河南省鄭州市第七十四中學2021-2022學年高一數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某學生離家去學校，由于怕遲到，所以一開始就勻速跑步，等跑累了再勻速走余下的路程.在下圖中縱軸表示離學校的距離d，橫軸表示出發(fā)后的時間t，則下圖中的四個圖形中較符合該學生走法的是（

）高考資源網(wǎng)

A

B

C

D高參考答案：D2.點P(－2,－1)到直線l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距離為d,則d的取值范圍是A.0≤d

B.d≥0

C.d=

D.d≥參考答案：A略3.已知在［0，1］上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A．（0，1）

B．（0，2）

C．（1，2）

D．［2，＋∞）參考答案：C4.正三棱錐的底邊長和高都是2，則此正三棱錐的斜高長度為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略5.如圖，為測一棵樹的高度，在與樹在同一鉛垂平面的地面上選取A，B兩點，從A，B兩點測得樹尖的仰角分別為30°和75°，且A，B兩點間的距離為60米，則樹的高度CD為（）A．米 B．米 C．米 D．米參考答案：D【考點】HU：解三角形的實際應用．【分析】在△ABD中利用正弦定理計算BD，再計算CD．【解答】解：由題意可知∠A=30°，∠ABD=105°，AB=60，∴∠ADB=45°，在△ABD中，由正弦定理得，∴BD===60，∵sin∠DBC==，∴CD=BDsin∠DBC=15（+）．故選D．6.函數(shù)的定義域是（

）A．［-1，1］ B.（-1，1） C.［-1，1） D.（-1，1］參考答案：D7.若，且為第四象限角，則的值等于（）A. B. C. D.參考答案：D∵sina=,且a為第四象限角,∴，則，故選：D.8.已知，則

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略9.有下列四個命題:(1)“若xy=1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；(2)“面積相等的三角形全等”的否命題；(3)“若m≤1，則x2－2x+m=0有實根”的否命題；(4)“若A∩B=B，則AB”的逆否命題。其中真命題是

.參考答案：（1）（2）（3）略10.把函數(shù)的圖像向右平移個單位可以得到函數(shù)的圖像，則A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知y=f（x）是定義在（﹣2，2）上的增函數(shù)，若f（m﹣1）＜f（1﹣2m），則m的取值范圍是．參考答案：【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】在（﹣2，2）上的增函數(shù)，說明（﹣2，2）為定義域，且函數(shù)值小對應自變量也小，兩個條件合著用即可【解答】解：依題意，原不等式等價于??﹣．故答案為：12.數(shù)列的前項和，則它的通項公式是__________.參考答案：略13.若120°角的終邊經(jīng)過點，則實數(shù)a的值為_______.參考答案：.【分析】利用三角函數(shù)的定義以及誘導公式求出的值.【詳解】由誘導公式得，另一方面，由三角函數(shù)的定義得，解得，故答案為：.【點睛】本題考查誘導公式與三角函數(shù)的定義，解題時要充分利用誘導公式求特殊角的三角函數(shù)值，并利用三角函數(shù)的定義求參數(shù)的值，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知冪函數(shù)f（x）=xa的圖象過點，則loga8=．參考答案：3【考點】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】由題意可得=，解得a的值，可得loga8的值．【解答】解：∵已知冪函數(shù)f（x）=xa的圖象過點，∴=，解得a=2，∴l(xiāng)oga8=log28=3，故答案為：3．【點評】本題主要考查用待定系數(shù)法求冪函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．15.關(guān)于函數(shù)，有下列命題：（1）為偶函數(shù)（2）要得到函數(shù)的圖像，只需將的圖像向右平移個單位（3）的圖像關(guān)于直線對稱（4）在內(nèi)的增區(qū)間為和其中正確的命題序號為__________________.參考答案：(2)(3)略16.

參考答案：4。解析：由數(shù)表推得，每一行都是等差數(shù)列，第n行的公差為，記第n行的第m個數(shù)為,則算得答案為4。

17.若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？參考答案：平行向量三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c.已知△ABC面積（1）若求b的值；（2）若，求a的值.參考答案：（1）；（2）【分析】（1）利用三角形面積公式可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果；（2）利用三角形面積公式求得；利用余弦定理可求解出結(jié)果.【詳解】（1）由三角形面積公式可知：

（2）

由余弦定理得：【點睛】本題考查余弦定理解三角形、三角形面積公式的應用問題，考查學生對于公式的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.19.已知定義域為R的函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．參考答案：【考點】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）利用奇函數(shù)定義f（x）=﹣f（x）中的特殊值f（0）=0求b的值；（Ⅱ）設(shè)x1＜x2然后確定f（x1）﹣f（x2）的符號，根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（III）結(jié)合單調(diào)性和奇函數(shù)的性質(zhì)把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，即?b=1，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，設(shè)x1＜x2則f（x1）﹣f（x2）=﹣=因為函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù)且x1＜x2∴f（x1）﹣f（x2）=＞0即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數(shù)（III）f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數(shù)，又因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等價于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），因為f（x）為減函數(shù)，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即對一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，從而判別式．所以k的取值范圍是k＜﹣．20.（16分）某休閑農(nóng)莊有一塊長方形魚塘ABCD，AB=50米，BC=25米，為了便于游客休閑散步，該農(nóng)莊決定在魚塘內(nèi)建三條如圖所示的觀光走廊OE、EF和OF，考慮到整體規(guī)劃，要求O是AB的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，且∠EOF=90°．（1）設(shè)∠BOE=α，試將△OEF的周長l表示成α的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；（2）經(jīng)核算，三條走廊每米建設(shè)費用均為4000元，試問如何設(shè)計才能使建設(shè)總費用最低并求出最低總費用．參考答案：考點： 函數(shù)模型的選擇與應用；函數(shù)解析式的求解及常用方法．專題： 應用題；函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析： （1）要將△OEF的周長l表示成α的函數(shù)關(guān)系式，需把△OEF的三邊分別用含有α的關(guān)系式來表示，而OE，OF，分別可以在Rt△OBE，Rt△OAF中求解，利用勾股定理可求EF，從而可求．（2）要求鋪路總費用最低，只要求△OEF的周長l的最小值即可．由（1）得l=，α∈[，]，利用換元，設(shè)sinα+cosα=t，則sinαcosα=，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值．解答： （1）∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，∴OE=在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，∴OF=．又∠EOF=90°，∴EF==，∴l(xiāng)=OE+OF+EF=．當點F在點D時，這時角α最小，此時α=；當點E在C點時，這時角α最大，求得此時α=．故此函數(shù)的定義域為[，]；（2）由題意知，要求鋪路總費用最低，只要求△OEF的周長l的最小值即可．由（1）得，l=，α∈[，]，設(shè)sinα+cosα=t，則sinαcosα=，∴l(xiāng)==由t=sinα+cosα=sin（α+），又≤α+≤，得，∴，從而當α=，即BE=25時，lmin=50（+1），所以當BE=AF=25米時，鋪路總費用最低，最低總費用為200000（+1）元．點評： 本題主要考查了借助于三角函數(shù)解三角形在實際問題中的應用，考查了利用數(shù)學知識解決實際問題的能力，及推理運算的能力．21.設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域為，其中n是正整數(shù)，記內(nèi)的整點個數(shù)為.(整點即橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點)（1） 求數(shù)列的通項公式；（2）

記數(shù)列的前n項和為，且，若對于一切正整數(shù)n，總有成立，求實數(shù)的取值范圍。參考答案：（1）（2）

略22.（14分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA⊥CB，AA1=AC=CB=2，D是AB的中點．（1）求證：BC1∥平面A1CD；（2）求證：A1C⊥AB1；（3）若點E在線段BB1上，且二面角E﹣CD﹣B的正切值是，求此時三棱錐C﹣A1DE的體積．參考答案：考點： 棱柱、棱錐、棱臺的體積；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；直線與平面平行的判定．專題： 綜合題；空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析： （1）連接AC1交A1C于點F，由三角形中位線定理得BC1∥DF，由此能證明BC1∥平面A1CD．（2）利用線面垂直的判定定理證明A1C⊥平面AB1C1，即可證明A1C⊥AB1；（3）證明∠BDE為二面角E﹣CD﹣B的平面角，點E為BB1的中點，確定DE⊥A1D，再求三棱錐C﹣A1DE的體積．解答： （1）證明：連結(jié)AC1，交A1C于點F，則F為AC1中點，又D是AB中點，連結(jié)DF，則BC1∥DF，因為DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．…（3分）（2）證明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因為AA1=AC，所以AC1⊥A1C…（4分）因為CA⊥CB，B1C1∥BC，所以B1C1⊥平面ACC1A1，所以B1C1⊥A1C…（6分）因為B1C1∩AC1=C1，所以A1C⊥平面AB1C1所以A1C⊥AB1…（8分）（3）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥CD，因為AC=CB