小，其值為1,當(dāng)正視圖的方向與正方體的對角面即合或4CG4

垂直時，正視圖的面積最大，其值為由于正視圖的方向不同，因此正視圖的面積Se[i,

例.故選C.

答案C

3.（2014?許昌模擬）如圖所示，一個空間兒何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形,

俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的表面積為（）.

正視圖側(cè)視圖

3

A.4nB.-nC.3冗D.2n

解析由三視圖可知，該幾何體是一-個圓柱，S表=2XmX&+JTX1X1=#

答案B

如圖，在多面體1比婀中，已知4筋是邊長為1的正方形，且△6。、均為正三角

形，EF//AB,EF=2,則該多面體的體積為（）.

A羋B.平熄D.|

oJJ/

解析如圖，分別過點46作廝的垂線，垂足分別為G,H,連接如，CH,容易求得比=

HF=2AG—GD^BH—SAMS=1=^^~,??.，=%-■+%-?■+4析版

—2-匕O>~MC=：X乎X/X2+*X1=坐.故選A.

答案A

5.（2012?新課標全國卷）平面a截球。的球面所得圓的半徑為1,球心0到平面a的距

離為班，則此球的體積為（）.

A.乖貝B.473C.4mleI）.6布加

解析

如圖，設(shè)截面圓的圓心為0'為截面圓上任?點，貝IJ00'=巾,O'M=\,：.0M=

q小?+1=#,即球的半徑為水,.?./=["（m尸=4乖匕

O

答案B

二、填空題

6.（2013?遼寧卷）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是

解析由三視圖可知該幾何體是一個圓柱內(nèi)部挖去一個正四棱柱，圓柱底面圓半徑為2,高

為4,故體積為16h正四棱柱底面邊長為2,高為4,故體積為16,所以幾何體的體積為

16JI-16.

答案16n-16

7.（2013?陜西卷）某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為

惻視圖

俯視圖

11,,n

解析該幾何體為一個半圓錐，故其體積為r=-X-XItX12X22=—

n

答案五

8.（2013?江蘇卷）如圖，在三棱柱4由G—4r中，I）,E,6分別是4?,AC,44的中點,

設(shè)三棱錐廠一/龍的體積為九三棱柱4夕。一4a'的體積為則匕：K=

解析設(shè)三棱柱484—4%的高為力，底面三角形//的面積為S,則

=5的,即匕：Vi—1：24.

答案1：24

三、解答題

9.如圖,已知某幾何體的三視圖如下（單位:cm）：

I:

(1)畫出這個幾何體的直觀圖(不要求寫畫法);

(2)求這個幾何體的表面積及體積.

(1)這個幾何體的直觀圖如圖所示.

(2)這個幾何體可看成是正方體4G及直三棱柱6G上44—的組合體.

由用產(chǎn)9=:cm,AxDx=AD=2cm,可得力」故所求幾何體的表面積

5=5X22+2X2X^/2+2X1X(^2)2=22+472(cm2),

體積^23+1X(-72)2X2-10(cm3).

10.有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為r的鐵球,

并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時容器中水的深度.

解如圖所示，作出軸截面，因軸截面是正三角形，根據(jù)切線性質(zhì)知當(dāng)球在容器內(nèi)時，水的

深度為3r,水面半徑1%的長為十八則容器內(nèi)水的體積為

V=K,?-(小r)??3r-

將球取出后，設(shè)容器中水的深度為力，

則水面圓的半徑為號4從而容器內(nèi)水的體積為

O

~3n[37^~9n由勺/，得力=郭衛(wèi)二

能力提升題組

（建議用時：25分鐘）

一、選擇題

1.已知球的直徑SC=4,A,6是該球球面上的兩點，AB=pZASC=ZBSC=30°,則棱

錐S—/成'的體積為（）.

A.3#B.2mC.mD.1

解析由題意知，如圖所示，在棱錐S-48C中，△必C,△肱都是有一個角為30°的直角

三角形，其中SC=4,所以以=替24，AC=BC=2,作血SC于〃點，連接

AD,易證SCI平面因此％-做?=<又坐X（m）”><4=m.

答案C

2.（2013?臨沂一模）具有如圖所示的正視圖和俯視圖的兒何體中，體積最大的幾何體的表

面積為（）.

______________k

H---------3--------?!

正視圖

俯裾圖

A.3B.7+3^2

7

C.-JtD.14

解析由正視圖和俯視圖可知，該幾何體可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱，或水平放

置的圓柱.由圖可知四棱柱的體積最大.四棱柱的高為1,底面邊長分別為1,3,所以表面

積為2（1X3+IX1+3X1）=14.

答案D

二、填空題

3.如圖，已知正三棱柱4?。一/心6的底面邊長為2cm、高為5cm,則一質(zhì)點自點/出發(fā),

沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達點4的最短路線的長為(cm).

解析根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個相同的三棱柱，然后將其展開為如圖所

示的實線部分，則可知所求最短路線的長為45?+蜃=13(cm).

66

答案13

三、解答題

4.如圖1,在直角梯形4及力中，N4r=90°,CD//AB,444,Agg2,將沿

力C折起，使平面/〃d平面/比得到幾何體丘腦如圖2所示.

(1)求證：比，平面/微

(2)求幾何體a'的體積.

(1)證明在圖中，可得1C=6C=2啦，

從而AG+BC=AE,

故AC1BC,

又平面平面47G

平面ADCH平面ABC=AC,

比U平面應(yīng)茬，

；.6C_L平面ACD.

⑵解由⑴可知，優(yōu)為三棱錐笈一/5的高，BC=2y[2,反。=2,二展卬=；酸"笈=4