第9章 回歸方程的函數(shù)形式

對于變量之間是線性的模型來說，解釋變量每變動一個單位，應(yīng)變量的變化率為一常數(shù)，但是對于變量之間是非線性的回歸模型來說，斜率并不是保持不變的。

本章將討論幾種參數(shù)之間是線性的模型或是可通過適當(dāng)?shù)淖冃纬蓞?shù)線性的模型。9.1

如何度量彈性：雙對數(shù)模型9.2

線性模型與雙對數(shù)模型的比較?

對線性模型而言，其彈性系數(shù)隨著需求曲線上的點不同而發(fā)生變化，而對數(shù)線性模型而言，它在需求曲線上的任何一點彈性系數(shù)是相同的。因此，在這兩類模型之間進(jìn)行選擇模型時，我們可以根據(jù)這個特點作出判斷。因為在實踐中，這些假設(shè)都是極端的，很可能在需求曲線上的一小段上的價格彈性是不變的，而在曲線的其它部分上價格彈性卻又是個變量。9.3

多元對數(shù)線性回歸模型我們將三變量對數(shù)模型表示如下：lnYi=

B1

+B2lnX2i+

B3lnX3i

+ui

其中偏斜率系數(shù)B2、B3又稱為偏彈性系

數(shù)。因此，B2是Y對X2的彈性（保持不變），即在X3為常量時，X2每變動1％，Y變化的百

分比。由于X3為常量，所以稱此彈性為偏彈性。類似地，B3是Y對X3的（偏）彈性（

X2保持不變）。9.3

多元對數(shù)線性回歸模型例9.2例9.3柯布－道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)對能源的需求9.4

如何測度增長率：半對數(shù)模型通常經(jīng)濟學(xué)家、工商業(yè)家和政府對某一經(jīng)濟變量的增長率很感興趣。例9.4 1970～1999年間美國人口增長率我們利用銀行及金融等課程中的復(fù)利計算公式求出增長率（Y）：?Yt=

Y0(1+r)t?其中Y0－Y的初始值?Yt

－第t期的Y值?r

－Y的增長率（復(fù)利率）?令B1=lnY0B2=ln（1＋r）LnY=LnYo+Ln(1+r)*t?通過變形可得到：lnYt=B1+B2t+ut形如上式的回歸模型稱為半對數(shù)模型。根據(jù)表9－4提供的數(shù)據(jù)，用普通最小二乘法來估計回歸模型，得到如下回歸結(jié)果：ln(Uspop)

=5.3170+0.098tt＝（8739.39）（285.98）

r2＝0.9996所以半對數(shù)模型又稱為增長模型，通常我們用這類模型來測度許多變量的增長率，包括經(jīng)濟變量和其他一些非經(jīng)濟變量。9.4.1

單利增長率與復(fù)利增長率復(fù)利增長率：r=1-antilog(b2)，其中b2=B2的估計值=ln(1+r)然而在實際中，我們通常列出的是單利增長率，雖然復(fù)利增長率很好計算。??9.4.2

線性趨勢模型

有時為了計算的簡便，人們對下面的模型進(jìn)行估計：Yt=

B1

+

B2t

+

ut即Y對時間t的回歸，其中t按時間先后順序計算。這類模型稱為線性趨勢模型，時間t稱為趨勢變量。9.5

線性對數(shù)模型：解釋變量是對數(shù)形式

在上一節(jié)，我們討論了應(yīng)變量是對數(shù)形式而解釋變量是線性形式的增長模型。為了描述方便，稱之為對數(shù)－線性模型或增長模型。本節(jié)將考慮線性－對數(shù)模型，即應(yīng)變量是線性形式而解釋變量是對數(shù)形式的模型。例9.5 個人總消費支出與服務(wù)支出的關(guān)系（1993-1----1998-3,1992年美元價，10億美元）2＝X的相對變化量DX

/XB

=

Y的絕對變化量

DY假定要求個人總消費支出（X）的變動對服務(wù)支出（Y）的影響，現(xiàn)考慮下面模型：Yt=

B1

+B2lnX2t+

ut其中，Y=服務(wù)支出，X=總消費支出。上式

模型的回歸結(jié)果：Yt

=17907.5+2431.69ln

Xtt

=(-78.33)

（89.89）

r2

=0.997斜率系數(shù)度量了：9.6

雙曲函數(shù)模型形如上式的模型稱為雙曲函數(shù)模型。其顯著特征是，隨著X的無限增大，1/Xi將接近于零，Y將逐漸接近B1漸進(jìn)值或極值。圖9-4給出了雙曲函數(shù)模型的一些可能的形狀（經(jīng)濟意義）。1t

1

tY

=

B

+

B2

(

X

)

+

u9.7

多項式回歸模型圖9-8描繪了總成本函數(shù)（產(chǎn)出的函數(shù)）曲線和邊際成本（MC）及平均成本（AC）曲線。Y表示總成本（TC），X表示產(chǎn)出，總成本函數(shù)可表示為：Y

=

B

+

B

X

+

B

X

2

+

B X

3i

1

2

i

3

i

4

i稱為立方函數(shù)（cubicfunction），更一般地，稱為變量X的三次多項式函數(shù)。9.8

不同函數(shù)形式模型小結(jié)下表總結(jié)了討論國的