湖南省懷化市太陽坪中學2021年高三數(shù)學文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（

）A．3

B．2

C．

D．參考答案：B2.定義在上的函數(shù)滿足：，當時，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略3.已知三棱柱的側(cè)棱在下底面的射影與平行,若與底面所成角為,且,則的余弦值為

A.

B.

C.

D.

參考答案：C略4.在復平面上的平行四邊形ABCD中，向量、對應的復數(shù)分別為、，則向量對應的復數(shù)為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D5.將4名大學生分配到A，B，C三個不同的學校實習，每個學校至少分配一人，若甲要求不到A學校，則不同的分配方案共有（）A．36種 B．30種 C．24種 D．20種參考答案：C【考點】D3：計數(shù)原理的應用．【分析】根據(jù)題意中甲要求不到A學校，分析可得對甲有2種不同的分配方法，進而對剩余的三人分情況討論，①其中有一個人與甲在同一個學校，②沒有人與甲在同一個學校，易得其情況數(shù)目，最后由分步計數(shù)原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，首先分配甲，有2種方法，再分配其余的三人：分兩種情況，①其中有一個人與甲在同一個學校，有A33=6種情況，②沒有人與甲在同一個學校，則有C32?A22=6種情況；則若甲要求不到A學校，則不同的分配方案有2×（6+6）=24種；故選：C．6.如圖，將一張邊長為1的正方形紙ABCD折疊，使得點B始終落在邊AD上，則折起部分面積的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】相似三角形的性質(zhì)．【專題】選作題；推理和證明．【分析】先證明△MQB∽△B′AB，再利用相似三角形的性質(zhì)得出C'N的長，再表示出求出梯形MNC′B′面積，進而求出最小值．【解答】解：如圖，過N作NR⊥AB與R，則RN=BC=1，連BB′，交MN于Q．則由折疊知，△MBQ與△MB′Q關(guān)于直線MN對稱，即△MBQ≌△MB′Q，有BQ=B′Q，MB=MB′，MQ⊥BB′．∵∠A=∠MQB，∠ABQ=∠ABB′，∴△MQB∽△B′AB，∴．設AB′=x，則BB′=，BQ=，代入上式得：BM=B'M=（1+x2）．∵∠MNR+∠BMQ=90°，∠ABB′+∠BMQ=90°，∴∠MNR=∠ABB′，在Rt△MRN和Rt△B′AB中，∵，∴Rt△MRN≌Rt△B′AB（ASA），∴MR=AB′=x．故C'N=CN=BR=MB﹣MR=（1+x2）﹣x=（x﹣1）2．∴S梯形MNC′B′=[（x﹣1）2+（x2+1）]×1=（x2﹣x+1）=（x﹣）2+，得當x=時，梯形面積最小，其最小值．故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的判定、二次函數(shù)的最值、全等三角形的判定和性質(zhì)及翻轉(zhuǎn)變換，是一道綜合題，有一定的難度，這要求學生要熟練掌握各部分知識，才能順利解答這類題目．7.等比數(shù)列{an}中的a1，a2015是函數(shù)f（x）=x3﹣4x2+4x﹣1的極值點，則log2a1+log2a2+…+log2a2015=（）A．4032 B．4030 C．2016 D．2015參考答案：D【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導數(shù)的綜合應用．【分析】利用對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)與等比數(shù)列的性質(zhì)即可求的log2a1+log2a2+…+log2a2015的值．【解答】解：f′（x）=x2﹣8x+4，∵a1、a2015是函數(shù)f（x）的極值點，∴a1、a2015是方程x2﹣8x+4=0的兩實數(shù)根，則a1?a2015=4，∴a1008=2，∴l(xiāng)og2a1+log2a2+…+log2a2015===2015，故選：D．【點評】本題考查對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)與等比數(shù)列的性質(zhì)，得到a1?a2?…?a2015是=關(guān)鍵，屬于中檔題．8.已知數(shù)列{}的前n項和為，且,

則等于

（

）A．4

B．2

C．1

D．

參考答案：A因為，所以，解得，所以，即，選A.9.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=，則f（3）的值為(

)A.-1

B.-2

C.1

D.2參考答案：B10.已知函數(shù)f（x）＝ax＋logax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值與最小值之和為loga2＋6，則a的值為()A.

B.

C.2

D.4參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)的圖象如圖所示，它與x軸在原點處相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為，則a的值為___________．參考答案：略12.命題P：“”，為

（填“真”“假”中一個字）命題參考答案：真;略13.若，則化簡后的最后結(jié)果等于____

_______．參考答案：14.已知平面四邊形ABCD為凸四邊形（凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在直線，其余各邊均在此直線的同側(cè)），且，，，，則平面四邊形ABCD面積的最大值為________．參考答案：15.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點（1，0）對稱，且當時，成立，若，，則a，b，c的從大到小排列是

參考答案：略16.不等式x2-5x+6≤0的解集為______.參考答案：由x2-5x+6≤0，得，從而的不等式x2-5x+6≤0的解集為.【點評】本題考查一元二次不等式的解法，考查簡單的運算能力.17.已知函數(shù)那么的值為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.心理學家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學興趣小組為了驗證這個結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學（男30女20），給所有同學幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學自由選擇一道題進行解答．選題情況如右表：（單位：人）

幾何題代數(shù)題總計男同學22830女同學81220總計302050（1）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關(guān)？（2）經(jīng)過多次測試后，甲每次解答一道幾何題所用的時間在5～7分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時間在6～8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率．（3）現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望EX．附表及公式P（k2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2=．參考答案：【考點】獨立性檢驗的應用；離散型隨機變量的期望與方差．【專題】綜合題；概率與統(tǒng)計．【分析】（1）根據(jù)所給的列聯(lián)表得到求觀測值所用的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入觀測值公式中，做出觀測值，同所給的臨界值表進行比較，得到所求的值所處的位置，得到結(jié)論；（2）利用面積比，求出乙比甲先解答完的概率；（3）確定X的可能值有0，1，2．依次求出相應的概率求分布列，再求期望即可．【解答】解：（1）由表中數(shù)據(jù)得K2的觀測值，所以根據(jù)統(tǒng)計有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關(guān)；（2）設甲、乙解答一道幾何題的時間分別為x、y分鐘，則基本事件滿足的區(qū)域為（如圖所示）設事件A為“乙比甲先做完此道題”則滿足的區(qū)域為x＞y，∴由幾何概型即乙比甲先解答完的概率為；（3）由題可知在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有種，其中甲、乙兩人沒有一個人被抽到有種；恰有一人被抽到有種；兩人都被抽到有種，∴X可能取值為0，1，2，，，X的分布列為：X012P∴．【點評】本題考查離散型隨機變量及其分布列、獨立性檢驗的應用，考查根據(jù)列聯(lián)表做出觀測值，根據(jù)所給的臨界值表進行比較，本題是一個綜合題．19.設函數(shù)f（x）=x2﹣mlnx，g（x）=x2﹣（m+1）x，m＞0．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當m≥1時，討論函數(shù)f（x）與g（x）圖象的交點個數(shù)．參考答案：【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；52：函數(shù)零點的判定定理．【分析】（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣x2﹣mlnx+（m+1）x的零點個數(shù)問題，通過求導，得到函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間，求出h（x）的極小值，從而求出函數(shù)h（x）的零點個數(shù)即f（x）和g（x）的交點個數(shù)．【解答】解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），m＞0，f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，∴f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增；（2）f（x）與g（x）圖象的交點個數(shù)，即函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣x2﹣mlnx+（m+1）x的零點個數(shù)問題，h′（x）=﹣，令h′（x）＞0，解得：1＜x＜m，令h′（x）＜0，解得：x＞m或x＜1，∴h（x）在（0，1）遞減，在（1，m）遞增，在（m，+∞）遞減，∴h（x）極小值=h（1）=m+＞0，∴h（x）和x軸有1個交點，即函數(shù)f（x）與g（x）圖象的交點個數(shù)是1個．20.如圖,在三棱錐中,底面，,且,點是的中點,且交于點.（I）求證:平面；（II）當時，求三棱錐的體積.

參考答案：（I）底面,,又,是的中點,,由已知,平面.……4分（II）平面

平面又又……8分而……12分21.如圖：A，B，C是橢圓的頂點，點F（c，0）為橢圓的右焦點，原點O到直線CF的距離為，且橢圓過點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若P是橢圓上除頂點外的任意一點，直線CP交x軸于點E，直線BC與AP相交于點D，連結(jié)DE．設直線AP的斜率為k，直線DE的斜率為k1，問是否存在實數(shù)λ，使得成立，若存在求出λ的值，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標準方程．【分析】（Ⅰ）推導出直線CF的方程為bx+cy﹣bc=0，由原點O到CF的距離為，橢圓過點，求出a，b，由此能求出橢圓方程．（Ⅱ）求出直線BC的方程為y=，直線AP的方程為：y=k（x﹣4），代入橢圓方程，得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣16=0，求出直線CP的方程為y=，從而得到E（，0），將直線BC與直線AP聯(lián)立，得D（，），由此能求出λ．【解答】解：（Ⅰ）由題意，得C（0，b），∴直線CF的方程為y=﹣+b，即bx+cy﹣bc=0，又原點O到CF的距離為，∴=，由b2+c2=a2整理，得a=2b，又橢圓過點，∴=1，解得a2=16，b2=4，∴橢圓方程為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知B（﹣4，0），C（0，2），故直線BC的方程為y=，∵直線AP的斜率為k，點A（4，0），∴直線AP的方程為：y=k（x﹣4），聯(lián)立，得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣16=0，又點P（xP，yp）在橢圓上，故有：4?xP=，∴xP=，，∴P（，），故直線CP的方程為y=x+2，即y=，又點E為直線CP與x軸交點，令y=0得x=，∴E（，0），將直線BC與直線AP聯(lián)立，得：，解得，∴D（，），故直線DE的斜率為：==，∴，∴λ=2．22.（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)＝lnx一x＋1，x（0，＋），g（x）＝x3一ax.（1)求曲線f(x)在點（l,f(1））處的切線方程；（2）求函數(shù)f(x)的最大值；（3）若對任意x（0，＋），總存在x2［1，2」使得f(x1）≤g(x2）成立，求a的取值范圍．參考答案：（1）,∴,∴，由導數(shù)的幾何意義知：曲線在點處的切線的斜率為0，故所求切線方程為.

……………4分（2）由（1）知：,當時