第第頁(yè)海南省高三模擬考試(文)數(shù)學(xué)試卷-附參考答案與解析班級(jí):___________姓名：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，，則A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（

）A． B． C． D．3．設(shè)集合、是全集的兩個(gè)子集，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．某輛汽車(chē)每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車(chē)相鄰兩次加油時(shí)的情況．（注：“累計(jì)里程”指汽車(chē)從出廠開(kāi)始累計(jì)行駛的路程）在這段時(shí)間內(nèi)，該車(chē)每100千米平均耗油量為（

）加油時(shí)間加油量（升）加油時(shí)的累計(jì)里程（千米）2020年5月1日12350002020年5月15日4835600A．6升 B．8升 C．10升 D．12升5．已知為等差數(shù)列，和，則等于（

）A．-1 B．1 C．3 D．76．已知雙曲線（，）的漸近線與圓有交點(diǎn)，則的離心率的取值范圍是A． B． C． D．7．如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖，其面積為，兩個(gè)圓弧所在的圓半徑分別為2和4，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．8．已知是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，則恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某學(xué)校分別從兩個(gè)班各抽取位同學(xué)分成甲、乙兩組參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，得分（十分組）如圖所示，則下列描述正確的有（

）A．甲、乙兩組成績(jī)的平均分相等 B．甲、乙兩組成績(jī)的中位數(shù)相等C．甲、乙兩組成績(jī)的極差相等 D．甲組成績(jī)的方差小于乙組成績(jī)的方差10．已知，則（

）A． B．C． D．11．（多選）如圖已知正方體的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱的中點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面 B．平面C．異面直線與所成角的正切值為 D．四面體的體積等于12．關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的有（

）A．在上是增函數(shù)B．存在唯一極小值點(diǎn)C．在上有一個(gè)零點(diǎn)D．在上有兩個(gè)零點(diǎn)三、填空題13．函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_________．14．已知向量，且，則__________．15．為增強(qiáng)學(xué)生的勞動(dòng)意識(shí)，某校組織兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生參加社區(qū)勞動(dòng)，這兩個(gè)班級(jí)擬從高一年段的兩個(gè)班級(jí)和高二年段的四個(gè)班級(jí)中選出，則選出的班級(jí)中至少有一個(gè)班級(jí)來(lái)自高一年段的概率為_(kāi)_____________.16．若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，則______________四、解答題17．如圖，已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c和．(1)求角C：(2)若，延長(zhǎng)CB至M，使得，求BM．18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列中.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．已知三棱柱中.(1)求證:平面平面.(2)若，在線段上是否存在一點(diǎn)使平面和平面所成角的余弦值為若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.20．某P2P平臺(tái)需要了解該平臺(tái)投資者的大致年齡分布，發(fā)現(xiàn)其投資者年齡大多集中在區(qū)間歲之間，對(duì)區(qū)間歲的人群隨機(jī)抽取20人進(jìn)行了一次理財(cái)習(xí)慣調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：組數(shù)分組人數(shù)第一組2第二組a第三組5第四組4第五組3第六組2（1）求a的值并畫(huà)出頻率分布直方圖；（2）從被調(diào)查的20人且年齡在歲中的投資者中隨機(jī)抽取3人調(diào)查對(duì)其P2P理財(cái)觀念的看法活動(dòng)，記這3人中來(lái)自區(qū)間歲年齡段的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.21．已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為.經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).(1)求橢圓方程；(2)當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，則求線段的長(zhǎng)．22．已知函數(shù)，和.（1）求的最大值；（2）若對(duì)，總存在使得成立，求的取值范圍；（3）證明不等式：參考答案與解析1．A【詳解】試題分析：由題意得，，則，所以，故選A.考點(diǎn)：集合的運(yùn)算．2．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則求復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，再得到其共扼復(fù)數(shù)的虛部．【詳解】復(fù)數(shù)，則，的虛部為．故選：B.3．C【解析】作出韋恩圖，數(shù)形結(jié)合，即可得出結(jié)論.【詳解】如圖所示同時(shí).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合關(guān)系及充要條件，注意數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4．B【分析】求出這段時(shí)間的行駛里程和耗油量即可計(jì)算.【詳解】由題意知，該車(chē)行駛千米，耗油48升所以在這段時(shí)間內(nèi)，該車(chē)每100千米平均耗油量為升.故選：B.5．B【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出．【詳解】為等差數(shù)列．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．6．A【分析】本道題結(jié)合雙曲線方程，得到漸近線方程，利用圓與漸近線有交點(diǎn)，得出圓心到漸近線的距離小于等于半徑，利用點(diǎn)到直線距離公式，建立不等式，計(jì)算離心率范圍，即可．【詳解】結(jié)合雙曲線方程可知漸近線方程為，將圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得到，得到圓心O的坐標(biāo)為，要使得圓與漸近線方程有交點(diǎn)，關(guān)鍵使得圓心O到漸近線距離小于等于半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線距離，建立不等式，得到，解得，利用，代入，得到，解得，故選A．【點(diǎn)睛】本道題考查了點(diǎn)到直線距離公式以及直線與圓位置關(guān)系，考查了雙曲線的性質(zhì)，關(guān)鍵抓住交點(diǎn)，建立不等式，即可，屬于中檔題．7．D【分析】由條件結(jié)合扇形面積公式可求圓臺(tái)的上下底面的半徑，結(jié)合圓臺(tái)的軸截面圖形可求圓臺(tái)的高，利用圓臺(tái)體積公式求其體積.【詳解】圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一扇環(huán)，設(shè)該扇環(huán)的圓心角為則其面積為，得所以扇環(huán)的兩個(gè)圓弧長(zhǎng)分別為和設(shè)圓臺(tái)的上底半徑，下底半徑分別為，圓臺(tái)的高為則所以，又圓臺(tái)的母線長(zhǎng)所以圓臺(tái)的高為所以圓臺(tái)的體積為．故選：D.8．B【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，得出恒成立，進(jìn)而有，即可求解【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)不等實(shí)根顯然時(shí)，則所以所以，恒成立所以在單調(diào)遞增所以又當(dāng)時(shí)，則恒成立所以，即，解得故選：B9．BCD【解析】根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算出甲、乙兩組成績(jī)的平均分、中位數(shù)、極差與方差，進(jìn)而可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，甲組成績(jī)的平均數(shù)為乙組成績(jī)的平均分為所以甲組成績(jī)的平均分小于乙組成績(jī)的平均分，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，甲、乙兩組成績(jī)的中位數(shù)都為，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，甲、乙兩組成績(jī)的極差都為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，甲組成績(jī)的方差為乙組成績(jī)的方差為所以甲組成績(jī)的方差小于乙組成績(jī)的方差，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.10．AC【分析】多項(xiàng)選擇題，需要對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證：借助于先求出，可以直接求出的值，判斷B;用判斷C，二倍角公式判斷A、D選項(xiàng)；【詳解】∵，且解得：∴，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；∵∴.∵，∴，故D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】利用三角公式求三角函數(shù)值的關(guān)鍵：(1)角的范圍的判斷；(2)對(duì)于三角函數(shù)求值題，一般是先化簡(jiǎn)，再求值．11．BC【分析】對(duì)于選項(xiàng),通過(guò)作輔助線證明與平面相交，故A不正確；對(duì)于選項(xiàng),證明，所以平面即得證，故B正確；對(duì)于選項(xiàng),利用向量法求出異面直線與所成角的正切值為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng),四面體的體積等于,故D不正確.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)H，的中點(diǎn)I，的中點(diǎn)M，連接并延長(zhǎng)，連接并延長(zhǎng)，記與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)，記的反向延長(zhǎng)線交的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，的延長(zhǎng)線交的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.連接因?yàn)榕c相交，故與平面相交，故A不正確.∵，平面∴平面∴.∵，平面∴平面∴又，平面∴平面，故B正確.以D為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系則∴∴∴∴∴異面直線與所成角的正切值為，故C正確.易知四面體的體積等于正方體的體積減去四個(gè)正三棱錐的體積即，故D不正確.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線平面位置關(guān)系的判斷和證明，考查空間角的計(jì)算，考查幾何體體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.12．ABD【解析】根據(jù)函數(shù)求得與，再根據(jù)在恒成立，確定在上單調(diào)遞增，及，且存在唯一實(shí)數(shù)，使，從而判斷A，B選項(xiàng)正確；再據(jù)此判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).上有兩個(gè)零點(diǎn)，故D選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．13．【分析】直接利用三角函數(shù)的周期公式求出函數(shù)的最小正周期.【詳解】由題得函數(shù)的最小正周期.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的最小正周期的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.14．【分析】根據(jù)求出的值，再根據(jù)向量的減法運(yùn)算和向量的模即可求出答案【詳解】則故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示，解題的關(guān)鍵是根據(jù)向量的平行求出的值，屬于基礎(chǔ)題15．【分析】基本事件總數(shù)，選出的班級(jí)中至少有一個(gè)班級(jí)來(lái)自高一年段包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出選出的班級(jí)中至少有一個(gè)班級(jí)來(lái)自高一年段的概率．【詳解】某校組織兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生參加社區(qū)勞動(dòng)，這兩個(gè)班級(jí)擬從高一年段的兩個(gè)班級(jí)和高二年段的四個(gè)班級(jí)中選出基本事件總數(shù)．選出的班級(jí)中至少有一個(gè)班級(jí)來(lái)自高一年段包含的基本事件個(gè)數(shù)，則選出的班級(jí)中至少有一個(gè)班級(jí)來(lái)自高一年段的概率為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．16．10【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，依題意，再根據(jù)焦點(diǎn)弦公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意聯(lián)立直線與拋物線方程得，消去得，整理得，所以設(shè)所以線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，所以，解得所以．故答案為：10．17．(1);(2).【分析】（1）將正弦定理代入條件整理得，從而有，根據(jù)角的范圍可得角大?。唬?）在中由余弦定理求得，然后在中由正弦定理求得，進(jìn)一步計(jì)算可得．【詳解】（1）解：（1）因?yàn)橛烧叶ɡ淼靡驗(yàn)?，所以所以，即，所以又因?yàn)?，所以，所以，所以．?）在中由余弦定理可得解得舍去在中由正弦定理可得即解得所以．18．（1）；（2）.【解析】（1）令可求得的值，令，由可得出，兩式作差可得出且有，可知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用累加法可求得，可得，進(jìn)而可求得數(shù)列的前項(xiàng)的和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則由可得出兩式作差得，即，則，且所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比也為，；所以所以，所以所以，易得也適合上式所以的前項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】本題考查利用與之間的關(guān)系求通項(xiàng)，同時(shí)也考查了并項(xiàng)求和法，考查計(jì)算能力，屬于中等題.19．(1)證明見(jiàn)解析；(2)在線段上存在一點(diǎn)，且P是靠近C的四等分點(diǎn).【分析】(1)連接，根據(jù)給定條件證明平面得即可推理作答.(2)在平面內(nèi)過(guò)C作，再以C為原點(diǎn)，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算判斷作答.【詳解】（1）在三棱柱中四邊形是平行四邊形，而，則是菱形，連接，如圖則有，因，和平面，于是得平面而平面，則，由得，和平面從而得平面，又平面所以平面平面.（2）在平面內(nèi)過(guò)C作，由(1)知平面平面，平面平面則平面，以C為原點(diǎn)，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖因，則假設(shè)在線段上存在符合要求的點(diǎn)P，設(shè)其坐標(biāo)為則有，設(shè)平面的一個(gè)法向量則有，令得，而平面的一個(gè)法向量依題意，化簡(jiǎn)整理得：而，解得所以在線段上存在一點(diǎn)，且P是靠近C的四等分點(diǎn)，使平面和平面所成角的余弦值為.20．（1）4，直方圖見(jiàn)解析；（2）分布列見(jiàn)解析，2.【解析】（1）根據(jù)調(diào)查總?cè)藬?shù)可得的值，計(jì)算每組的頻率除以組距，即可畫(huà)出頻率分布直方圖；（2）易知X所有可能取值是1，2，3，利用古典概型可得隨機(jī)變量取值的概率，即可得到分布列和期望.【詳解】（1）直方圖中小矩形的高度依次為其頻率分布直方圖如圖.（2）因?yàn)閰^(qū)間歲年齡段的“投資者”有2名，區(qū)間歲年齡段“投資者”有4名則易知X所有可能取值是1，2，3.則.故隨機(jī)變量X的分布為123故隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)全頻率分布直方圖、求離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意概率模型的確定.21．(1)(2)【分析】（1）由焦點(diǎn)為得結(jié)合可得解；（2）由結(jié)合韋達(dá)定理即可得解.【詳解】（1）因?yàn)闉闄E圓的焦點(diǎn),所以又所以所以橢圓方程為（2）因?yàn)橹本€的傾斜角為,所以直線的斜率為1,所以直線方程為,和橢圓方程聯(lián)立得到,消掉,得到所以所以22．（1）0，（2），（3）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最大值（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，然后通過(guò)討論確定每段區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性和最值（3）先通過(guò)觀察湊出所要證明的表達(dá)式的形式，再利用等比數(shù)列的求和公式求和，最后通過(guò)放縮法得到結(jié)論【詳解】（1）由，得當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則所以在上遞增，在上遞減所以當(dāng)時(shí)，則取得最大值，即（2）對(duì)，總