/高考一輪專練——抽象函數(shù)1.已知函數(shù)y=f<x><x∈R.x≠0>對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)..恒有f<>=f<>+f<>,試判斷f<x>的奇偶性。2已知定義在[-2.2]上的偶函數(shù).f<x>在區(qū)間[0.2]上單調(diào)遞減.若f<1-m><f<m>,求實(shí)數(shù)m的取值范圍3.設(shè)f<x>是R上的奇函數(shù).且f<x+3>=-f<x>.求f<1998>的值。4.設(shè)函數(shù)對(duì)任意,都有,已知.求,的值.5.已知f〔x是定義在R上的函數(shù).且滿足：f〔x+2[1－f〔x]=1+f〔x.f〔1=1997.求f〔2001的值。6.設(shè)f〔x是定義R在上的函數(shù).對(duì)任意x.y∈R.有f〔x+y+f〔x-y=2f〔xf〔y且f〔0≠0.〔1求證f〔0=1；〔2求證：y=f〔x為偶函數(shù).7.已知定義在R上的偶函數(shù)y=f<x>的一個(gè)遞增區(qū)間為〔2.6.試判斷〔4.8是y=f<2-x>的遞增區(qū)間還是遞減區(qū)間？8.設(shè)f〔x是定義在R上的奇函數(shù).且對(duì)任意a.b.當(dāng)a+b≠0.都有＞0〔1若a＞b.試比較f〔a與f〔b的大??；〔2若f〔k＜0對(duì)x∈[－1.1]恒成立.求實(shí)數(shù)k的取值范圍。9.已知函數(shù)是定義在〔-∞.3]上的減函數(shù).已知對(duì)恒成立.求實(shí)數(shù)的取值范圍。10．已知函數(shù)當(dāng)時(shí).恒有.〔1求證:是奇函數(shù);〔2若.11．已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù).且對(duì)于任意的.都滿足:.〔1求的值;〔2判斷的奇偶性.并證明你的結(jié)論;〔3若,.求數(shù)列{}的前項(xiàng)和.12．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足.〔1若〔2設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù).使得.求函數(shù)的解析表達(dá)式.13．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽.對(duì)任意實(shí)數(shù)都有.且.當(dāng)時(shí),>0.〔1求;〔2求和;〔3判斷函數(shù)的單調(diào)性.并證明.14．函數(shù)的定義域?yàn)镽.并滿足以下條件：①對(duì)任意,有>0；②對(duì)任意,有；③.〔1求的值;〔2求證:在R上是單調(diào)減函數(shù);〔3若且.求證：.15．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,且當(dāng)時(shí),.〔1證明:;〔2證明:在R上單調(diào)遞減;〔3設(shè)A=,B={},若=,試確定的取值范圍.16．已知函數(shù)是定義在R上的增函數(shù),設(shè)F.〔1用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:是R上的增函數(shù);〔2證明:函數(shù)=的圖象關(guān)于點(diǎn)<成中心對(duì)稱圖形.17．已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).且它的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.〔1求的值；〔2證明：函數(shù)是周期函數(shù);〔3若求當(dāng)時(shí).函數(shù)的解析式.并畫出滿足條件的函數(shù)至少一個(gè)周期的圖象。18．函數(shù)對(duì)于x>0有意義.且滿足條件減函數(shù)?！?證明：；〔2若成立.求x的取值范圍。19．設(shè)函數(shù)在上滿足..且在閉區(qū)間［0.7］上.只有．〔1試判斷函數(shù)的奇偶性；〔2試求方程=0在閉區(qū)間［-2005.2005］上的根的個(gè)數(shù).并證明你的結(jié)論．20.已知函數(shù)f〔x對(duì)任意實(shí)數(shù)x.y.均有f〔x＋y＝f〔x＋f〔y.且當(dāng)x＞0時(shí).f〔x＞0.f〔－1＝－2.求f〔x在區(qū)間[－2.1]上的值域。21.已知函數(shù)f〔x對(duì)任意.滿足條件f〔x＋f〔y＝2+f〔x＋y.且當(dāng)x＞0時(shí).f〔x＞2.f〔3＝5.求不等式的解。22.是否存在函數(shù)f〔x.使下列三個(gè)條件：①f〔x＞0.x∈N；②；③f〔2＝4。同時(shí)成立？若存在.求出f〔x的解析式.如不存在.說(shuō)明理由。答案：1.解：令=-1.=x.得f<-x>=f<-1>+f<x>……①為了求f<-1>的值.令=1.=-1.則f<-1>=f<1>+f<-1>,即f<1>=0,再令==-1得f<1>=f<-1>+f<-1>=2f<-1>∴f<-1>=0代入①式得f<-x>=f<x>,可得f<x>是一個(gè)偶函數(shù)。2.分析：根據(jù)函數(shù)的定義域.-m.m∈[-2,2].但是1-m和m分別在[-2.0]和[0.2]的哪個(gè)區(qū)間內(nèi)呢？如果就此討論.將十分復(fù)雜.如果注意到偶函數(shù).則f<x>有性質(zhì)f〔-x>=f<x>=f<|x|>.就可避免一場(chǎng)大規(guī)模討論。解：∵f<x>是偶函數(shù).f<1-m><f<m>可得.∴f<x>在[0.2]上是單調(diào)遞減的.于是.即化簡(jiǎn)得-1≤m<。3.解：因?yàn)閒<x+3>=-f<x>.所以f<x+6>=f<<x+3>+3>=-f<x+3>=f<x>.故6是函數(shù)f<x>的一個(gè)周期。又f<x>是奇函數(shù).且在x＝0處有定義.所以f<x>=0從而f<1998>=f<6×333>=f<0>=0。4.解：由f〔=f〔.知f〔x=f〔≥0.x.f〔1=2.同理可得5.解：從自變量值2001和1進(jìn)行比較及根據(jù)已知條件來(lái)看.易聯(lián)想到函數(shù)f〔x是周期函數(shù)。由條件得f〔x≠1.故f〔x+2=f〔x+4=.所以f〔x+8=.所以f〔x是以8為周期的周期函數(shù).從而f〔2001=f〔1=1997說(shuō)明：這類問(wèn)題出現(xiàn)應(yīng)緊扣已知條件.需用數(shù)值或變量來(lái)迭代變換.經(jīng)過(guò)有限次迭代可直接求出結(jié)果.或者在迭代過(guò)程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性.利用周期性使問(wèn)題巧妙獲解。6.證明：〔1問(wèn)題為求函數(shù)值.只需令x=y=0即可得?！?問(wèn)題中令x=0即得f〔y+f〔-y=2f〔0f〔y.且f〔0=1.所以f〔y+f〔-y=2f〔y.因此y=f〔x為偶函數(shù).說(shuō)明：這類問(wèn)題應(yīng)抓住f〔x與f〔-x的關(guān)系.通過(guò)已知條件中等式進(jìn)行變量賦值。7.解：由y=f<x>是偶函數(shù)且在〔2.6上遞增可知.y=f<x>在〔－6.－2上遞減。令u=2-x.則當(dāng)x∈<4,8>時(shí).u是減函數(shù)且u∈<-6,-2>.而f<u>在〔－6.－2上遞減.故y=f<2-x>在〔4.8上遞增。所以〔4.8是y=f<2-x>的單調(diào)遞增區(qū)間。8.解：〔1.因?yàn)閍＞b.所以a-b＞0.由題意得＞0.所以f〔a+f〔－b＞0.又f〔x是定義在R上的奇函數(shù).所以f〔－b=－f〔b.f〔a－f〔b＞0.即f〔a＞f〔b〔2.由〔1知f〔x在R上是單調(diào)遞增函數(shù).又f＋f＜0.得f＜f.故＜.所以k＜令t＝,所以k＜t+.而t+≥2.即k＜2－19.解：等價(jià)于10.〔1證明：令.得令.則∴∴是奇函數(shù)?！?∵又∵11.〔1解：令.則令.則〔2證明：令.則.∵.∴令.則∴是奇函數(shù)?！?當(dāng)時(shí)..令.則故.所以∴∵∴.故∴12.解：<1>∵對(duì)任意.函數(shù)滿足.且∴∵.∴=f<a>=a<2>∵對(duì)任意.函數(shù)滿足,有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使得∴對(duì)任意.有上式中.令.則∵.故若.則.則.但方程有兩個(gè)不相同的實(shí)根與題設(shè)茅盾.故若.則.則.此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)根.即有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使得∴13.〔1解：令.則〔2∵∴∴數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,故==<3>任取,則=∴∴函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù).14.<1>解:∵對(duì)任意,有>0,∴令得,<2>任取任取,則令,故∵函數(shù)的定義域?yàn)镽,并滿足以下條件:①對(duì)任意,有>0;②對(duì)任意,有;③∴∴∴函數(shù)是R上的單調(diào)減函數(shù).<3>由〔1〔2知..∴∵∴.而∴∴15.<1>證明:令,則∵當(dāng)時(shí),,故,∴,∵當(dāng)時(shí),∴當(dāng)時(shí),,則<2>證明:任取,則∵,∴0<,故<0,又∵∴,故∴函數(shù)是R上的單調(diào)減函數(shù).<3>∵由〔2知.是R上的減函數(shù).∴∵B={}=又∵.∴方程組無(wú)解.即直線的內(nèi)部無(wú)公共點(diǎn)∴.故的取值范圍是-16.<1>任取,則F=[∵,∴∴又∵函數(shù)是定義在R上的增函數(shù),∴,故∴>0∴是R上的增函數(shù);<2>設(shè)為函數(shù)=的圖象上任一點(diǎn),則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)<的對(duì)稱點(diǎn)為N<>,則,故∵把代入F得,=-∴函數(shù)=的圖象關(guān)于點(diǎn)<成中心對(duì)稱圖形.17.<1>解:∵為R上的奇函數(shù),∴對(duì)任意都有,令則∴=0<2>證明:∵為R上的奇函數(shù),∴對(duì)任意都有,∵的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,∴對(duì)任意都有,∴用代得,∴,即∴是周期函數(shù),4是其周期.<3>當(dāng)時(shí).當(dāng)時(shí)..當(dāng)時(shí)..∴圖象如下：y-2-10123456x18.<1>證明：令.則.故〔2∵.令.則.∴∴∴成立的x的取值范圍是。19．解:〔1由f<2-x>=f<2+x>,f<7-x>=f<7+x>得函數(shù)的對(duì)稱軸為,從而知函數(shù)不是奇函數(shù),由,從而知函數(shù)的周期為又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);<2>由又故f<x>在[0,10]和[-10,0]上均有有兩個(gè)解,從而可知函數(shù)在[0,2005]上有402個(gè)解,在[-2005.0]上有400個(gè)解,所以函數(shù)在[-2005,2005]上有802個(gè)解.20.解：設(shè).∵當(dāng).∴.∵.∴.即.∴f〔x為增函數(shù)。在條件中.令y＝－x.則.再令x＝y(tǒng)＝0.則f〔0＝2f〔0.∴f〔0＝0.故f〔－x＝f〔x.f〔x為奇函數(shù).∴f〔1＝－f〔－1＝2.又f〔－2＝2f〔－1＝－4∴f〔x的值域?yàn)椋郏?.2］。21.