自動控制原理第二章數(shù)模詳解演示文稿1當前第1頁\共有56頁\編于星期二\13點優(yōu)選自動控制原理第二章數(shù)模2當前第2頁\共有56頁\編于星期二\13點

2.1.1數(shù)學模型的特點1)相似性，不同原理的系統(tǒng)可能具有相同的運動規(guī)律，相似系統(tǒng)可以采用相同的研究方法。2)簡化性和準確性2.1.2數(shù)學模型的分類

靜態(tài)模型——描述靜態(tài)條件（平衡狀態(tài)）下變量之間的代數(shù)方程。動態(tài)模型——描述動態(tài)條件下，各變量之間關系的數(shù)學模型。例如：微分方程、傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖等等。（包含導數(shù)項）

3當前第3頁\共有56頁\編于星期二\13點自動控制理論中用到的數(shù)學模型時域：微分方程、差分方程、狀態(tài)空間表達式；復數(shù)域：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖；頻率域：頻率特性。4當前第4頁\共有56頁\編于星期二\13點2.1.3建模途徑和原則建立數(shù)學模型的兩大途徑(1)機理分析法，通過對系統(tǒng)各部分所遵循的規(guī)律進行分析，確定模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。所得模型稱為機理模型（解析模型）。(2)測試法（辨識法），人為給系統(tǒng)施加某種測試信號并記錄其輸出響應，根據(jù)大量輸入、輸出數(shù)據(jù)，推斷出被研究系統(tǒng)的數(shù)學模型。所得模型稱為經(jīng)驗模型。5當前第5頁\共有56頁\編于星期二\13點建立數(shù)學模型的幾點要求：

(1)全面了解系統(tǒng)的特性，確定研究目的以及準確性要求，決定能否忽略一些次要因素而使系統(tǒng)數(shù)學模型簡化。

(2)根據(jù)所應用的系統(tǒng)分析方法，建立相應形式的數(shù)學模型，有時還要考慮便于計算機求解。(3)在建立數(shù)學模型時，必須在模型的簡化性與分析結(jié)果的精確性之間做出折中考慮。6當前第6頁\共有56頁\編于星期二\13點2.2系統(tǒng)微分方程的建立2.2.1列寫微分方程式的一般步驟(1)確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量；(2)根據(jù)物理或化學定律，列寫出各元件的原始方程。(3)列出原始方程式中各中間變量與其它因素的關系式。(4)將上述關系式代入原始方程式，消去中間變量，就得系統(tǒng)的輸入-輸出關系方程式，并將方程式化成標準形。

7當前第7頁\共有56頁\編于星期二\13點

2.2.2機械系統(tǒng)舉例

例2-1彈簧-質(zhì)量-阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)。試列出以外力F(t)為輸入量，以質(zhì)量的位移y(t)為輸出量的運動方程式。

解：遵照列寫微分方程的一般步驟有：（1）確定輸入量為F(t)，輸出量為y(t)，作用于質(zhì)量m的力還有彈性阻力Fk(t)和粘滯阻力Ff(t)，均作為中間變量。

KmfF(t)y(t)令Tm2=m/k，Tf=f/k，則方程化為8當前第8頁\共有56頁\編于星期二\13點2.2.3電路系統(tǒng)舉例

例2-2電阻－電感－電容串聯(lián)系統(tǒng)。R-L-C串聯(lián)電路，試列出以ur(t)為輸入量，uc(t)為輸出量的網(wǎng)絡微分方程式。解：（1）確定輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)，中間變量為i(t)。

RCur(t)

uc(t)Li(t)9當前第9頁\共有56頁\編于星期二\13點（6）整理成標準形，令T1

=L/R，T2=RC，則方程化為10當前第10頁\共有56頁\編于星期二\13點

列寫微分方程式時，一般應注意：

(1)輸出量及其各階導數(shù)項寫在方程左端，輸入量寫在右端；(2)左端的階次比右端的高。這是因為實際物理系統(tǒng)均有慣性或儲能元件；(3)方程式兩端的各項的量綱應一致。利用這點，可以檢查微分方程式的正確與否。

(4)系統(tǒng)中獨立儲能元件的個數(shù)=微分方程的階數(shù)。11當前第11頁\共有56頁\編于星期二\13點

2.2.4線性系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)的微分方程一般具有以下形式：式中，y(t)是系統(tǒng)的輸出變量，r(t)是系統(tǒng)的輸入變量。12當前第12頁\共有56頁\編于星期二\13點電樞控制的直流電動機MRauaLaiaif=常數(shù)Ea

直流電動機是將電能轉(zhuǎn)化為機械能的一種典型的機電轉(zhuǎn)換裝置。在電樞控制的直流電動機中，由輸入的電樞電壓ua在電樞回路產(chǎn)生電樞電流ia，再由電樞電流ia與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩MD，從而使電樞旋轉(zhuǎn)，拖動負載運動。

13當前第13頁\共有56頁\編于星期二\13點（3）列寫原始方程式

電樞回路方程：電動機軸上機械運動方程：（4）列寫輔助方程Ea=keke—電勢系數(shù)，由電動機結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。MD=kmiakm—轉(zhuǎn)矩系數(shù)，由電動機結(jié)構(gòu)參數(shù)確定。14當前第14頁\共有56頁\編于星期二\13點消去中間變量，得15當前第15頁\共有56頁\編于星期二\13點2.2.6復雜系統(tǒng)微分方程的列寫畫出系統(tǒng)的方框圖，標定各方框的輸入量和輸出量，確定系統(tǒng)給輸入量和被控量。列寫各方框內(nèi)元件的微分方程，并按相互連接關系補充關系方程，最終使方程的個數(shù)與所選變量數(shù)相等。消去中間變量，得到系統(tǒng)的微分方程式。16當前第16頁\共有56頁\編于星期二\13點定義：相似系統(tǒng)—任何系統(tǒng)，只要具有相同的微分方程形式，就稱為相似系統(tǒng)。相似系統(tǒng)的概念不僅為理論研究提供了依據(jù)，而且在實踐中也是很有用的，例如模擬技術。17當前第17頁\共有56頁\編于星期二\13點2.3非線性特性的線性化控制系統(tǒng)可分為三種：1.線性系統(tǒng)：輸入—輸出特性為直線；有成熟理論。2.擬（近似）線性系統(tǒng)：在一定條件（在某工作點附近），可近似線性化，兩種方法：

(1)小偏差法（增量法）：△x→△y；即在工作點處用斜率直線代替非直線；

(2)用代數(shù)方法：Taylor（泰勒）級數(shù)展開法，去掉2次以上項，近似。3.非線性系統(tǒng)18當前第18頁\共有56頁\編于星期二\13點

幾乎所有元件或系統(tǒng)的運動方程都是非線性方程。但在比較小的范圍運動來說，把這些關系看作是線性關系，是不會產(chǎn)生很大誤差的。所以常常利用線性化方法來簡化所研究的系統(tǒng)。切線法（小偏差法），該方法適用于具有連續(xù)變化的非線性特性函數(shù)（非本質(zhì)非線性特性），其實質(zhì)是在一個很小范圍內(nèi)，將非線性特性用一段直線來代替。2.3.1小偏差線性化的概念19當前第19頁\共有56頁\編于星期二\13點2.3.2線性化的意義和方法（1）單變量系統(tǒng)

對連續(xù)的非線性系統(tǒng)y=f(x),在工作點y0=f(x0)附近展成Talor級數(shù):線性化的增量式方程:20當前第20頁\共有56頁\編于星期二\13點注意:

(1)線性化方程中的系數(shù)k與工作點有關。

(2)線性化模型在小偏差情況下成立。

(3)非線性函數(shù)需滿足連續(xù)可導條件。

(4)線性化后得到的是增量化的線性方程。

21當前第21頁\共有56頁\編于星期二\13點小結(jié)微分方程的建立

(1)根據(jù)物理或化學定律，列寫出各元件的原始方程。

(2)列出原始方程式中各中間變量與其它因素的關系式。(3)將上述關系式代入原始方程式，消去中間變量，就得系統(tǒng)的輸入-輸出關系方程式。(4)若存在非線性特性，則可根據(jù)小偏差法進行近似線性化，最后得到整個系統(tǒng)以偏量表示的線性化方程式。22當前第22頁\共有56頁\編于星期二\13點微分方程的特點

(1)是在時域描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學模型。

(2)在給定輸入作用及初始條件下，求解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應。(3)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)改變或某個參數(shù)變化時，需要重新列寫并求解微分方程，十分復雜費時，不便于對系統(tǒng)的分析、設計。23當前第23頁\共有56頁\編于星期二\13點2-4線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.4.1.線性常系數(shù)微分方程的求解微分方程式r(t)c(t)求解代數(shù)方程時域解c(t)Ls的代數(shù)方程R(s)C(s)求解微分方程式s域解C(s)

L-124當前第24頁\共有56頁\編于星期二\13點

解：設輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)。寫出電路運動方程

電容初始電壓為uc(0)，對方程兩端取拉氏變換RC

uruc例2-7圖2-16所示的RC電路，當開關S突然接通后，試求出電容電壓uc(t)的變化規(guī)律。S25當前第25頁\共有56頁\編于星期二\13點當輸入為階躍電壓ur(t)=u01(t)時，

得式中右端第一項是由輸入電壓ur(t)決定的分量，是當電容初始狀態(tài)uc(0)=0時的響應，故稱零狀態(tài)響應；第二項是由電容初始電壓uc(0)決定的分量，是當輸入電壓ur(t)=0時的響應，故稱零輸入響應。26當前第26頁\共有56頁\編于星期二\13點2.4.1.線性常系數(shù)微分方程的求解用拉氏變換求解微分方程的一般步驟：1)對微分方程兩邊進行拉氏變換。2)求解代數(shù)方程，得到微分方程在s域的解。3)求s域解的拉氏反變換，即得微分方程的解。優(yōu)點:1)求解簡單，并且可得到完整解；2)可以在S域研究解的特征、終值等問題。27當前第27頁\共有56頁\編于星期二\13點2.4.2傳遞函數(shù)的定義定義：在線性（或線性化）定常系統(tǒng)中，初始條件為零時，系統(tǒng)輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。設線性定常系統(tǒng)的微分方程式為式中，r(t)是輸入量，c(t)是輸出量。在零初始條件下，對上式兩端進行拉氏變換得28當前第28頁\共有56頁\編于星期二\13點(a0sn+a1sn1

++an1s

+

an

)C(s)=(b0sm+b1sm1

++bm1s

+

bm

)R(s)求出傳遞函數(shù)為2.4.3傳遞函數(shù)的性質(zhì)(1)傳遞函數(shù)是一種數(shù)模，與系統(tǒng)的微分方程相對應。(2)傳遞函數(shù)是系統(tǒng)本身的一種屬性，與輸入量的大小和性質(zhì)無關。(3)傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)。

29當前第29頁\共有56頁\編于星期二\13點(4)零初始條件有兩方面的含義：

(5)非零初始條件下的解，可用疊加原理處理。

(6)傳遞函數(shù)一般為復變量s的有理分式，分母多項式是系統(tǒng)的特征多項式，且階次總是大于或等于分子多項式的階次，即n

m。并且所有的系數(shù)均為實數(shù)。

(7)傳遞函數(shù)與脈沖響應函數(shù)一一對應。30當前第30頁\共有56頁\編于星期二\13點G(s)的兩種標準形式①零、極點表達式

31當前第31頁\共有56頁\編于星期二\13點②時間常數(shù)表達式③不同形式間的變換Ti=-1/pi,τj=-1/zj

32當前第32頁\共有56頁\編于星期二\13點2.4.4傳遞函數(shù)求取方法（1）首先求出系統(tǒng)的微分方程，在零初始條件下對微分方程兩邊進行拉氏變換，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比就是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；（2）列寫控制系統(tǒng)輸入輸出及內(nèi)部各中間變量的微分方程組，將微分方程組經(jīng)拉氏變換化為代數(shù)方程組，消去中間變量得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；（3）對于電網(wǎng)絡系統(tǒng)，可以直接利用阻抗法，根據(jù)電網(wǎng)絡的約束關系列寫代數(shù)方程，消去中間變量得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

33當前第33頁\共有56頁\編于星期二\13點例34當前第34頁\共有56頁\編于星期二\13點例圖示為兩級RC電路串聯(lián)組成的無源濾波網(wǎng)絡，試列寫以u(t)為輸入，uc(t)為輸出的網(wǎng)絡傳遞函數(shù)Uc(s)/U(s)。解：根據(jù)基爾霍夫定律和電容自身的約束關系可得在零初始條件下，對上面四個方程進行拉氏變換，得到一組代數(shù)方程35當前第35頁\共有56頁\編于星期二\13點消去中間變量I1(s)、I2(s)和U1(s)可得系統(tǒng)的輸入輸出關系為系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

例有源網(wǎng)絡（比例積分PI）如圖(a)所示，求傳遞函數(shù)Uo(s)/Ui(s)。

(a)時域模型(b)s域模型36當前第36頁\共有56頁\編于星期二\13點解：首先將有源PI網(wǎng)絡的時域模型如圖(a)所示化為s域模型如圖(b)所示，根據(jù)s域模型可知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2.對于復雜的系統(tǒng)，可以把其看作是由若干基本部件組合構(gòu)成的，這些基本部件又稱為典型環(huán)節(jié)。掌握了典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，就可以方便地組合成復雜的控制系統(tǒng)37當前第37頁\共有56頁\編于星期二\13點

自動控制系統(tǒng)是由若干元件組成的，從結(jié)構(gòu)及作用原理上來看，有各種不同的元件。但從動態(tài)性能或數(shù)學模型來看，卻可以分成為數(shù)不多的基本環(huán)節(jié)，這就是典型環(huán)節(jié)。一般認為典型環(huán)節(jié)有6種，分述如下：

1.比例環(huán)節(jié)（杠桿，齒輪系，電位器，變壓器等）運動方程式c(t)=K

r(t)傳遞函數(shù)G(s)=K

單位階躍響應C(s)=G(s)R(s)=K/sc(t)=K1(t)

可見，當輸入量r(t)=1(t)時，輸出量c(t)成比例變化。

2-5典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)r(t)1c(t)t0K38當前第38頁\共有56頁\編于星期二\13點2.慣性環(huán)節(jié)微分方程式：傳遞函數(shù)：式中，T是慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù)。慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)有一個負實極點p=1/T，無零點。

j

01/T單位階躍響應:39當前第39頁\共有56頁\編于星期二\13點0tc(t)3.積分環(huán)節(jié)微分方程式：0.6320.8650.950.9821.0T2T3T4T傳遞函數(shù)：階躍響應曲線是按指數(shù)上升的曲線。40當前第40頁\共有56頁\編于星期二\13點單位階躍響應：r(t)t01c(t)t01T當輸入階躍函數(shù)時，該環(huán)節(jié)的輸出隨時間直線增長，增長速度由1/T決定。當輸入突然除去，積分停止，輸出維持不變，故有記憶功能。

41當前第41頁\共有56頁\編于星期二\13點

c(t)=T(t)故微分環(huán)節(jié)的階躍響應為一個脈沖信號。理想的微分環(huán)節(jié)在物理系統(tǒng)中很少獨立存在，常見的為帶有慣性環(huán)節(jié)的微分特性：傳遞函數(shù)為：G(s)=Ts單位階躍響應：r(t)t01c(t)t0T4.微分環(huán)節(jié)微分方程式為：42當前第42頁\共有56頁\編于星期二\13點傳遞函數(shù)為：或式中，T>0，0<ξ

<1，n=1/T，T稱為振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，ξ

為阻尼比，n為無阻尼振蕩頻率。振蕩環(huán)節(jié)有一對位于s左半平面的共軛極點：5.振蕩環(huán)節(jié)微分方程式為：43當前第43頁\共有56頁\編于星期二\13點單位階躍響應：式中，β=cos－1ξ。響應曲線是按指數(shù)衰減振蕩的，故稱振蕩環(huán)節(jié)。c(t)t01ns1s2

jd

ξn

j

044當前第44頁\共有56頁\編于星期二\13點6.延遲環(huán)節(jié)微分方程式為：c(t)=r(t)傳遞函數(shù)為：G(s)=es單位階躍響應：c(t)=1(t)r(t)t01c(t)t0145當前第45頁\共有56頁\編于星期二\13點2-6系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.6.1結(jié)構(gòu)圖的定義及基本組成1.結(jié)構(gòu)圖的定義定義:由具有一定函數(shù)關系的環(huán)節(jié)組成的，并標明信號流向的系統(tǒng)的方框圖，稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。例如討論過的直流電動機轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)，用方框圖來描述其結(jié)構(gòu)和作用原理，如下圖放大器電動機測速機urufuae+-46當前第46頁\共有56頁\編于星期二\13點Ka1/keTaTms2+Tms+1KfUr(s)Uf(s)Ua(s)(s)E(s)+把各元件的傳遞函數(shù)代入方框中去，并標明兩端對應的變量，就得到了系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。47當前第47頁\共有56頁\編于星期二\13點

2.結(jié)構(gòu)圖的基本組成1）畫圖的4種基本元素如下：

信號傳遞線是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，傳遞線上標明被傳遞的信號。r(t),R(s)

分支點

表示信號引出或測量的位置，從同一位置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同。r(t),R(s)r(t),R(s)48當前第48頁\共有56頁\編于星期二\13點

方框表示對信號進行的數(shù)學運算。方框中寫入元部件的傳遞函數(shù)。R(s)R(s)

U(s)U(s)G(s)C(s)R(s)C(s)=G(s)R(s)+

相加點對兩個以上的信號進行代數(shù)運算，“+”號表示相加，可省略不寫，“”號表示相減。49當前第49頁\共有56頁\編于星期二\13點2）結(jié)構(gòu)圖的基本作用：

(a)簡單明了地表達了系統(tǒng)的組成和相互聯(lián)系，可以方便地評價每一個元件對系統(tǒng)性能的影響。(b)信號的傳遞嚴格遵照單向性原則，輸出對輸入的反作用，通過反饋支路單獨表示。(c)對結(jié)構(gòu)圖進行一定的代數(shù)運算和等效變換，可方便地求出整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2.6.2結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟(1)列寫每個元件的原始方程，要考慮相互間負載效應。

(2)設初始條件為零，對這些方程進行拉氏變換，并將每個變換后的方程，分別以一個方框的形式將因果關系50當前第50頁\共有56頁\編于星期二\13點表示出來，而且這些方框中的傳遞函數(shù)都應具有典型環(huán)節(jié)的形式。(3)將這些方框單元按信號流向連接起來，就組成完整的結(jié)構(gòu)圖。

例2-10畫出下圖所示RC網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)圖。

R

C

u1

u2解：(1)列寫各元件的原始方程式

i51當前第51頁\共有56頁\編于星期二\13點(2)取拉氏變換，在零初始條件下，表示成方框形式(3)將這些方框依次連接起來得圖。U2(s)1CsI(s)…1RI(s)U1(s)﹣+U2(s)1RI(s)U1(s)﹣+U2(s)U2(s)1Cs52當前第52頁\共有56頁\編于星期二\13點G2(s)U(s)C(s)G1(s)R(s)U(s)由圖可知：U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)消去變量U(s)得

C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)

2.6.3結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式

1.三種基本連接形式(1)串聯(lián)。相互間無負載效應的環(huán)節(jié)相串聯(lián)，即前一個環(huán)節(jié)的輸出是后一個環(huán)節(jié)的輸入，依次按順序連接。G1(s)G2(s)R(s)C(s)G2(s)U(s)C(s)串聯(lián)環(huán)節(jié)的等