梁彎曲時的變形演示文稿當(dāng)前第1頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)梁彎曲時的變形當(dāng)前第2頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)1概述(撓度和轉(zhuǎn)角)應(yīng)力變形強(qiáng)度要求剛度要求

荷載

主軸變形對加工精度的影響變形的利用：汽車的鋼板彈簧當(dāng)前第3頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)●豎向位移撓曲線豎向位移CC'→撓度●轉(zhuǎn)角撓度與轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系

xB'xF

梁變形的兩個位移度量C'BACw

wC當(dāng)前第4頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)

撓度與轉(zhuǎn)角的正負(fù)號規(guī)定：

撓度：

向下為正，反之為負(fù)

轉(zhuǎn)角：

順時針為正，反之為負(fù)→如何求撓曲線的方程式

？

當(dāng)前第5頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)2梁的撓曲線的近似微分方程

純彎曲：非純彎曲：梁撓曲線的近似微分方程

1

略去了剪力的影響

2

略去了變形高次方

當(dāng)前第6頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)wxM>0當(dāng)前第7頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)wxM<0當(dāng)前第8頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)3積分法計算梁的位移積分法

式中，C、D為積分常數(shù)，可由梁的某些截面的已知變形條件來確定，如：當(dāng)前第9頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)邊界條件

BAAB連續(xù)條件光滑條件鉸支座PABC鉸連接PDCAwx連續(xù)但不光滑當(dāng)前第10頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)

例1

圖示為一受均布荷載作用的簡支梁，梁的彎曲剛度EIz為常數(shù)。試求此梁的最大撓度wmax和兩端面的轉(zhuǎn)角A、

B。解：取如圖所示的坐標(biāo)系，彎矩方程為：FRAFRBxwBqlAxAB當(dāng)前第11頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)撓曲線的近似微分方程為：積分得：

梁的邊界條件為：xwBqlAx當(dāng)前第12頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)轉(zhuǎn)角方程式和撓度方程式分別為：xwBqlAx當(dāng)前第13頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)

例2

用積分法求位移時，圖示梁應(yīng)分幾段來列撓曲線的近似微分方程？試分別列出確定積分常數(shù)時需用的邊界條件和變形連續(xù)條件。邊界條件：變形光滑條件：

B、C、D：變形連續(xù)條件：

彎矩方程的分界點(diǎn)EIABqCEDFl/2l/2l/2l/2當(dāng)前第14頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)

靜定(組合)梁如圖所示，試分別列出確定積分常數(shù)時需用的邊界條件和變形連續(xù)條件。AlxwCBqaCBlqaAxw當(dāng)前第15頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)例3

圖示抗彎剛度為EIz的簡支梁受集中力P作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。APBLCba當(dāng)前第16頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)解：利用平衡方程求兩個支反力：顯然，AC段與CB段彎矩方程的表達(dá)式不一樣。分別列出AC、CB段彎矩方程并積分：wxFRAFRBAPBLCba當(dāng)前第17頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)AC段CB段當(dāng)前第18頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)邊界條件：支承條件連續(xù)條件光滑條件wxAPBLCba當(dāng)前第19頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)利用邊界條件解得：當(dāng)前第20頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)最大轉(zhuǎn)度從AB，（順時針）（逆時針）（絕對值）最大撓度wmaxw(x0)為極值A(chǔ)PBLCbawx當(dāng)前第21頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)討論：

結(jié)論：對于簡支梁而言，無論集中力P作用在何處，用w(l/2)代替wmax，最大誤差為2.65%。APBLCbawx當(dāng)前第22頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)

例4

用積分法求圖示外伸梁自由端C的截面轉(zhuǎn)角和撓度，其中Me=ql2/16。

解：取圖示的坐標(biāo)系，求支座反力得：ll/2qCBAEIMexyFAyFAxFB當(dāng)前第23頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)邊界(A、C點(diǎn))條件：ll/2qCBAEIMexyFAyFAxFB當(dāng)前第24頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)彎矩方程：

梁撓曲線的近似微分方程

邊界條件：連續(xù)性條件：ll/2qCBAEIMexyFAyFAxFB當(dāng)前第25頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)解得：

將積分常數(shù)回代得：

自由端C的截面轉(zhuǎn)角和撓度：

ll/2qCBAEIMexyFAyFAxFB當(dāng)前第26頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)4疊加法計算梁的位移

●積分法Me單獨(dú)作用

q單獨(dú)作用

qCBAEIll/2MexwqCBAEIll/2xwCBAEIll/2Mexw當(dāng)前第27頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)線性關(guān)系

疊加原理：梁在幾個荷載同時作用時，其任一截面處的轉(zhuǎn)角（或撓度）等于各個荷載單獨(dú)作用時梁在該截面處的轉(zhuǎn)角（或撓度）的總和。

適用條件：1小變形2材料處于彈性階段且服從胡克定律但是有一點(diǎn)需要說明：qCBAEIll/2Mexw當(dāng)前第28頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)

線彈性，位移可以疊加Δ1F1F1+F2Δ1+2F2Δ2FΔOFΔOFΔOΔ2Δ1為什么線性關(guān)系可以疊加？當(dāng)前第29頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)FΔOFΔOFΔO

非線性彈性，位移不可以疊加F1Δ1F2Δ2F1+F2ΔΔ2當(dāng)前第30頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)表7(4)-1轉(zhuǎn)角(rad)

撓度(m)

q(N/m)

F(N)

M(N.m)

簡支梁跨中受集中力作用，如果其它條件不變，則當(dāng)梁長增加一倍時，梁內(nèi)的最大正應(yīng)力變?yōu)樵瓉淼?/p>

，最大撓度變?yōu)樵瓉淼?/p>

。EIz稱為抗彎剛度當(dāng)前第31頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)BqAFFBABqA當(dāng)前第32頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)試用疊加法求圖示懸臂梁自由端的撓度wB。F1

ABw1w2F1

AF=16kNBll/2CAF=16kNBCwC當(dāng)前第33頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)例試用疊加法求圖示懸臂梁自由端B處的撓度。

q

A

B

xdx

w

x

l

q.dx表7(4)-1(2)表7(4)-1(3)當(dāng)前第34頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)

例4：簡支梁受圖示荷載作用，試用疊加法求C截面的撓度和截面轉(zhuǎn)角A。qBAEIll/2C當(dāng)前第35頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)qBAEIll/2CqBAEIll/2CqBAEIll/2CqBAEIll/2C當(dāng)前第36頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)表7(4)-1分析：

分析C點(diǎn)：qBAEIll/2CCBAq/2EIlABCEIlq/2q/2當(dāng)前第37頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)

★結(jié)論（規(guī)律）：

(2)當(dāng)梁的支承情況對稱，荷載反對稱時，則彎矩圖永為反對稱圖形，剪力圖永為對稱圖形。

(1)當(dāng)梁的支承情況對稱，荷載也對稱時，則彎矩圖永為對稱圖形，剪力圖永為反對稱圖形；FQ圖M圖CBAq/2EIlABCEIlq/2q/2當(dāng)前第38頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)表7(4)-1q/2AM

FQ跨度為l/2的簡支梁ABCEIlq/2q/2當(dāng)前第39頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)

例5：外伸梁受圖示荷載作用，試用疊加法求外伸端C截面的撓度。BAEIlaFC當(dāng)前第40頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)分析：

表7(4)-1

⑵表7(4)-1

⑺請思考：能不能將力F向A點(diǎn)簡化，為什么？BAEIlaFCFEIABCFEIABCFFAEIBCC1wC1wC2懸臂梁簡支梁CEIABC2FM

當(dāng)前第41頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)例6：FEI2EIABCll當(dāng)前第42頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)C2wFwBeFFCF′wCBAB'C1表7(4)-1表7(4)-1MFEI2EIABCll當(dāng)前第43頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)例題：已知F，E，G，求C點(diǎn)鉛垂位移AFBC尺寸：l,d尺寸：a,b,h分析：

AB——彎曲+扭轉(zhuǎn)變形，BC——彎曲變形故C點(diǎn)的撓度由三部分組成——AB彎曲引起的B點(diǎn)下沉＋AB扭轉(zhuǎn)引起C點(diǎn)位移＋BC彎曲引起C點(diǎn)下沉當(dāng)前第44頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)解：采用逐段剛化法(1)將AB剛化，計算BC彎曲變形引起的C點(diǎn)的撓度。FB(固定端)C尺寸：a,b,h當(dāng)前第45頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)(2)將BC剛化,即去掉BC，但保留BC對AB的作用力，計算AB彎曲引起的C點(diǎn)的撓度FAB尺寸：l,dMx當(dāng)前第46頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)(3)將BC剛化計算AB扭轉(zhuǎn)變形引起的C點(diǎn)的撓度計算B截面扭轉(zhuǎn)角所以，C點(diǎn)位移為：BCFAB尺寸：l,dMx當(dāng)前第47頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)qDBAEIll3ql2xw2qlCl根據(jù)梁的彎矩圖和支座條件，畫出梁的撓曲線的大致形狀。FQ圖M圖當(dāng)前第48頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)5梁的剛度計算一、梁的剛度條件：當(dāng)前第49頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)起重機(jī)大梁、吊車梁：發(fā)動機(jī)曲軸、凸輪軸：普通機(jī)床主軸、一般的軸：強(qiáng)度與剛度當(dāng)前第50頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)BACP1P2D

例7：車床主軸如圖所示，已知工作時的徑向力P1=2000N，齒輪嚙合處的徑向力P2=1000N；主軸的外徑D=8cm，內(nèi)徑d=4cm；l=40cm，a=20cm，C處的許用撓度[y]=0.0001l，軸承B處的許用轉(zhuǎn)角

[]=0.001rad。試校核其剛度。當(dāng)前第51頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)將主軸簡化為如圖b所示的外伸梁，橫截面的慣性矩為(1)計算變形

由表7-1查出，因P1在C處引起的撓度和在B引起的轉(zhuǎn)角為：yCP1BACP1BACP1P2D當(dāng)前第52頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)

由表7-1查得，因P2在C處引起的撓度和在B處引起的轉(zhuǎn)角為：P2yCP2BACD當(dāng)前第53頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)

則C處的總撓度為：

則B處的總轉(zhuǎn)角為：當(dāng)前第54頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)主軸的許用撓度和許用轉(zhuǎn)角為：故主軸滿足剛度條件(2)校核剛度

當(dāng)前第55頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)二、提高承載能力的措施1減小梁的跨度2選擇合理截面形狀3改善梁的受力和支座位置4預(yù)加反彎度FF（增加支座）當(dāng)前第56頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)大自然中的懸臂梁

獨(dú)根草，多年生草本植物，具粗壯的根狀莖，生長在山谷和懸崖石縫處，為中國特有屬。B'BAF

當(dāng)前第57頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)拱預(yù)應(yīng)力梁當(dāng)前第58頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)6梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能MeMeAOMeMel純彎曲橫力彎曲當(dāng)前第59頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)

例計算圖示懸臂梁的彎曲應(yīng)變能，并計算B點(diǎn)的撓度wB，已知梁的彎曲剛度為EI。

解：1彎矩方程2

彎曲應(yīng)變能3

計算B點(diǎn)的撓度FwB當(dāng)前第60頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)7簡單超靜定梁

未知反力的數(shù)目多于平衡方程的數(shù)目，僅由靜力平衡方程不能求解的梁，稱為超靜定梁(靜不定梁)概念A(yù)FAyFAxFBMAFAzFAx當(dāng)前第61頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)討論：?F1

AF=16kNBll/2C當(dāng)前第62頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)F1

AF=16kNBll/2C實(shí)質(zhì)：存在多余約束多余約束的作用增加了未知力個數(shù)增加對變形的限制使問題變?yōu)椴豢山馐箚栴}變?yōu)榭山?。wB=0當(dāng)前第63頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)FAyFAxwB=0相當(dāng)系統(tǒng)MAF1

AF=16kNBll/2C1

解除多余約束(代之以約束反力)；2

補(bǔ)充方程；3

與平衡方程聯(lián)立求解。變形協(xié)調(diào)條件物理方程解題步驟當(dāng)前第64頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)EFCFBAAl/2BECFFFC′FC力法當(dāng)前第65頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束得新結(jié)構(gòu)——

靜定基AF=16kNBll/2CwB=0F1

AF=16kNBll/2CA=0BlAF=16kNl/2CMA靜定基1靜定基2當(dāng)前第66頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)思考題1.彎矩和剪力分別由什么應(yīng)力組成?2.研究梁的正應(yīng)力的基本思路是什么？3.什么是梁的中性層、中性軸？證明矩形梁的中性軸必通過橫截面的形心。4.什么是梁的曲率？它與什么有關(guān)？抗彎剛度越大曲率半徑也越大，抗彎剛度越小曲率半徑也越小，對嗎？為什么？當(dāng)前第67頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)5、敘述純彎曲梁的正應(yīng)力公式使用條件和范圍可否推廣到一般梁？6、寫出截面抗彎模量的數(shù)學(xué)式，對圓截面，抗彎和抗扭截面模量有何關(guān)系？7、總結(jié)材料力學(xué)解決應(yīng)力問題的一般方法和步驟。8、由直徑為D的圓木切割出一矩形梁，求出使梁的強(qiáng)度最大的高寬比。當(dāng)前第68頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)簡支梁跨中受集中力作用懸臂梁自由端受集中力作用懸臂梁自由端受集中力作用轉(zhuǎn)角方程和撓度方程總是連續(xù)的××××(5)梁的最大撓度必產(chǎn)生于最大彎矩處。(4)彎矩突變的截面處轉(zhuǎn)角也突變；(3)彎矩為零處，撓曲線曲率必為零；

(2)彎矩最大的截面轉(zhuǎn)角最大，彎矩為零的截面轉(zhuǎn)角為零；√(1)正彎矩產(chǎn)生正轉(zhuǎn)角，負(fù)彎矩產(chǎn)生負(fù)轉(zhuǎn)角；9試判斷當(dāng)前第69頁\共有74頁\編于星期三\3點(diǎn)

10應(yīng)用疊加原理的條件是什么？⑴小變形⑵材料處于彈性階段且服從胡克定律

11兩懸臂梁，其橫