工程數(shù)學(xué)II 課程教案授課時間：周第 節(jié) 課時安課次 授課方（請打√理論課□討論課□實驗課□習(xí)題課□ 綜合課□ 其他□授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題：§3.1 復(fù)變函數(shù)積分的概念；§3.2 柯西—古薩基本定理教學(xué)目的、要求（分掌握、熟悉、了解三個層次：熟練掌握復(fù)積分計算的一般方法；教學(xué)重點及難點：重點：復(fù)積分的概念及性質(zhì)；復(fù)積分計算的一般方法．難點：柯西—古薩基本定理．教學(xué)基本內(nèi)容（要體現(xiàn)出教學(xué)方法及手段：一、積分的定義

§3.1復(fù)變函數(shù)積分的概念有向曲線: 設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個可能方中的一個作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲.如果A到B作為曲線C的正, 那么B到A就是曲線C的負向,記為C關(guān)于曲線方向的說明: 在今后的討論中,常把兩個端點中的一個作為起點, 另一個為終點, 除特殊聲明, 正方向總是指從起點到終點的方向.簡單閉曲線正向的定義: 簡單閉曲線C的正向是指當曲線上的點P順此方向前進時,鄰近P點的曲線的內(nèi)部始終位于P點的左方.與之相反的方向就是曲線的負方向.yPPPPPoP積分的定義:設(shè)函數(shù)wfz)定義在區(qū)域D內(nèi),C為區(qū)域D內(nèi)起點為A終點為B的一條光滑的有向曲線,把曲線C 任意分成n個弧段,設(shè)分點為Az0,z1,,zk1,zk,,znB,在每個弧段z z(k1,2, ,n) 作和式S nk1k nk1

f( )(z z )nk k k1k1

f( )z,k k這里zk

z k

k1

, sk

zk1

z的長度, 記max{sk 1kn

},n無限增加且 0 時, 如果不論對C的分法及k

的取法如何,Sn

有唯一極限, 那么稱這極限值為函數(shù)f(z)沿曲線C的積分, 記為f(z)dzlimC nBBzkn1zkzk1Azz12

nk1

f

)z.k ko x關(guān)于定義的說明:如果C是閉曲線,那么沿此閉曲線的積分記為f(z)dz.C如果C是x軸上的區(qū)間axb,而f(z) u(x),這個積分定義就是一元變函數(shù)定積分的定義.二、積分存在的條件及其計算法存在的條件如果f(z)是連續(xù)函數(shù)而C是光滑曲線時,積分 f(z)dz 一定存在.C證設(shè)光滑曲線C

由參數(shù)方程z() () i ( t t，正方向為參數(shù)增加的方向, 參數(shù)及對應(yīng)于起點A及終點B,并且z(t)0,t,如果f(z)u(x,y)i v(x,y)在D內(nèi)處處連續(xù), 那么u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)均為連續(xù)函數(shù),設(shè) k k

, 因為z zk

z xk1

iyk

(

k1

iy

k1

)(xk

xk1

)i(yk

yk1

) xk

iy,k所以nk1

f(

)zk

nk1

[u(,k

)i v(,k k

)](xk

iy)knk1

[u(,k

)xk

v(,k

)yk

] ink1

[v(,k

)xk

u(,k

)y]k由于u,v都是連續(xù)函數(shù),根據(jù)線積分的存在定理, 當n無限增大而弧段長度的最大值趨于零時, 不論對C的分法任何,點(,k k

)的取法如何, 下式兩端極限存在,nk1

f(k

)zk

nk1

[u(,k

)xk

v(,k

)yk

]ink1

[v(,k

)xk

u(,k

)y]kf(z)dzC C

udxvdyivdxudyCfz)uivdzdxidy相乘后求積分得到:f(z)dzC

(uiv)(dxidy)C

udxivdxiudyvdy積分的計算法

udxvdyivdxudy.C Cfz)dz可以通過兩個二元實變函數(shù)的線積分來計算.Cf(z)dz{u[x(t),y(t)]x(t)v[x(t),y(t)]y(t)}dtC i{v[x(t),y(t)]x(t)u[x(t),y(t)]y(t)}dt{u[x(t),y(t)]iv[x(t),y(t)]}{x(t)iy(t)}dt

f[z(t)]z(t)dt.如果C是由C,C, ,C 等光滑曲線依次相互連接所組成的按段光滑曲線，1 2 n則f(z)dzC C1

f(z)dzC2

f(z)dzCn

f(z)dz在今后討論的積分中,總假定被積函數(shù)是連續(xù)的,曲線C是按段光滑的.例1 計算zdz, C:從原點到點34i的直線段.Cx3t,解直線方程為：y4t

0t1,在C上,z(34i)t,dz(34i)dt,zdzC 0

(34i)2tdt(34i)20

tdt

(34i)2 .2又因為zdzC

(xiy)(dxidy)CzdzC C

xdxydyiydxxdyC這兩個積分都與路線C無關(guān)，所以不論C是怎樣從原點連接到點34i的曲線,C例2 計算 Rz z ,其中C 為C

zdz

(34i)2.2從原點到點1i的直線段;拋物線yx2 上從原點到點1i的弧段;從原點沿x軸到點1再到1i的折線.解(1)積分路徑的參數(shù)方程為：z(t)tit (0t1),于是 Rezt,dz(1i)dt,Rezdz1t(1i)dtC 0

1(1i);2積分路徑的參數(shù)方程為：z(t)tit2 (0t1),于是Rezt,dz(12ti)dt,t2 2i 1 1 2Rezdz1t(12it)dt t3 i;C 0

3 2 30積分路徑由兩段直線段構(gòu)成：x軸上直線段的參數(shù)方程為：z(t)t (0t1),于是 Rezt,dzdt,1到直線段的參數(shù)方程為：z(t)1it (0t1),于是 Rez1,dzidt

Rezdz1tdt11idt

i.C 0 0 2z1z1in1y=xy11iy=x1例3 計算zdz,其中C為: 圓周z2.C解積分路徑的參數(shù)方程為：z2e(02π),dz2ieidisin)d0.C00zdz2π22ieid (因為z2)4i2isin)d0.C00例4 求 1 z

, 為以z

為中心r, 半徑的正向,n

為整.數(shù)C(zz0

)n1 0解z

0

i2 1 dz

2π

ire

d

2πeind,C (zz0

)n

0 rn1ei(n1)

rn 0zz0z0r當n0時,

1 dzi2πd2i;C (zz0

)n1 0當n0時,

1 dz

i 2π(cosnisinn)d0;C (zz0

)n

rn 0所以 1 dz

2i, n0,zz0r

(zz0

)n

0, n0.重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān).三、積分的性質(zhì)復(fù)積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).(1)(2)

f(z)dz f(z)dz;C Ckfz)dzkfz)dz;(k為常數(shù))C C(3)

[f(z)g(z)]dzC

f(z)dzC

g(z)dz;設(shè)曲線C的長度為L,函數(shù)f(z)在C上滿足f(z)M,那末性質(zhì)(4)的證明：

f(z)dzC

fz)dsML.（估值不等式）因為z 是z 與z 兩點之間的距離,s 為這兩點之間弧段的長度,k k k1 k所以k1

f(

)zk k

n k1

( )zk k

n k1

( )sk

，兩端取極限得，f(z)dzC C

f(z)ds.因為nk1

f

)sk

Mn skk1

ML,所以 C

f(z)zC

f ( sML []例5 設(shè)C為從原點到點 3 i的直線段 試求積分上界.

1Czi

dz絕對值的一個解C的參數(shù)方程為z ( i ) , ( ，根據(jù)估值不等式知 1Czi

dz ds1z1zi1z1zi(3t)2(4t(3t)2(4t1)23t(4t1)i25t4225 925

531525故 1 z25Cz1525故 1 z25Czi3C3Czi 3一、問題的提出

§3.2 柯西—古薩基本定理觀察上節(jié)例1, 被積函數(shù)f(z)z在復(fù)平面內(nèi)處處解析,此時積分與路線無關(guān).觀4,被積函數(shù)當n0時為

1zz0

,它在以z0

為中心的圓周C內(nèi)部不是處處解析的,此時 1 dz2i0.雖然在除去z

的C的內(nèi)部函數(shù)處處解c zz 00析,但此區(qū)域已不是單連通域.觀察上節(jié)例5, 被積函數(shù)f(z)zxiy,由于不滿足柯西－黎曼方程, 故而在復(fù)面內(nèi)處處不解析. 此時積分值 zdz與路線有關(guān).c由以上討論可知,積分是否與路線有關(guān),可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.二、基本定理如果函數(shù)fz)在單連通域B內(nèi)處處解析,那末函數(shù)f(z) 沿B內(nèi)的任何一條封閉曲線C的積分為零: c

f(z)dz0.定理中的C可以不是簡單曲線. 此定理也稱為柯西積分定理.CCB關(guān)于定理的說明:如果曲線CB的邊界,函數(shù)fz)在B內(nèi)與C上解析,在閉區(qū)域B BC上解析,那末 c

f(z)dz0.CB的邊界,函數(shù)fz)在B內(nèi)解析,在閉區(qū)域BBC上連續(xù), 那末定理仍成立.三、典型例題例1 計算積分

1 z12z3

z .解函數(shù) 12z3

在z

內(nèi)解析,據(jù)柯西－古薩定理, 有 dz0.z12z3例2 證明c

(z)ndz0 n1),其中C是任意閉曲線.證(1) n 為正整數(shù)(

在z平面上解析柯西－古薩定理, (z)ndz0.c(2)n為負整數(shù)但不等于1時,zn在除點的整個z平面上解析,情況一: 若C不包圍點,(z)

在C 圍成的區(qū)域內(nèi)解析,由柯西－古薩定理, (z)ndz0;c情況二: 若C包圍點,由上節(jié)例4可知, (z)ndz0.c例3 計算積分

zi2

1z(z2

dz.解 1 11 ,

1 1 因為 和 都在zi

上解析,z(1)

z

zi

z zi 21 1 dz

1

1

dzzi12

z(z

zi

12

2zi 2zi

dz

1 dz1 1 dz1 z1 z