試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)北京市朝陽(yáng)區(qū)2025~2026學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)高三數(shù)學(xué)試卷2026.1（考試時(shí)間120分鐘滿(mǎn)分150分）本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在等比數(shù)列中，若，則（

）A．6 B．9 C．15 D．814．已知，則（

）A． B．C． D．5．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的一個(gè)重要數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是“圓柱容球”，即當(dāng)球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高均相等時(shí)，球的體積是圓柱體積的，且球的表面積也是圓柱表面積的．如圖所示，在一個(gè)“圓柱容球”的模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為（

）

A． B． C． D．6．已知拋物線(xiàn)，直線(xiàn)，若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．心理物理學(xué)中，史蒂文斯冪定律的對(duì)數(shù)形式可描述物理刺激強(qiáng)度與主觀(guān)感知強(qiáng)度的關(guān)系：，其中均為大于0的常數(shù)．已知當(dāng)物理刺激強(qiáng)度從16單位增加到256單位時(shí)，增加8；當(dāng)物理刺激強(qiáng)度從256單位增加到1024單位時(shí)，增加（

）A．4 B．6 C．8 D．108．已知數(shù)列滿(mǎn)足，則“”是“是遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線(xiàn)相交于點(diǎn)，且它們的斜率之和是2，設(shè)的軌跡為曲線(xiàn)，下面關(guān)于曲線(xiàn)的四個(gè)結(jié)論：①曲線(xiàn)是中心對(duì)稱(chēng)圖形；②對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)總有兩個(gè)公共點(diǎn)；③對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)總有兩個(gè)公共點(diǎn)；④對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，曲線(xiàn)與曲線(xiàn)總有兩個(gè)公共點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①③ B．①② C．②③④ D．①②④10．在邊長(zhǎng)為1的正三角形中，分別在邊上，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．函數(shù)的最小正周期是．12．已知，則；.13．若雙曲線(xiàn)的離心率，則的一個(gè)取值為．14．在中，，則；若的內(nèi)切圓的半徑為，則的周長(zhǎng)為．15．在長(zhǎng)方體中，，動(dòng)點(diǎn)分別在棱和上（包含端點(diǎn)），為線(xiàn)段的中點(diǎn)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段；②的最小值為；③對(duì)于給定的點(diǎn)，總存在點(diǎn)，使得經(jīng)過(guò)點(diǎn)及的平面截該長(zhǎng)方體的截面圖形是矩形；④存在點(diǎn)，使得經(jīng)過(guò)點(diǎn)及的平面截該長(zhǎng)方體的截面圖形是正方形．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得函數(shù)唯一確定，求的解析式及在區(qū)間上的最大值與最小值.條件①：在處取得最大值，且在處取得最小值；條件②：的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且的最小正周期大于；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞增，且.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.17．某人形機(jī)器人行業(yè)協(xié)會(huì)為了解行業(yè)現(xiàn)狀，對(duì)該行業(yè)所有公司生產(chǎn)的人形機(jī)器人進(jìn)行了一次性能評(píng)估．現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100家公司，統(tǒng)計(jì)其人形機(jī)器人“性能評(píng)分”（百分制，且均為整數(shù)）及對(duì)應(yīng)的“行業(yè)評(píng)級(jí)”（評(píng)級(jí)越高，代表性能越優(yōu)），整理數(shù)據(jù)如下表：性能評(píng)分行業(yè)評(píng)級(jí)公司數(shù)51043220110(1)當(dāng)時(shí)，在這100家公司中，（i）從性能評(píng)分不低于80分的公司中隨機(jī)抽取1家，求其行業(yè)評(píng)級(jí)為5級(jí)的概率；（ii）從性能評(píng)分不低于80分的公司中隨機(jī)抽取2家，記為這2家公司中行業(yè)評(píng)級(jí)為5級(jí)的公司數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)用頻率估計(jì)概率，記“從該行業(yè)所有評(píng)級(jí)為2級(jí)和5級(jí)的公司中隨機(jī)抽取2家，這2家公司的行業(yè)評(píng)級(jí)的平均值”為，記“上述100家公司的行業(yè)評(píng)級(jí)的平均值”為．設(shè)“”的概率為，“”的概率為，請(qǐng)根據(jù)表中信息比較與的大小．（結(jié)論不要求證明）18．在四棱錐中，平面平面，．分別為棱上的點(diǎn)，．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)若點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，判斷直線(xiàn)是否在平面內(nèi)？并說(shuō)明理由．19．已知橢圓：的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)記為（與不重合）．若，試判斷三點(diǎn)是否共線(xiàn)？并說(shuō)明理由．20．已知函數(shù)．曲線(xiàn)在點(diǎn)切線(xiàn)方程為．(1)求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)分別與軸交于，求證：．21．設(shè)為正整數(shù)且，若由實(shí)數(shù)數(shù)對(duì)組成的序列滿(mǎn)足對(duì)任意，均有，則稱(chēng)為一個(gè)序列．若對(duì)一個(gè)序列，存在有序?qū)崝?shù)組（其中）使得，則稱(chēng)為一個(gè)序列．(1)已知序列，判斷序列是否為序列？序列是否為序列？說(shuō)明理由；(2)當(dāng)時(shí)，判斷是否存在序列不是序列？若存在，請(qǐng)舉出一個(gè)符合要求的序列；若不存在，說(shuō)明理由；(3)若任意序列均是序列，求的所有可能取值．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．D【分析】先求解集合中不等式的解集，再根據(jù)交集的定義求與的交集.【詳解】不等式的解集為，即，已知，故.故選：D.2．A【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】由可得，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：A.3．B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和題設(shè)條件，求得數(shù)列的公比，代入即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，.故選：B.4．D【分析】對(duì)于A(yíng)，把不等式兩邊平方再做差即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)特殊值法即可判斷；對(duì)于C，利用均值不等式即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)基本不等式即可判斷.【詳解】對(duì)于A(yíng)，因?yàn)?，所以可得，，，則，即，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，則，故B錯(cuò)誤;對(duì)于C，根據(jù)均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)椋缘忍?hào)不成立，則，故C錯(cuò)誤;對(duì)于D，因?yàn)椋?，由基本不等式可知，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，所以等號(hào)不成立，則，故D正確.故選：D5．D【分析】利用球的體積公式和圓柱的表面積公式求解.【詳解】解：可設(shè)球的半徑為，則根據(jù)題意可知圓柱的底面半徑也為，圓柱的高等于直徑，圓柱的高等于，球的體積為，，，圓柱的表面積公式為.故選：D.6．C【分析】將交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有唯一解的問(wèn)題，對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)分類(lèi)討論求解即可.【詳解】聯(lián)立方程組，可得，因?yàn)橹本€(xiàn)與拋物線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以有唯一解，當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)?，解得，符合題意，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，化簡(jiǎn)得，解得或，符合題意，則的取值有3個(gè)，故C正確.故選：C7．A【分析】根據(jù)題意先求得，再計(jì)算物理刺激強(qiáng)度從256單位增加到1024單位時(shí)，增加量即可.【詳解】當(dāng)物理刺激強(qiáng)度為16單位時(shí)，；當(dāng)物理刺激強(qiáng)度為256單位時(shí)，；當(dāng)物理刺激強(qiáng)度為1024單位時(shí)，；因?yàn)槲锢泶碳?qiáng)度從16單位增加到256單位時(shí)，增加8；所以，解得，所以，當(dāng)物理刺激強(qiáng)度從256單位增加到1024單位時(shí)，增加.故選：A8．C【分析】根據(jù)是遞增數(shù)列求出的取值范圍，結(jié)合充分條件、必要條件、充要條件的定義判斷即可.【詳解】是遞增數(shù)列的充要條件是對(duì)任意恒成立.已知，所以.令，則.因?yàn)椋院愠闪?，故只需?duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立.令，，該函數(shù)是關(guān)于的增函數(shù)，因此在時(shí)取得最小值，.故是遞增數(shù)列的充要條件是.故選：C.9．B【分析】由題可得曲線(xiàn)C方程滿(mǎn)足：.對(duì)于①，通過(guò)驗(yàn)證，是否均在曲線(xiàn)上可判斷正誤；對(duì)于②③④，將對(duì)應(yīng)方程與曲線(xiàn)方程聯(lián)立，通過(guò)判斷聯(lián)立方程在題設(shè)限制下根的個(gè)數(shù)可判斷正誤.【詳解】設(shè)，由題可得.對(duì)于①，設(shè)在曲線(xiàn)C上，則.對(duì)于，代入方程左邊可得，從而也在曲線(xiàn)C上，即曲線(xiàn)C為中心對(duì)稱(chēng)圖形，故①正確；對(duì)于②，將與聯(lián)立，則.對(duì)于方程，其判別式為，則方程總有兩相異實(shí)根，又注意到當(dāng)且僅當(dāng)，方程有根，則不為0時(shí)，與曲線(xiàn)C總有兩不同交點(diǎn)，故②正確；對(duì)于③，將與聯(lián)立，則，顯然時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則當(dāng)時(shí)，與曲線(xiàn)C無(wú)交點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，將與聯(lián)立，則，顯然時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則當(dāng)時(shí)，與曲線(xiàn)C無(wú)交點(diǎn)，故④錯(cuò)誤.綜上，可得①②正確.故選：B10．A【分析】如圖建系，依題意設(shè)，，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由，推得，利用基本不等式求出，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求解，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得其取值范圍.【詳解】如圖，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，的中垂線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.因正三角形的邊長(zhǎng)為1，則，因分別在邊上，不妨設(shè)，可得；設(shè)，可得.則，又，則，則（*）因，則，將（*）代入上式，可得，由（*）可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，由可得，依題意，，設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，故.故選：A.11．【分析】先利用降冪公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)余弦型函數(shù)的周期公式求解即可.【詳解】由，則函數(shù)的最小正周期是.故答案為：.12．【分析】對(duì)式子的兩邊進(jìn)行賦值，令，即可求得的值；令，可得到的值，結(jié)合的值即可求解.【詳解】令，則，即；令，則；所以.故答案為：；.13．（答案不唯一）【分析】先將雙曲線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再表示出離心率，進(jìn)而結(jié)合題意求解參數(shù)范圍，最后得到取值即可.【詳解】由題意得雙曲線(xiàn)方程為，將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，則，得到，因?yàn)?，所以，解得，則的一個(gè)取值為.故答案為：（答案不唯一）14．【分析】由正弦定理即可求出；設(shè)的面積為，周長(zhǎng)為，內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)可求出，再根據(jù)余弦定理得到，聯(lián)立即可求出，即可求出周長(zhǎng).【詳解】由正弦定理得，設(shè)的面積為，周長(zhǎng)為，內(nèi)切圓的半徑為，所以，則，則，即，由余弦定理得，聯(lián)立，解得，所以的周長(zhǎng)為.故答案為：；.15．①④【分析】對(duì)于①，過(guò)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)得到從而得到，連接，設(shè)，連接，設(shè)，連接，可以得到在線(xiàn)段上，從而得到答案；對(duì)于②，由點(diǎn)在線(xiàn)段上，故當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為最小值為，利用勾股定理求出即可得解；對(duì)于③，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)，利用空間向量法分析是否存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)；對(duì)于④，據(jù)正方形的性質(zhì)，利用空間向量法判斷是否存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn).【詳解】

對(duì)于①，過(guò)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)分別在棱和上（包含端點(diǎn)），為線(xiàn)段的中點(diǎn)，，，，，，連接，設(shè)，連接，設(shè)，連接，，在線(xiàn)段上，點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段，故①正確；對(duì)于②，點(diǎn)在線(xiàn)段上，故當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，且最小值為，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，以為原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，，若，則，解得或，此時(shí)，不滿(mǎn)足給定的點(diǎn)，總存在點(diǎn)，使得經(jīng)過(guò)點(diǎn)及的平面截該長(zhǎng)方體的截面圖形是矩形，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，，，若，則，解得或，此時(shí)，，，若，則，解得，當(dāng)時(shí)，則轉(zhuǎn)化為，即，，，，故當(dāng)，時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)及的平面截該長(zhǎng)方體的截面圖形是正方形，當(dāng)時(shí)，則轉(zhuǎn)化為，此方程無(wú)解；綜上可知，存在點(diǎn)，使得經(jīng)過(guò)點(diǎn)及的平面截該長(zhǎng)方體的截面圖形是正方形，故④正確.故答案為：①④.16．(1)(2)選條件②或③，；取得最小值，取得最大值【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，然后代入即可求解；（2）條件①：根據(jù)題設(shè)可知，然后結(jié)合正弦型函數(shù)的周期公式即可判斷函數(shù)不唯一確定；條件②：根據(jù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)可得，結(jié)合的最小正周期大于可得，并得到的解析式，最后根據(jù)給定的區(qū)間即可求出的最值；條件③：根據(jù)在區(qū)間上單調(diào)遞增可得，結(jié)合得，并得到的解析式，最后根據(jù)給定的區(qū)間即可求出的最值；【詳解】（1）依題意，；所以當(dāng)時(shí)，，所以.（2）選條件①：在處取得最大值，且在處取得最小值；設(shè)的周期為，則，所以，又，所以，解得，不符合函數(shù)唯一確定的條件；選條件②：的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且的最小正周期大于；由，得，解得，的最小正周期，解得；又，，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)唯一確定，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以，所以；綜上，的解析式為；當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值；選條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞增，且；由，由，得，解得；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，又，所以；所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)唯一確定，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以，所以；綜上，的解析式為；當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值.17．(1)（i）；（ii）分布列見(jiàn)解析；期望為(2)【分析】（1）（i）當(dāng)時(shí)，得到不低于80分的公司有家，行業(yè)評(píng)級(jí)為5級(jí)的公司有家，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解；（ii）根據(jù)題意，得到變量的可能取值為，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得，且，再求得行業(yè)所有評(píng)級(jí)為2級(jí)和5級(jí)的公司中隨機(jī)抽取2家的概率，結(jié)合和的關(guān)系，分別求得和的值，即可得到答案.【詳解】（1）解：（i）當(dāng)時(shí)，可得性能評(píng)分不低于80分的公司有家，其中行業(yè)評(píng)級(jí)為5級(jí)的公司有家，所以從中隨機(jī)抽取1家，其行業(yè)評(píng)級(jí)為5級(jí)的概率為；由記為這2家公司中行業(yè)評(píng)級(jí)為5級(jí)的公司數(shù)，則的可能取值為，可得，，，所以隨機(jī)變量的分布列為012所以期望為.（2）解：由題意，可得，可得，所有公司的行業(yè)評(píng)級(jí)總和為，所以，其取值范圍為，該行業(yè)所有評(píng)級(jí)為2級(jí)和5級(jí)的公司中隨機(jī)抽取2家，則兩家的評(píng)級(jí)都為2級(jí)的概率為，此時(shí)兩家的評(píng)級(jí)一家為2級(jí)，一家為5級(jí)的概率為，平均級(jí)別為；兩家的評(píng)級(jí)都為5級(jí)的概率為，平均級(jí)別為，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，此時(shí)，又因?yàn)榍遥?dāng)且僅當(dāng)或，滿(mǎn)足，此時(shí)，所以.18．(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)EF在平面AFG內(nèi)，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）由平面平面結(jié)合平面與平面垂直性質(zhì)可完成證明；（2）由題設(shè)，如圖過(guò)作平行線(xiàn)交于，建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，據(jù)此可得答案；（3）等價(jià)于判斷是否存在實(shí)數(shù)，使，據(jù)此可完成判斷.【詳解】（1）因平面平面，平面平面，，平面，則平面；（2）如圖過(guò)作平行線(xiàn)交于，由題設(shè)可得.然后如圖建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系.則..因，則.則，又，則，設(shè)平面法向量為，則，令，可得可為.又易得平面的法向量為.設(shè)平面與平面夾角為，則.（3）由（2）可得，，.則。假設(shè)平面，則四點(diǎn)共面，從而存在實(shí)數(shù)，使，則.則，即在平面內(nèi).19．(1)(2)三點(diǎn)共線(xiàn)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義、離心率及求解即可.（2）設(shè)出直線(xiàn)方程并與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積，通過(guò)證明與共線(xiàn)，即可得到三點(diǎn)共線(xiàn).【詳解】（1）因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為，所以，解得.又因橢圓的離心率為，所以，所以.所以.故橢圓的方程為.（2）依題意，直線(xiàn)的斜率不能為0，故可設(shè)其方程為，再設(shè)，，則.

聯(lián)立，整理得.令，即.則，.又，，所以.又，，則.分子所以，即，所以，又為公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線(xiàn).20．(1)1(2)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合題設(shè)直接求解即可；