第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法一、問題的提出二、多元函數(shù)的極值和最值三、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法四、小結(jié)

思考題【實例】某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價1元，外地牌子每瓶進(jìn)價1.2元，店主估計，如果本地牌子的每瓶賣

x元，外地牌子的每瓶賣y元，則每天可賣出70-5x+4y瓶本地牌子的果汁，80+6x-7y瓶外地牌子的果汁，問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益為f

(

x,

y)

=

(

x

-

1)(70

-

5

x

+

4

y)

+

(

y

-

1.2)(80

+

6

x

-

7

y)求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.一、問題的提出進(jìn)價：1元售價：x元進(jìn)價：1.2元售價：y

元收益：x

-1元/瓶收益：y

-1.2元/瓶的圖形xy2

2ex

+

y⑴【實例】觀察二元函數(shù)z

=-播放二、多元函數(shù)的極值和最值1、【二元函數(shù)極值的定義】設(shè)函數(shù)z

=f

(x,y)在點(x0

,y0

)的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于(x0

,y0

)的點(x,y)：若滿足不等式f

(x,y)<f

(x0

,y0

)，則稱函數(shù)在(x0

,y0

)有極大值；若滿足f

(x,y)>f

(x0

,y0

)，則稱函數(shù)在(x0

,y0

)有極小值；⑵【二元函數(shù)極值的定義】橢圓拋物面x極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.【例1】函數(shù)z

=3

x2

+4

y2在(0,0)處有極小值．z(1)yO(2)(3)【例2】

函數(shù)

z

=

-雙曲拋物面（馬鞍面）x2

+y2

在(0,0)處有極大值．zyOOxyx圓錐面【例3】

函數(shù)

z

=

xy在

(0,0)

處無極值．zz=

xy112、【多元函數(shù)取得極值的條件】【定理1】（必要條件）設(shè)函數(shù)z

=f

(x,y)在點(x0

,y0

)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(x0

,y0

)處有極值，則它在該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：fx

(x0

,y0

)=0，f

y

(x0

,y0

)=0.【證】不妨設(shè)z

=f

(x,y)在點(x0

,y0

)處有極大值,則對于(x0

,y0

)的某鄰域內(nèi)任意(x,y)?(x0

,y0

)都有f

(x,y)<f

(x0

,y0

),故當(dāng)y

=y0，x

?x0

時，有f

(x,y0

)<f

(x0

,y0

),說明一元函數(shù)f

(x,y0

)在x

=x0

處有極大值,必有f

x

(

x0

,y0

)

=

0;類似地可證f

y

(

x0

,

y0

)

=

0.【推廣】如果三元函數(shù)u=f

(x,y,z)在點P(x0

,y0

,z0

)具有偏導(dǎo)數(shù)，則它在P(x0

,y0

,z0

)有極值的必要條件為fx

(

x0

,

y0

,

z0

)

=

0，

f

y

(

x0

,

y0

,

z0

)

=

0，

fz

(

x0

,

y0

,

z0

)

=

0.仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的駐點.駐點駐點可偏導(dǎo)函數(shù)極值點極值點【注意】【例如】點(0,0)是函數(shù)z

=xy的駐點，但不是極值點.舉例【問題】如何判定一個駐點是否為極值點？又

fx

(

x0

,

y0

)

=

0,令

fxx

(

x0

,

y0

)

=

A,f

y

(

x0

,

y0

)

=

0，f

xy

(

x0

,

y0

)

=

B

,

f

yy

(

x0

,

y0

)

=

C

,則f

(x,y)在點(x0

,y0

)處是否取得極值的條件如下：AC

-B2

>0時具有極值，當(dāng)A

<0時有極大值，當(dāng)A

>0時有極小值；AC

-B2

<0時沒有極值；AC

-B2

=0時可能有極值,也可能沒有極值，還需另作討論．【定理2】（充分條件）

二元函數(shù)極值的判定定理設(shè)函數(shù)z

=f

(x,y)在點(x0

,y0

)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，【補(bǔ)例4】求由方程x2

+y2

+z2

-2

x

+2

y確定的函數(shù)z

=f

(x,y)的極值【解】

（此為隱函數(shù)的極值問題）將方程兩邊分別對x,y求偏導(dǎo)2

x

+

2z

zx

-

2

-

4zx

=

0y

y2

y

+

2z

z￠+

2

-

4z￠=

0由函數(shù)取極值的必要條件知,駐點為P

(1,-1),將上方程組再分別對x,y求偏導(dǎo)數(shù),-

4z

-

10

=

0,2

-

z12

-

z1yy

PC

=

z￠

|

=xy

P,

B

=

z￠

|

=

0,xx

PA

=

z￠

|

=<

0

(z?

2),有z1

=-2,(2

-

z)2故B2

-AC

=-1函數(shù)在P

有極值將P(1,-1)代入原方程,z2

=

6,11當(dāng)z

=

-2時，

A

= >

0,4所以z

=f

(1,-1)

=-2為極小值；20,1當(dāng)z

=

6時，

A

=

-

4

<所以z

=f

(1,-1)=6為極大值.【總結(jié)】求可導(dǎo)函數(shù)z

=f

(x,y)極值的一般步驟：第一步 解方程組

f

x

(

x,

y)

=

0,求出實數(shù)解，得駐點.f

y

(

x,

y)

=

0第二步

對于每一個駐點(

x0

,

y0

)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C.第三步 定出AC

-

B

2的符號，再判定是否是極值.與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.（1）有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)求最值的一般方法

將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.3、【二元函數(shù)的最值】分為有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)求最值實際問題求最值【補(bǔ)例5】求二元函數(shù)z

=f

(x,y)=x2

y(4

-x

-y)在直線x

+y

=6，x

軸和y

軸所圍成的閉區(qū)域D

上的最大值與最小值.先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點，【解】如圖,解方程組xyox

+

y

=

6DDf

￠(

x,

y)

=

x2

(4

-

x

-

y)

-

x2

y

=

0

f

(

x,

y)

=

2

xy(4

-

x

-

y)

-

x2

y

=

0yx得區(qū)域D內(nèi)唯一駐點(2,1),且f

(2,1)=4,再求f

(x,y)在D邊界上的最值，在邊界x

=0和y

=0上f

(x,y)=0,在邊界x

+y

=6上，即y

=6

-x于是f

(x,y)=x2

(6

-x)(-2),x由

f

=

4

x(

x

-

6)

+

2

x2

=

0,得x1

=

0

(

邊界點舍去

)

,

x2

=

4

y

=

(6

-

x)

|x=4

=

2,

f

(4,2)

=

-64,比較后可知f

(2,1)

=4為最大值,f

(4,2)=-64

為最小值.xox

+

y

=

6Dx

?

(0,6)y（2）實際問題求最值實際問題中，若據(jù)問題的性質(zhì)，知道最值一定在D的內(nèi)部取得，而在D內(nèi)只有一個駐點，則可斷定該駐點處的函數(shù)值就是實際所求的最值【教材例5】某廠要用鐵板做成一個體積為2

m3的有蓋長方體水箱。問長、寬、高各取怎樣的尺寸，才能用料最省.【解】設(shè)水箱的長、寬分為x米、y米;則高為2

米xy水箱用材料面積為

A

=

2(

xy

+

y2

)xyxy2

+

x即A

=

2(

xy

+

2

+

2

) (

x

>

0,

y

>

0)x

y目標(biāo)函數(shù)即在定義域內(nèi)有唯一駐點(3

2,

3

2)故長、寬、高均為

3

2

米時，用料最省.三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果．U

(x,y)=，ln每x

+張ln磁y盤8元，1、【無條件極值與條件極值】(1)【無條件極值】對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件。［實例］小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需的物品：計算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買x張磁盤，y盒錄音［問題的實質(zhì)］求U(x,y)=ln在x

+條ln件y下的極值．8

x

+

10

y

=

200y盒錄音磁帶單價：10元x張磁盤單價：8元(2)【條件極值】對自變量有附加條件的極值。法Ⅰ:化為無條件極值如教材例5和補(bǔ)例5［條件極值的求法］法Ⅱ:拉格朗日乘數(shù)法對三元以上的函數(shù)特別有用j

(

x,

y)

=

0.解出x,y,l

，其中x,y就是可能的極值點的坐標(biāo).

fx

(

x,

y)

+

lj

x

(

x,

y)

=

0,2、【拉格朗日乘數(shù)法】⑴拉格朗日乘數(shù)法要找函數(shù)z

=f

(x,y)在條件j

(x,y)=0下的可能極值點，先構(gòu)造函數(shù)F

(x,y)=f

(x,y)+lj

(x,y)，其中l(wèi)

為某一常數(shù)，可由y

y

f

(

x,

y)

+

lj

(

x,

y)

=

0,引進(jìn)輔助函數(shù)L(

x,

y,l)

=

f

(

x,

y)

+

lj

(

x,

y)則上式恰為該函數(shù)對x、y、l的三個偏導(dǎo)數(shù)為0l拉格朗日乘子（乘數(shù)）【總結(jié)—拉格朗日乘數(shù)法】要找函數(shù)z=f

(x,y)在條件j

(x,y)=0下的可能極值點，步驟：（1）先構(gòu)造函數(shù)L(x,y,l)=f

(x,y)+lj

(x,y)，其中l(wèi)為某一常數(shù)，

fx

(

x,

y)

+

lj

x

(

x,

y)

=

0,

j

(

x,

y)

=

0.解出x,y,l

，其中x,y

就是可能的極值點的坐標(biāo)判斷該點是否為極值點（實際問題唯一、必是）y

y（2）列出

f

(

x,

y)

+

lj

(

x,

y)

=

0,稱為拉格朗日函數(shù)⑵乘數(shù)法的推廣（條件與自變量均多于兩個的情況）要找u

=f

(x,y,z,t

)在條件j

(x,y,z,t

)=0，y

(x,y,z,t

)=0下的極值，取常數(shù)l1,l2為參數(shù)，先構(gòu)造函數(shù)F(

x,

y,

z,t)

=

f

(

x,

y,

z,t)

+

l1j

(

x,

y,

z,

t

)

+

l2y

(

x,

y,

z,

t

)，f

x

(

x,

y,

z,

t

)

+

l1j

x

(

x,

y,

z,

t

)

+

l2y

x

(

x,

y,

z,

t

)

=

0

，f

y

(

x,

y,

z,

t

)

+

l1j

y

(

x,

y,

z,

t

)

+

l2y

y

(

x,

y,

z,

t

)

=

0

，fz

(

x,

y,

z,

t

)

+

l1j

z

(

x,

y,

z,

t

)

+

l2y

z

(

x,

y,

z,

t

)

=

0

，ft

(

x,

y,

z,

t

)

+

l1j

t

(

x,

y,

z,

t

)

+

l2y

t

(

x,

y,

z,

t

)

=

0

，j

(

x,

y,

z,

t

)

=

0，y

(

x,

y,

z,

t

)

=

0.由這個方程組可解出x,y,z,t

，即得極值點的坐標(biāo).【補(bǔ)例7】將正數(shù)12

分成三個正數(shù)x,y,z

之和使得u

=x

3

y2

z為最大.【解】令F

(x,y,z)=x

3

y2

z+l(x

+y

+z

-12),x

+

y

+

z

=

12zF

￠=

x3

y2

+

l

=

0yx

F

￠=

2

x3

yz

+

l

=

0F

=

3

x2

y2

z

+

l

=

0解得唯一駐點(6,4,2)，2

=

6912.42=

63max故最大值為u則多元函數(shù)的極值（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值拉格朗日乘數(shù)法—條件極值法Ⅰ:化為無條件極值［條件極值的求法］法Ⅱ:拉格朗日乘數(shù)法四、小結(jié)【思考題】若f

(x0

,y)及f

(x,y0

)在(x0

,y0

)點均取得極值，則f

(x,y)在點(x0

,y0)是否也取得極值？【思考題解答】不是.例如f

(x,y)=x2

-y2

,

y

=

0當(dāng)y

=0時，f

(x,0)=x

2

在(0,0)