第十五電路方程的矩陣形式演示文稿本文檔共46頁；當(dāng)前第1頁；編輯于星期二\20點55分優(yōu)選第十五電路方程的矩陣形式本文檔共46頁；當(dāng)前第2頁；編輯于星期二\20點55分第十五章電路方程的矩陣形式§15.1網(wǎng)絡(luò)圖論的概念給定一個網(wǎng)絡(luò)，如果不考慮元件的特性，可將各元件用一線段表示，由這種線段組成的圖（反映了電路的連接關(guān)系）稱為拓?fù)鋱D或線圖。（各邊稱為支路，各頂點稱為節(jié)點。）本文檔共46頁；當(dāng)前第3頁；編輯于星期二\20點55分支路電壓和支路電流的正方向與支路方向一致-----有向圖連通圖：是指拓?fù)鋱D中任意兩節(jié)點間都至少有一條通路。子圖：是指原拓?fù)鋱D的一部分，可包括原圖的一些邊和頂點。樹：在連通圖中包含連通圖中的全部節(jié)點和部分支路，不包含回路。本文檔共46頁；當(dāng)前第4頁；編輯于星期二\20點55分如上圖的一些樹：本文檔共46頁；當(dāng)前第5頁；編輯于星期二\20點55分拓?fù)鋱D中屬于樹的各邊稱為樹支，其余稱為連支。

由連支組成的部分稱為余樹。

割集：在連通圖中符合下列條件的邊的集合稱為割集。

(1).去掉該邊集后原來的連通圖不在連通；

(2).如果該邊集中保留一條邊不去掉，則圖仍連通；

如上圖，由（b1,b4,b5）組成的割集。a.去掉b1,b4,b5后，分為兩部分，不在連通；b.如果在b1,b4,b5中保留任意一條邊則圖仍為連通。本文檔共46頁；當(dāng)前第6頁；編輯于星期二\20點55分由（b2,b3,b4,b5）也組成割集；

由（b1,b3,，b5，b6）也組成割集?；靖罴壕褪菃螛渲Ц罴丛摳罴兄缓粭l樹支，其余為連枝。如上圖選b1,b3,b5為樹，相應(yīng)的基本割集如圖，本文檔共46頁；當(dāng)前第7頁；編輯于星期二\20點55分Q1由（b1,b2,b4,b6）組成，b1是樹支，b2,b4,b6是連支；

Q2由（b3,b4,b6）組成，b3是樹支，b4,b6是連支；

Q3由（b5,b2,b6）組成，b5是樹支，b2,b6是連支。規(guī)定基本割集的方向與其中的樹支方向一致。本文檔共46頁；當(dāng)前第8頁；編輯于星期二\20點55分若將切割線Q1，Q2，Q3延伸成閉合面則有：基本回路：就是單連支回路。規(guī)定基本回路的方向與其連支的方向一致。------稱為割集電流方程可見割集電流方程可看作廣義的節(jié)點電流方程（KCL）。本文檔共46頁；當(dāng)前第9頁；編輯于星期二\20點55分圖中由（b2,b3,b6）組成的回路不是基本回路，因為有兩條連支。如圖：回路l1：由（b2,b1,b5）組成，b2是連支；回路l2:由（b4,b1,b3）組成，b4是連支；回路l3由（b6,b1,b3,b5）組成，b6是連支。

-----------稱為回路電壓方程本文檔共46頁；當(dāng)前第10頁；編輯于星期二\20點55分§15.2關(guān)聯(lián)矩陣，回路矩陣，割集矩陣1關(guān)聯(lián)矩陣（節(jié)點與支路的關(guān)系）a.關(guān)聯(lián)矩陣設(shè)電路的節(jié)點數(shù)為n，支路數(shù)為b，依次給出支路和節(jié)點的編號，然后把有向圖結(jié)構(gòu)用一個nb階矩陣來表示，記為，稱為電路的節(jié)點------支路關(guān)聯(lián)矩陣。簡稱關(guān)聯(lián)矩陣。矩陣的行對應(yīng)于有向圖的節(jié)點，列對應(yīng)于有向圖的支路，其元素定義如下：本文檔共46頁；當(dāng)前第11頁；編輯于星期二\20點55分

當(dāng)支路k不連接到節(jié)點j時；當(dāng)支路k連接到節(jié)點j時，且方向為離開節(jié)點；當(dāng)支路k連接到節(jié)點j時，且方向為指向節(jié)點；本文檔共46頁；當(dāng)前第12頁；編輯于星期二\20點55分

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行號如圖的關(guān)聯(lián)矩陣為：列號②③④本文檔共46頁；當(dāng)前第13頁；編輯于星期二\20點55分特點：

a.每一列的代數(shù)和均為零。其中的行不是彼此獨立的，其任意一行都與（n-1）行的和的相反的數(shù)相等。

b.去掉以任意一個節(jié)點為參考節(jié)點所對應(yīng)的一行后記為（n-1）b階矩陣稱為降階的關(guān)聯(lián)矩陣簡稱關(guān)聯(lián)矩陣。用符號表示。

在中劃去的行對應(yīng)的節(jié)點即為參考節(jié)點。如上圖選節(jié)點④為參考節(jié)點則有：本文檔共46頁；當(dāng)前第14頁；編輯于星期二\20點55分每一行都是相互獨立的；且與有向圖是一一對應(yīng)的。本文檔共46頁；當(dāng)前第15頁；編輯于星期二\20點55分b.關(guān)聯(lián)矩陣與節(jié)點電流定律（KCL）用矩陣形式表示的支路電流列向量為若用關(guān)聯(lián)矩陣左乘支路電流列向量可得一個n行的列向量矩陣，該列向量中每一行的元素之和恰為離開該節(jié)點的支路電流與流入該節(jié)點的支路電流的代數(shù)和。（離開節(jié)點的電流為正，流入節(jié)點的電流為負(fù)）由KCL可得節(jié)點電流代數(shù)和為零。因此有左乘其值為零的向量即有：稱為矩陣形式的KCL.或（正弦穩(wěn)態(tài)電路時應(yīng)用）本文檔共46頁；當(dāng)前第16頁；編輯于星期二\20點55分如前圖有：為n-1個節(jié)點的KCL。c.節(jié)點電壓與支路電壓之間的矩陣形式關(guān)系式設(shè)電路(n-1)節(jié)點電壓的列向量為：支路電壓的列向量為：本文檔共46頁；當(dāng)前第17頁；編輯于星期二\20點55分用關(guān)聯(lián)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣左乘節(jié)點電壓列向量可得一個b行的列矩陣。中的每一列元素反映了支路所連接的兩個節(jié)點且為一正一負(fù)。因此與乘積的列向量每一行中只包含該支路離開節(jié)點的電壓（為正）與指向節(jié)點的電壓（為負(fù)）之差即為該支路電壓，即有：或如前圖，節(jié)點電壓列向量為本文檔共46頁；當(dāng)前第18頁；編輯于星期二\20點55分矩陣形式的KVL,反映了節(jié)點電壓與支路電壓之間的關(guān)系本文檔共46頁；當(dāng)前第19頁；編輯于星期二\20點55分2.回路矩陣a.回路矩陣獨立回路可以選取單連支回路，這樣建立的回路矩陣（（b-n+1）b階矩陣）稱為基本回路矩陣，簡稱回路矩陣。用表示，其行對應(yīng)于某一回路；列對應(yīng)于某一支路；元素bjk滿足下列關(guān)系：支路k不包含在回路j中；支路k包含在回路j中，且方向與回路j的繞向一致；支路k包含在回路j中，且方向與回路j的繞向相反；J為回路號也是行號，k為支路號也是列號。本文檔共46頁；當(dāng)前第20頁；編輯于星期二\20點55分如圖選取支路1、2、3作為樹，則有基本回路矩陣為：回路l1(1,2,3,4)回路l2(1,2,5)組成?；芈穕3(2,3,6)（各回路的繞向與該回路中連支的方向相同）由此可知：ⅰ.若支路編號采取先樹支后連支，則的右半部分是個單位矩陣，即有若支路的編號采取先連支后樹支則有：是由樹支組成的回路子矩陣。本文檔共46頁；當(dāng)前第21頁；編輯于星期二\20點55分ⅱ.回路矩陣的行反映了某一回路與支路的關(guān)系即該回路是由那些支路組成，以及支路與回路的方向是否相同；而回路矩陣的列反映了某一支路與所有回路的關(guān)系即該支路都屬于哪個回路中，以及該支路與回路的方向是否相同。ⅲ.若選取網(wǎng)孔回路則稱為網(wǎng)孔回路矩陣。通常用表示。b.回路矩陣與回路電流定律支路電壓與回路電壓的關(guān)系：設(shè)支路電壓的參考方向與支路電流的方向為關(guān)聯(lián)方向，為支路電壓列向量；用回路矩陣左乘支路電壓列向量可得一個（b-n+1)個元素的列向量，本文檔共46頁；當(dāng)前第22頁；編輯于星期二\20點55分其每一行都包含了該回路中所有支路電壓的代數(shù)和（支路方向與回路繞向一致為正，反之為負(fù)）由KVL可知，任一閉合回路電壓的代數(shù)和恒為零即有或稱為矩陣形式的KVL。如上圖中，本文檔共46頁；當(dāng)前第23頁；編輯于星期二\20點55分支路電流與回路電流的關(guān)系：設(shè)回路電流列向量為用左乘中所有回路電流的代數(shù)和，且回路電流方向與支路方向一致時為正，反之為負(fù)；即為該支路的電流值。則乘積的每一行之和恰為流過該支路則有：或如上圖有：本文檔共46頁；當(dāng)前第24頁；編輯于星期二\20點55分或3.割集矩陣a.割集矩陣（割集與支路的關(guān)系）割集與支路的關(guān)系可以用一個矩陣來描述，其行號對應(yīng)于割集號，列號對應(yīng)于支路號，則元素：本文檔共46頁；當(dāng)前第25頁；編輯于星期二\20點55分當(dāng)支路k不再割集j內(nèi)；當(dāng)支路k在割集j內(nèi)，且方向與割集j方向一致；當(dāng)支路k在割集j內(nèi)，且方向與割集j方向相反；這樣建立的矩陣稱為割集矩陣。表示。（（n-1）b階矩陣）用選擇單樹支割集作為一組獨立的割集，對應(yīng)的矩陣稱為基本割集矩陣。本文檔共46頁；當(dāng)前第26頁；編輯于星期二\20點55分如圖所示，選支路（1，2，3）為樹，單樹支割集及方向如圖，則有

若支路編號按照先樹支后連支，而且順次列寫，割集方向為樹支方向則中包含一個（n-1）(n-1)階單位矩陣，表示為：表示由連支組成的割集矩陣.本文檔共46頁；當(dāng)前第27頁；編輯于星期二\20點55分b.割集KCL的矩陣形式用割集矩陣左乘支路電流列向量則其乘積的每一行之和恰好為穿過該割集表面的支路電流的代數(shù)和（KCL）即為零向量。或（為廣義節(jié)點的KCL的矩陣形式）如上圖：則有：本文檔共46頁；當(dāng)前第28頁；編輯于星期二\20點55分c.割集電壓與支路電壓的關(guān)系若選單樹支割集為基本割集，則割集電壓即為樹支電壓，可用（n-1）階列向量表示，用割集矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣左乘割集電壓列向量其乘積為支路電壓列向量即有：或如上圖有：則有本文檔共46頁；當(dāng)前第29頁；編輯于星期二\20點55分§15.3關(guān)聯(lián)矩陣、基本回路矩陣和基本割集矩陣的關(guān)系對于同一個電路，若各支路、節(jié)點的編號及方向均相同時，其關(guān)聯(lián)矩陣基本回路矩陣和基本割集矩陣存在一定的關(guān)系。如圖所示，選1、2、3為樹支，采取單樹支割集和單連支回路矩陣，則有：用左乘可得：本文檔共46頁；當(dāng)前第30頁；編輯于星期二\20點55分即有：或若電路的支路編號按先樹支后連支則上式可寫為：即有：表示由樹支組成的回路矩陣子矩陣；表示由連支組成的割集矩陣子矩陣。本文檔共46頁；當(dāng)前第31頁；編輯于星期二\20點55分在上圖中，設(shè)節(jié)點④為參考節(jié)點，則關(guān)聯(lián)矩陣為：用左乘可得：即有或本文檔共46頁；當(dāng)前第32頁；編輯于星期二\20點55分若選擇只包圍一個節(jié)點的割集，且方向為離開節(jié)點，則有割集矩陣就是關(guān)聯(lián)矩陣如果支路編號按先樹支后連支方式，則關(guān)聯(lián)矩陣兩邊左乘可得：即有：所以基本回路矩陣可寫為：可由關(guān)聯(lián)矩陣求得基本回路矩陣。同樣由和可得：本文檔共46頁；當(dāng)前第33頁；編輯于星期二\20點55分所以有即可由關(guān)聯(lián)矩陣求得基本割集矩陣?！?5.4節(jié)點電壓方程的矩陣形式本節(jié)介紹用系統(tǒng)性的方法來建立矩陣形式的節(jié)點電壓方程組。典型支路結(jié)構(gòu)如圖：由支路元件、獨立電壓源、獨立電流源組成，支路電流，支路電壓，其電流電壓的參考方向如圖。在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，可得支路電流電壓關(guān)系式：其中，含有b條支路組成的電路有：本文檔共46頁；當(dāng)前第34頁；編輯于星期二\20點55分其矩陣形式為，其中有：支路電壓列向量矩陣；支路電流列向量矩陣；支路電壓源列向量矩陣；支路電流源列向量矩陣；本文檔共46頁；當(dāng)前第35頁；編輯于星期二\20點55分為支路阻抗矩陣，電路不包含受控源時為一對角線矩陣，即有與之對應(yīng)的支路導(dǎo)納矩陣為：且有對式兩邊左乘支路導(dǎo)納矩陣可得：即有：對其式兩邊左乘關(guān)聯(lián)矩陣得：即有因為支路電壓與節(jié)點電壓之間有所以上式可以寫成本文檔共46頁；當(dāng)前第36頁；編輯于星期二\20點55分或以上兩式均稱為矩陣形式的節(jié)點電壓方程式。其中稱為節(jié)點導(dǎo)納矩陣。為節(jié)點電壓列向量矩陣。列矩陣形式的節(jié)點電壓方程的解題步驟：對各支路及節(jié)點進行編號，并給出各支路的參考方向；b.做出有向圖；c.選定參考節(jié)點，寫出關(guān)聯(lián)矩陣d.依據(jù)典型支路結(jié)構(gòu)和方向分別寫出：本文檔共46頁；當(dāng)前第37頁；編輯于星期二\20點55分e.代入公式中即可得到節(jié)點電壓方程的矩陣形式。例題：如圖所示電路各支路阻抗值、電壓源及電流源均為已知，是建立矩陣形式的節(jié)點電壓方程。解：對各支路及節(jié)點進行編號，并給出各支路的參考方向如圖。2.做出有向圖如圖。3.選節(jié)點④為參考節(jié)點則有關(guān)聯(lián)矩陣本文檔共46頁；當(dāng)前第38頁；編輯于星期二\20點55分4.5.分別求出：本文檔共46頁；當(dāng)前第39頁；編輯于星期二\20點55分本文檔共46頁；當(dāng)前第40頁；編輯于星期二\20點55分6.代入公式或可得：本文檔共46頁；當(dāng)前第41頁；編輯于星期二\20點55分由此可見，與直接對電路列寫的節(jié)點電壓方程是一樣的。本文檔共46頁；當(dāng)