偏微分課件行波法第一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六行波法波動(dòng)方程的初值問題（一維）（I）波動(dòng)方程2023/6/162第二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六一維波動(dòng)方程的定解問題無界弦的自由振動(dòng)無界弦的強(qiáng)迫振動(dòng)半無界弦的自由振動(dòng)半無界弦的強(qiáng)迫振動(dòng)三維波動(dòng)方程的定解問題二維波動(dòng)方程的定解問題球?qū)ΨQ情形一般情形球面平均法行波法降維法有限弦的振動(dòng)問題2023/6/163第三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六1.無界弦的自由振動(dòng)特征方程為特征線為故作線性變換方程改寫為2023/6/164第四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六2023/6/165第五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六此即為原方程的通解。利用初值條件確定函數(shù)F，G其中為任意一點(diǎn)，而C為積分常數(shù)，2023/6/166第六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六達(dá)朗貝爾公式2023/6/167第七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六把定解問題的解表示為左、右行進(jìn)波相疊加的方法稱為“行波法”。2023/6/168第八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六例1：解：由達(dá)朗貝爾公式2023/6/169第九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六例2：解：2023/6/1610第十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六例3：2023/6/1611第十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六物理意義右傳播波左傳播波2023/6/1612第十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六2023/6/1613第十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六影響區(qū)域、依賴區(qū)域、決定區(qū)域波動(dòng)是以一定的速度a向兩個(gè)方向傳播的。

如果在初始時(shí)刻t＝0，擾動(dòng)僅僅在有限區(qū)間上存在，則經(jīng)過時(shí)間t后，擾動(dòng)傳到的范圍為影響區(qū)域定義：上式所定義的區(qū)域稱為區(qū)間的影響區(qū)域。2023/6/1614第十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六定義區(qū)間稱為解在（x，t）的值的依賴區(qū)間。從達(dá)朗貝爾公式中可以看出，u(x,t)僅僅依賴于中的初始條件。依賴區(qū)間它是過（x，t）點(diǎn)，斜率分別為的直線與x軸所截而得到的區(qū)間（如右圖）。2023/6/1615第十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六定義區(qū)間過作斜率為的直線過作斜率為的直線則它們與區(qū)間一起圍成的三角形區(qū)域中的任意一點(diǎn)(x,t)的依賴區(qū)間都落在區(qū)間內(nèi)，因此該三角區(qū)域稱為決定區(qū)域。2023/6/1616第十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六2.無界弦的強(qiáng)迫振動(dòng)（I）（II）（III）2023/6/1617第十七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六疊加原理定解問題（I）的解是定解問題（II）的解與定解問題（III）的解之和。問題（II）的解可以用達(dá)朗貝爾公式來求解。故只須考慮求解問題（III）的解。我們利用齊次化原理來求解問題（III）的解。2023/6/1618第十八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六齊次化原理（Duhamel原理）設(shè)是（IV）的解，則正是的解。（III）2023/6/1619第十九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六下面來求出（III）的解的表達(dá)式令（IV）化為利用達(dá)朗貝爾公式可得于是有2023/6/1620第二十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六齊次化原理的證明需要用到參變量積分的求導(dǎo)2023/6/1621第二十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六2023/6/1622第二十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六定解問題（I）的解一維非齊次波動(dòng)方程的Kirchhoff公式。2023/6/1623第二十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六例5：由例2，2023/6/1624第二十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六3.半無界弦的自由振動(dòng)我們先考慮情形，即一端x=0固定的振動(dòng)。希望能利用達(dá)朗貝爾公式來求解2023/6/1625第二十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六為此，我們要作奇延拓（有時(shí)也作偶延拓）2023/6/1626第二十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六為了得到半無界問題的解，只須限制當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)在x=0處有一個(gè)自由端，即則需要作偶延拓。2023/6/1627第二十七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六例當(dāng)當(dāng)2023/6/1628第二十八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六4.半無界弦的強(qiáng)迫振動(dòng)作奇延拓2023/6/1629第二十九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六考慮2023/6/1630第三十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六2023/6/1631第三十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六下面考慮情形的半無界振動(dòng)。作變換2023/6/1632第三十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六例6：令2023/6/1633第三十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六2023/6/1634第三十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六解法二：由于外力、初始位移以及初始速度均為零，所以弦振動(dòng)時(shí)波傳播只是受到邊界點(diǎn)x＝0的影響而向x軸正向傳播的右傳播波。由此，解具有如下形式根據(jù)邊界條件確定任意函數(shù)f：令故2023/6/1635第三十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六規(guī)定，當(dāng)時(shí)2023/6/1636第三十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六例7：令2023/6/1637第三十七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六當(dāng)當(dāng)2023/6/1638第三十八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六注意2023/6/1639第三十九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六6.三維波動(dòng)方程的柯西問題2023/6/1640第四十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六球?qū)ΨQ情形所謂球?qū)ΨQ是指與無關(guān)，則波動(dòng)方程可化簡為2023/6/1641第四十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六半無界問題2023/6/1642第四十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六這是關(guān)于v=ru的一維半無界波動(dòng)方程.2023/6/1643第四十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六一般情形我們利用球平均法。從物理上看，波具有球?qū)ΨQ性。從數(shù)學(xué)上看，總希望把高維化為一維情形來處理，并設(shè)法化為可求通解的情況。所謂球平均法，即對(duì)空間任一點(diǎn)（x，y，z），考慮u在以（x，y，z）為球心，r為半徑的球面上的平均值其中為球的半徑的方向余弦，2023/6/1644第四十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六如把x,y,z看作參變量，則是r，t的函數(shù)，若能求出，再令則為此把波動(dòng)方程的兩邊在以x，y，z為中心，r為半徑的球體內(nèi)積分，并應(yīng)用Gauss公式，可得（*1）2023/6/1645第四十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六同時(shí)有由（*1）(*2)可得（*2）關(guān)于r微分，得（*3）利用球面平均值的定義，（*3）可寫成（*4）2023/6/1646第四十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六（*4）又可改寫為2023/6/1647第四十七頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六通解為令r＝0，有代入上式，得（*5）關(guān)于r微分，再令r＝0，有（*6）2023/6/1648第四十八頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六接下來，求滿足初值的解。對(duì)（*5）關(guān)于t微分，（*7）（*6）和（*7）相加即得即把代入上式，得2023/6/1649第四十九頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六2023/6/1650第五十頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六從而有2023/6/1651第五十一頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六2023/6/1652第五十二頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六Poisson公式2023/6/1653第五十三頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六7.二維波動(dòng)方程如果我們把上述問題中的初值視為重復(fù)推導(dǎo)Poisson公式的過程，將會(huì)發(fā)現(xiàn)所得Poisson公式中不含第三個(gè)變量。降維法：由高維波動(dòng)方程的柯西問題的解來求解低維波動(dòng)方程柯西問題的方法。由Hadamard最早提出的。2023/6/1654第五十四頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六計(jì)算上述曲面積分。由于初始數(shù)據(jù)與第三個(gè)變量無關(guān)，因此，在上的球面積分可由在圓域上的積分得到。2023/6/1655第五十五頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六因此2023/6/1656第五十六頁，共五十九頁，編輯于2023年，星期六物理意義惠更斯原理（無后效性現(xiàn)象）三維情形二維情形波的