剖面二維非恒定懸移質(zhì)泥沙擴(kuò)散方程的數(shù)值方法

摘要通過討論剖面二維非恒定泥沙擴(kuò)散方程的數(shù)值方法，建立了一種用于求解含沙量分布沿程變化的差分格式(Z-C格式)并通過一個(gè)具體的數(shù)值例子說明了計(jì)算的方法步驟。

關(guān)鍵詞擴(kuò)散方程差分格式精度穩(wěn)定性

1引言數(shù)學(xué)模擬方法正在成為研究河流泥沙問題的重要手段。目前，一維數(shù)學(xué)模型發(fā)展較成熟，已廣泛應(yīng)用于模擬長(zhǎng)河段的長(zhǎng)期變形，但它只能給出河段平均沖淤深度的沿程變化，如需了解短河段的河床變形細(xì)節(jié)，則要采用二維以至三維數(shù)學(xué)模型。不論是一維數(shù)學(xué)模型還是平面二維維數(shù)學(xué)模型，都不能反映含沙量沿垂線的分布狀況，并忽略了含沙量沿垂線分布對(duì)垂線平均含沙量變化過程的影響。要解決這類問題，必須建立剖面二維數(shù)學(xué)模型。這種模型主要通過解剖面二維泥沙擴(kuò)散方程來研究懸移質(zhì)泥沙沿水深的分布及含沙量的變化過程，對(duì)水電站進(jìn)口和其它引水工程的引水口高程的確定都能提供較好的數(shù)值模擬。泥沙擴(kuò)散方程實(shí)際上是一個(gè)變系數(shù)的二階線性偏微分方程，這樣的方程在各種復(fù)雜邊界條件下求解是極為困難的。求擴(kuò)散方程的解析解在數(shù)學(xué)上存在著難以克服的困難，往往只能通過對(duì)方程的簡(jiǎn)化，才能得到一些簡(jiǎn)單邊界條件下的解析解，在這方面，、野滿隆治、、俞維強(qiáng)、張啟舜、韋直林[２]等都做了有益的嘗試；求擴(kuò)散方程的數(shù)值解曾經(jīng)因?yàn)槿狈Ω咝实挠?jì)算工具而難以實(shí)現(xiàn)，直到60年代后，隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，在各種復(fù)雜邊界條件下求擴(kuò)散方程的數(shù)值解不但成為可能，而且得到迅速的發(fā)展，在這方面，曹志先、崔俠[４]等做了大量工作，取得了很多成果。數(shù)值方法相對(duì)于解析方法在求解偏微分方程上有著明顯的優(yōu)勢(shì)，即簡(jiǎn)單靈活、計(jì)算方便快捷，但要尋找一種精度高、穩(wěn)定性好、計(jì)算方便的差分格式也并非易事。本文擬在前人研究的基礎(chǔ)上著重討論剖面二維泥沙擴(kuò)散方程的數(shù)值解問題，希望能提供一種精度高、穩(wěn)定性好、計(jì)算方便的數(shù)值解。2基本方程

剖面二維泥沙擴(kuò)散方程的形式為式中x,y為水流方向和鉛直方向的維軸；u,v分別為沿水流方向和鉛直方向的時(shí)均流速；εsx,εsy分別為水流方向和鉛直方向的泥沙擴(kuò)散系數(shù)；ω,S分別為泥沙靜水沉速和含沙量。對(duì)于式(1)的求解，研究者一般會(huì)對(duì)它進(jìn)行不同程度的簡(jiǎn)化，為此引入以下假定中的一種或幾種

A.非恒定流可以概化為梯級(jí)式恒定流，即B.在一個(gè)時(shí)段內(nèi)，認(rèn)為泥沙運(yùn)動(dòng)可以概化為處于恒定狀態(tài)，即C.在二維流動(dòng)中，縱向擴(kuò)散系數(shù)與方程其他項(xiàng)相比，可以忽略不計(jì)，即認(rèn)為方程右端第一項(xiàng)可以忽略；D.認(rèn)為懸移質(zhì)泥沙粒徑均一，即ω=const;E.認(rèn)為水流為二維均勻流，即v=0。為簡(jiǎn)單起見，我們討論的范圍限于水流條件為二維非恒定均勻流，懸移質(zhì)泥沙粒徑均勻，為此引入假定C、D、E。這時(shí)，泥沙擴(kuò)散方程為

目前，對(duì)εs的變化規(guī)律研究得不很充分，一般假定

其中εm為動(dòng)量傳遞系數(shù)，β為修正值。由勃蘭特爾摻長(zhǎng)理論可得

式中κ為卡門常數(shù)，u*為摩阻流速。對(duì)于u，我們?nèi)】?勃蘭特爾對(duì)數(shù)流速分布公式

令W=ω+β(κu*/h)(1-2y/h),則式(2)可變形為

(6)

3差分方程網(wǎng)格的剖分為建立差分方程，首先必須剖分網(wǎng)格。我們?nèi)r(shí)間步長(zhǎng)Δt=τ，X方向的空間步長(zhǎng)Δx=h1，Y方向的空間步長(zhǎng)為Δy=h2,這樣形成如下網(wǎng)格構(gòu)造差分格式通過對(duì)流方程和擴(kuò)散方程的差分格式的構(gòu)造，我們可以得到對(duì)流擴(kuò)散方程的差分格式。由于隱式格式穩(wěn)定性好，考慮Crank-Nicholson型隱式格式。為此，引入差分算子記號(hào)為了看得更清楚，暫且取h1=h2=h.對(duì)式(6)離散，則C-N格式為C-N格式的精度是二階的，絕對(duì)穩(wěn)定。但對(duì)于二維問題，由(7)導(dǎo)出的方程組，其系數(shù)矩陣不是三對(duì)角矩陣，不能用追趕法求解。因此，考慮構(gòu)造交替方向的隱式格式(命名為Z-C格式)可以看出，計(jì)算Sn+1j,l是由兩步組成的，每一步僅是一個(gè)方向的隱式，故用兩次追趕法即可。精度分析現(xiàn)在，我們考慮Z-C格式的精度。先設(shè)法消去過渡值Sn+1/2j,l，為此，將(8)和(9)兩式相加，可得將(8)和(9)兩式相減，可得把式(11)代入(10)，變形整理，可得設(shè)S(x,y,t)是(12)的精確解，并假定S(x,y,t)關(guān)于t三次連續(xù)可微，關(guān)于x,y四次連續(xù)可微，那么利用Taylor級(jí)數(shù)展開可得由此可見，Z-C格式具有二階精度。穩(wěn)定性分析現(xiàn)在，我們來討論Z-C格式的穩(wěn)定性。為此，把式(12)變形整理得由式(14)可得出過渡因子為令a=2τεs/h2sin2k2h/2,b=τW/2hsink2h,c=τu/2hsink1h,則顯然，對(duì)于任意的τ,h,|G(τ,k)|21,所以Z-C格式是絕對(duì)穩(wěn)定的。

4數(shù)值計(jì)算邊界條件我們考慮初邊值問題。(1)初始條件用Rouse公式給出含沙量沿垂線分布式中z=ω/ku*為懸浮指標(biāo)，Sa為近底含沙量，h為水深，一般取a=～。(2)水面條件(3)底部邊界條件式中Sa*為近底挾沙力，即輸沙平衡時(shí)的近底售沙量Sa.(4)近底含沙量計(jì)算近底含沙量在求解泥沙擴(kuò)散方程時(shí)具有邊界條件性質(zhì)，它選取的正確與否，意味著所給邊界條件是否正確。實(shí)際工程中一般缺乏實(shí)測(cè)資料，近底含沙量不易測(cè)定。這里，我們利用水流挾沙力和含沙量沿垂線分布公式來反求近底含沙量[４]。已知斷面平均挾沙力為假定輸沙平衡時(shí)，含沙量沿垂線分布用Rouse公式(17)表示，用(17)表達(dá)挾沙力的垂線分布，然后沿垂線積分得斷面平均挾沙力為將(22)與(21)比較，可得計(jì)算步驟為方便計(jì)算，將式(8)和(9)式變形整理，并對(duì)X，Y方向取不同的空間步長(zhǎng)在一個(gè)時(shí)間層(第n層)內(nèi)，計(jì)算分兩步進(jìn)行第一步，對(duì)式(24)用追趕法求第n+1/2層的過渡值。令C1=-τu/4h1,C2=1,C3=τu/4h1,E1=τεs/2h22,E2=τW/4h2D1=τεs/2h22-τW/4h2,D2=-τεs/h22-1,D3=τεs/2h22+τW/4h2l=1時(shí)，D1Sn+1/2j,0+D2Sn+1/2j,1+D3Sn+1/2j,2=C3LxSnj,1-Snj,1l=2時(shí)，D1Sn+1/2j,0+D2Sn+1/2j,1+D3Sn+1/2j,2=C3LxSnj,1-Snj,1……………l=M時(shí),D1Sn+1/2j,M-1+D2Sn+1/2j,M+D3Sn+1/2j,M+1=C3LxSnj,M-Snj,M令Hl=-Snj,l+C3LxSnj,l(1lM)H1=-Snj,1+C3LxSnj,1-D1Sn+1/2j,0HM=-Snj,M+C3LxSnj,M-D3Sn+1/2j,M+1其中Sn+1/2j,0和Sn+1/2j,M+1由邊界條件給出，則用矩陣形式表示為第二步，再對(duì)(25)式用追趕法求第n+1層的值令Fj=E1δ2ySn+1/2j,l+E2LySn+1/2j,l+Sn+1/2j,l(1jN)F1=E1δ2ySn+1/21,l+E2LySn+1/21,l+Sn+1/21,l-C1Sn+10,lFN=E1δ2ySn+1/2N,l+E2LySn+1/2N,l+Sn+1/2N,l-C3Sn+1N+1,l其中Sn+10,l和Sn+1N+1，l由邊界條件給出，則同理可得矩陣方程這樣，按此步驟一層層地計(jì)算。數(shù)值模擬合理性分析受所掌握的實(shí)測(cè)資料的限制，目前尚無法對(duì)本文提出的算法與含沙量沿垂線分布的實(shí)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比。我們用庫(kù)里·阿雷克沉沙池[５]的實(shí)測(cè)資料作了垂線平均值沿程變化的比較。該沉沙池的主要數(shù)據(jù)為：池深h=;平均流速u=/s;泥沙沉速ω=/s;懸浮指標(biāo)Z=。計(jì)算時(shí)取卡門常數(shù)κ=，a=。表1給出了計(jì)算值和實(shí)測(cè)值，結(jié)果表明，計(jì)算值和實(shí)測(cè)值比較符合。為了進(jìn)一步分析含沙量垂線分布計(jì)算結(jié)果的合理性，我們對(duì)另一組較粗的泥沙(ω=/s,Z=)進(jìn)行了對(duì)比計(jì)算。圖1“,圖2分別為兩組沙的計(jì)算結(jié)果。從圖中可以看出，計(jì)算結(jié)果符合含沙量沿垂線分布的一般規(guī)律，粗沙分布不均勻，細(xì)沙分布較均勻；近底濃度相對(duì)較大，水面濃度相對(duì)較小，不存在Rouse公式中水面含沙量為0的缺陷；含沙量沿程衰減的特性較為明顯。圖3為較粗一組泥沙的相對(duì)含沙量沿垂線分布的沿程變化情況。圖3表明，盡管進(jìn)口斷面按Rouse公式給出了含沙量沿垂線的分布，但由于該斷面實(shí)際處于不平衡輸沙狀態(tài)，這種分布并不是穩(wěn)定的。在距進(jìn)口200m處，泥沙的分布調(diào)整到一種不平衡輸沙狀態(tài)，隨著泥沙的沿程淤積，水流輸沙向平衡方向發(fā)展，垂線平均含沙量趨向于水流挾沙力，而含沙量沿垂線分布向平衡時(shí)的分布狀態(tài)(Rouse公式)發(fā)展。由于這種發(fā)展是趨向于穩(wěn)定狀態(tài)，因此愈接近下游，分布愈靠近Rouse公式。計(jì)算結(jié)果表明，本文提出的計(jì)算方法是合理可行的。5結(jié)語(yǔ)本文建立了求解二維非恒定泥沙擴(kuò)散方程的一種差分格式(Z-C格式)。這種格式具有如下特點(diǎn)1.精度較高(具有二階精度)。2.穩(wěn)定性好(無條件穩(wěn)定)。3.計(jì)算較方便(每一時(shí)段利用兩次追趕法即可)。圖3相對(duì)含沙量的垂線分布變化(Z=)Changesofverticaldistributionsofrelativesedimentconcentrations(Z=)

參考文獻(xiàn)

1陸金甫，關(guān)治。偏微分方程數(shù)值解法。清華大學(xué)出版社，1987年7月。

2韋直林。二度恒定均勻流中泥沙淤積過程的研